旅行商問題TSP模型解析與實務應用

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旅行商問題（TSP）在物流規劃、電路設計等領域都有廣泛應用。TSP 的核心挑戰在於如何有效地搜尋龐大的解空間，找到最佳路徑。本文除了介紹 TSP 的基本模型和演算法外，還將探討子迴路消除的關鍵技術，以及如何將 TSP 模型應用於路徑問題和可重複存取節點的變形問題。此外，文章也將探討混合整數規劃（MIP）的應用，包括設施選址和多商品流問題，並提供 Python 程式碼實作，以幫助讀者更好地理解和應用這些技術。

旅行商問題（TSP）深度解析與實務應用

TSP問題概述

旅行商問題（TSP）是運籌學和電腦科學中一個經典的組合最佳化問題。儘管其名稱源自旅行商人的問題描述，但實際上它在車輛路徑規劃、電子電路設計和任務排序等眾多領域具有重要應用價值。TSP的核心目標是：在給定的圖中，找到一條存取所有頂點恰好一次並傳回起點的最短路徑。

實務案例：電子電路設計中的TSP應用

在半導體設計領域，TSP可用於最佳化晶片內部元件之間的連線佈局。例如，在HAL公司的新電路設計過程中，電源需要佈線到各個基本元件。這些元件排列在二維晶格上，理論上任意兩個元件之間都可能存在連線需求。此時，TSP的解決方案能夠提供一條總長度最小的路徑，以確保電源從供應端（Vcc）出發，依次存取每個元件後傳回接地端（Vee或GND），從而最佳化晶片的佈局和效能。

TSP數學模型構建

決策變數定義

在TSP中，我們需要決定的變數是路徑的選擇，即確定存取各個節點的順序。假設P代表所有節點的集合，我們定義二元決策變數xi,j，其中xi,j = 1表示節點i與節點j之間存在直接連線，反之則為0。

目標函式

TSP的目標函式旨在最小化總路徑長度。假設D代表節點間的距離矩陣，則目標函式可表示為：min ∑i,j Di,j * xi,j。

約束條件

  1. 出入度約束：每個節點必須且僅能被存取一次，這意味著每個節點的入度和出度均為1。數學表示式為：∑j∈P xi,j = 1 和 ∑j∈P xj,i = 1，∀i ∈ P。

  2. 子迴路消除約束：僅憑出入度約束無法完全排除多個獨立子迴路的出現，因此需要額外的子迴路消除約束。對於任意節點子集S，約束條件為：∑i,j∈S xi,j ≤ |S| - 1。

可執行模型實作

程式碼解析

def solve_model_eliminate(D, Subtours=[]):
    s, n = newSolver('TSP', True), len(D)
    x = [[s.IntVar(0, 0 if D[i][j] is None else 1, "") for j in range(n)] for i in range(n)]
    for i in range(n):
        # 此處省略部分程式碼，用於新增約束條件
    # 新增目標函式和其他約束條件
    s.Solve()

內容解密：

  1. newSolver('TSP', True)：建立一個名為’TSP’的求解器例項，第二個引數True表示啟用求解器的進階功能。
  2. x = [[s.IntVar(0, 0 if D[i][j] is None else 1, "") for j in range(n)] for i in range(n)]：定義二維變數矩陣x，其中每個元素xi,j是一個整數變數，用於表示節點i到節點j的連線狀態。
  3. for i in range(n):：遍歷所有節點，為每個節點新增必要的約束條件，如出入度約束。
  4. s.Solve()：呼叫求解器對定義好的模型進行求解。

迭代求解與子迴路消除

由於初始模型可能無法完全排除子迴路，因此採用迭代求解的方法：

  1. 初始求解：在沒有子迴路消除約束的情況下進行初始求解。
  2. 檢測子迴路：分析求解結果，識別是否存在子迴路。
  3. 新增子迴路消除約束：針對檢測到的子迴路，新增相應的消除約束。
  4. 重複求解：重新執行求解過程，直到不再出現子迴路為止。

旅行商問題（TSP）模型實作與變形解析

旅行商問題（TSP）是組合最佳化領域中的經典問題，旨在找出造訪一組城市並傳回起始城市的最短路徑。本章節將探討TSP模型的實作細節及其多種變形，並透過具體程式碼實作展示不同情境下的解決方案。

TSP模型核心實作

TSP模型的核心在於定義適當的決策變數和限制條件。以下程式碼片段展示了TSP模型的主要部分：

def solve_model_eliminate(D, subtours):
    n = len(D)
    s = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')
    x = [[s.IntVar(0, 1, '') for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    
    for i in range(n):
        s.Add(1 == sum(x[i][j] for j in range(n)))
        s.Add(1 == sum(x[j][i] for j in range(n)))
        s.Add(0 == x[i][i])
        
    for sub in subtours:
        K = [x[sub[i]][sub[j]] + x[sub[j]][sub[i]] 
             for i in range(len(sub)-1) for j in range(i+1, len(sub))]
        s.Add(len(sub)-1 >= sum(K))
        
    s.Minimize(s.Sum(x[i][j] * (0 if D[i][j] is None else D[i][j]) 
                     for i in range(n) for j in range(n)))
    rc = s.Solve()
    tours = extract_tours(SolVal(x), n)
    return rc, ObjVal(s), tours

程式碼解析：

  1. 決策變數定義：使用二元整數變數x[i][j]表示是否選擇從城市i到城市j的路徑。
  2. 流量守恆限制：確保每個城市恰好有一條輸入邊和一條輸出邊。
  3. 消除子迴路限制：針對已發現的子迴路，增加限制條件以防止其再次出現。
  4. 目標函式：最小化總路徑長度。

子迴路消除機制

子迴路消除是TSP求解中的關鍵步驟。以下程式碼展示瞭如何提取解中的子迴路：

def extract_tours(R, n):
    node, tours, allnodes = 0, [[0]], [0] + [1]*(n-1)
    while sum(allnodes) > 0:
        next_node = [i for i in range(n) if R[node][i] == 1][0]
        if next_node not in tours[-1]:
            tours[-1].append(next_node)
            node = next_node
        else:
            node = allnodes.index(1)
            tours.append([node])
            allnodes[node] = 0
    return tours

程式碼解析：

  1. 初始設定：從節點0開始，初始化巡迴路徑和待訪節點列表。
  2. 路徑追蹤：根據解矩陣R追蹤下一個存取的節點。
  3. 子迴路處理：當發現子迴路時，記錄並繼續尋找其他未存取節點。

TSP模型的變形

路徑問題（TSP-P）

對於需要找到經過所有節點的最短路徑而非迴路的問題，可以透過新增虛擬節點轉換為標準TSP問題：

def solve_model_p(D):
    n, n1 = len(D), len(D) + 1
    E = [[0 if n in (i, j) else D[i][j] for j in range(n1)] for i in range(n1)]
    rc, Value, tour = solve_model(E)
    i = tour.index(n)
    path = [tour[j] for j in range(i+1, n1)] + [tour[j] for j in range(i)]
    return rc, Value, path

可重複存取的TSP*問題

允許重複存取節點的TSP*問題可以透過轉換距離矩陣為最短路徑矩陣來解決：

def solve_model_star(D):
    import shortest_path
    n = len(D)
    Paths, Costs = shortest_path.solve_all_pairs(D)
    rc, Value, tour = solve_model(Costs)
    Tour = []
    for i in range(len(tour)):
        Tour.extend(Paths[tour[i]][tour[(i+1) % len(tour)]][0:-1])
    return rc, Value, Tour

實務應用與心得

TSP模型及其變形廣泛應用於物流配送、電路設計等領域。透過本章節的學習，我們瞭解到：

  1. 靈活運用模型轉換：將複雜問題轉化為標準形式是解決問題的關鍵。
  2. 子迴路消除的重要性：有效的子迴路消除策略對於求解大型TSP問題至關重要。
  3. 結合最短路徑演算法：在TSP*問題中，利用最短路徑資訊可以獲得更優的解決方案。

這些技術和方法不僅適用於TSP問題，也為其他組合最佳化問題提供了寶貴的參考。

混合整數規劃經典案例解析

在解決複雜的最佳化問題時，我們經常需要結合連續變數和整數變數來建立模型。這類別模型被稱為混合整數規劃（Mixed Integer Programming, MIP）。本章節將探討幾個經典的混合整數規劃問題，包括設施選址問題和工作坊排程問題等。

設施選址問題

設施選址問題是一個典型的混合整數規劃問題。假設有一家名為Solar-1138 Inc.的公司需要決定哪些發電廠應該被建造以及如何將電力分配給各個城市。這個問題涉及兩個主要的決策變數：

  1. 連續變數：表示從每個發電廠到每個城市的電力分配量。
  2. 二元變數：表示每個發電廠是否應該被建造。

6.1.1 模型建立

6.1.1.1 決策變數
  • 連續變數：$x_{i,j}$，表示從發電廠$i$到城市$j$的電力分配量。
  • 二元變數：$y_i$，表示發電廠$i$是否被建造。
6.1.1.2 目標函式

目標函式包括兩個部分：固定成本和變動成本。固定成本與發電廠的建設相關，而變動成本則與電力分配相關。

minimize sum(c[i, j] * x[i, j] for i in P for j in C) + sum(f[i] * y[i] for i in P)
6.1.1.3 約束條件

  1. 供應約束：每個發電廠的電力供應量不能超過其容量。

    sum(x[i, j] for j in C) <= S[i] for i in P

  2. 需求約束：每個城市的需求必須被滿足。

    sum(x[i, j] for i in P) == D[j] for j in C

  3. 聯絡變數約束：如果發電廠$i$沒有被建造，那麼從它到任何城市的電力分配量都應該是0。

    sum(x[i, j] for j in C) <= M * y[i] for i in P

    這裡，$M$是一個足夠大的常數，例如所有城市需求的總和。

#### 內容解密：

上述程式碼片段展示了設施選址問題的數學模型。其中：

  • c[i, j]代表從發電廠i到城市j的單位電力分配成本。
  • f[i]代表建造發電廠i的固定成本。
  • S[i]代表發電廠i的最大供應量。
  • D[j]代表城市j的需求量。
  • M是一個大常數，用於聯絡變數約束，確保如果發電廠未被建造，則不會有電力從該廠分配出去。

混合整數規劃模型實務應用

混合整數規劃（Mixed-Integer Programming, MIP）是一種強大的數學最佳化工具，廣泛應用於解決包含整數和連續變數的複雜決策問題。本章節將探討兩類別典型的MIP模型：設施選址問題和多商品流問題，並詳細分析其建模過程、實務應用和變異形式。

設施選址問題深度解析

設施選址問題是MIP的一個經典應用場景，旨在決定在何處建立設施（如倉函式庫或工廠）以最小化總成本，包括固定建設成本和變動運輸成本。

數學模型建構與最佳化

該問題的數學模型包含兩個主要決策變數：

  1. $y_i$：二元變數，表示是否在位置$i$建立設施
  2. $x_{i,j}$：連續變數，表示從設施$i$運送到客戶$j$的貨物數量

目標函式旨在最小化總成本，包括固定建設成本$\sum_{i} F_i y_i$和變動運輸成本$\sum_{i,j} D_{i,j} x_{i,j}$。

關鍵限制條件與Big-M方法最佳化

  1. 供應限制：$\sum_{j} x_{i,j} \leq S_i y_i$，確保未啟用的設施不會運送貨物
  2. 需求滿足：$\sum_{i} x_{i,j} = D_j$，保證所有客戶需求得到滿足
  3. Big-M限制最佳化：採用$S_i$作為Big-M值，有效降低了係數大小，提高了求解效率

程式碼實作與關鍵解析

def solve_model(D, F):
    s = newSolver('Facility_location_problem', True)
    m, n = len(D)-1, len(D[0])-1
    B = sum(D[-1][j]*max(D[i][j] for i in range(m)) for j in range(n))
    x = [[s.NumVar(0, D[i][-1], "") for j in range(n)] for i in range(m)]
    y = [s.IntVar(0, 1, "") for i in range(m)]

    # 連結設施啟用與運輸量
    for i in range(m):
        s.Add(D[i][-1]*y[i] >= sum(x[i][j] for j in range(n)))

    # 滿足客戶需求
    for j in range(n):
        s.Add(D[-1][j] == sum(x[i][j] for i in range(m)))

    # 計算總成本
    Fcost, Dcost = s.NumVar(0, B, ""), s.NumVar(0, B, "")
    s.Add(sum(y[i]*F[i] for i in range(m)) == Fcost)
    s.Add(sum(x[i][j]*D[i][j] for i in range(m) for j in range(n)) == Dcost)
    s.Minimize(Dcost + Fcost)
    rc = s.Solve()
    return rc, ObjVal(s), SolVal(x), SolVal(y)

內容解密：

  1. 變數定義：x代表運輸量，y代表設施啟用狀態
  2. 限制條件：透過D[i][-1]*y[i] >= sum(x[i][j] for j in range(n))確保未啟用的設施不會運送貨物
  3. 成本計算：分別計算固定成本和變動成本，並最小化總成本

多商品流問題深度解析

多商品流問題是另一個重要的MIP應用領域，涉及在同一網路中運輸多種商品，每種商品都有其特定的供應、需求和運輸成本。

數學模型與決策變數

決策變數$x^k_{i,j}$表示沿著弧$(i, j)$運輸的商品$k$的數量。模型需滿足：

  1. 流量守恆：每個節點的流入量等於流出量
  2. 供應與需求：滿足每個商品的供應和需求約束
  3. 容量限制：遵守網路的容量限制

實務挑戰與建模考量

  1. 變數數量龐大：由於涉及多種商品和多個節點，模型的規模可能非常龐大
  2. 整數性要求：某些情況下，流量變數需要是整數，增加了模型的複雜度

建模策略最佳化

採用適切的建模技巧，如精確定義變數範圍和利用網路結構特性，可以有效提高模型的求解效率。

多商品流問題的模型與應用

多商品流問題是網路流問題的一種擴充套件，涉及多種商品在網路中的流動。本章將介紹多商品流問題的數學模型、可執行模型及其變體應用。

多商品流問題的數學模型

目標函式

多商品流問題的目標是最小化所有商品在網路中的運輸成本。其數學表示式如下：

min $\sum_{k} \sum_{i} \sum_{j} C_{ijk} x_{ijk}$

其中，$C_{ijk}$ 表示商品 $k$ 在弧 $(i, j)$ 上的單位運輸成本，$x_{ijk}$ 表示商品 $k$ 在弧 $(i, j)$ 上的流量。

約束條件

多商品流問題的約束條件包括流量守恆約束和容量約束。

  1. 流量守恆約束： $\sum_{j} x_{ijk} - \sum_{j} x_{jik} = S_{ik} - D_{ik}, \forall k, i$

    其中，$S_{ik}$ 和 $D_{ik}$ 分別表示節點 $i$ 對商品 $k$ 的供應量和需求量。

  2. 容量約束： $\sum_{k} x_{ijk} \leq u_{ij}, \forall i, j$

    其中，$u_{ij}$ 表示弧 $(i, j)$ 的容量。

可執行模型

以下是使用 Python 實作的多商品流問題的可執行模型：

def solve_model(C, D=None, Z=False):
    s = newSolver('Multi-commodity Flow Problem', Z)
    K, n = len(C), len(C[0]) - 1
    B = [sum(C[k][-1][j] for j in range(n)) for k in range(K)]
    x = [[[s.IntVar(0, B[k] if C[k][i][j] else 0, '') if Z else s.NumVar(0, B[k] if C[k][i][j] else 0, '') for j in range(n)] for i in range(n)] for k in range(K)]
    
    for k in range(K):
        for i in range(n):
            s.Add(C[k][i][-1] - C[k][-1][i] == sum(x[k][i][j] for j in range(n)) - sum(x[k][j][i] for j in range(n)))
    
    if D:
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                s.Add(sum(x[k][i][j] for k in range(K)) <= D if type(D) in [int, float] else D[i][j])
    
    Cost = s.Sum(C[k][i][j] * x[k][i][j] if C[k][i][j] else 0 for i in range(n) for j in range(n) for k in range(K))
    s.Minimize(Cost)
    rc = s.Solve()
    return rc, ObjVal(s), SolVal(x)

內容解密：

  1. 變數定義：x 是一個三維變數，用於表示每個商品在每個弧上的流量。
  2. 流量守恆約束：對於每個商品和每個節點，保證流入量等於流出量加上該節點的需求量減去供應量。
  3. 容量約束：對於每個弧，保證所有商品的總流量不超過該弧的容量。
  4. 目標函式：最小化所有商品在所有弧上的運輸成本總和。

多商品流問題的變體應用

全對最短路徑問題

多商品流問題可以用於解決全對最短路徑問題。具體方法是將每個節點視為一個供應特定商品的源點，並將其他節點視為該商品的需求點。

def solve_all_pairs(D, sources=None):
    n, C = len(D), []
    if sources is None:
        sources = [i for i in range(n)]
    
    for node in sources:
        C0 = [[0 if n in [i, j] else D[i][j] for j in range(n + 1)] for i in range(n + 1)]
        C0[node][-1] = n - 1
        for j in range(n):
            if j != node:
                C0[-1][j] = 1
        C.append(C0)
    
    rc, Val, x = solve_model(C)
    # 後續處理...

內容解密：

  1. 建構成本矩陣：對於每個源節點，建構一個成本矩陣，其中源節點的供應量為 $n-1$，其他節點的需求量為 1。
  2. 呼叫多商品流模型：使用建構的成本矩陣呼叫多商品流模型，求解最短路徑。
  3. 提取最短路徑：根據多商品流模型的解，提取每個源節點到其他節點的最短路徑。
玄貓 BlackCat

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技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。