Schnorr 簽章與數位簽章技術詳解

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Schnorr 簽章方案建立在離散對數難題的基礎上，提供更精簡的簽章大小和更快的生成速度，相較於其他方案更具效率。數位簽章驗證過程則需計算 x’ 值並與原文 x 值比對，接著計算雜湊值 e’ 並與原文 e 值比對，兩者皆相同則驗證成功。數位簽章標準 DSS 和 DSA 演算法則確保了數位訊息的真實性和完整性，並透過雜湊函式和公私鑰加密機制實現驗證。密碼鑰匙管理包含金鑰生成、分發、儲存和更新，是密碼學的重要環節。金鑰生命週期管理和金鑰零化技術則確保金鑰在不同階段的安全性和可用性。Diffie-Hellman 金鑰交換則允許雙方在不安全的通道中安全地交換金鑰，實現完美前向保密性。最後，橢圓曲線密碼學 ECC 提供了高安全性和高效率的金鑰交換和加密演算法，尤其適用於資源受限的物聯網環境，並在無線通訊和網路安全中扮演重要角色。

Schnorr 簽章方案的應用

Schnorr 簽章方案廣泛應用於各種領域，包括電子商務、電子郵件、數位證書等。其高效和安全的特性使其成為了一種廣泛接受的數位簽章方案。

內容解密：

上述內容介紹了 Schnorr 數位簽章方案的基本原理和過程。該方案的安全性根據離散對數問題的不可解性，且簽章大小縮小了六倍，簽章生成速度更快六倍。因此，Schnorr 簽章方案是一種高效和安全的數位簽章方案，廣泛應用於各種領域。

圖表翻譯：

  graph LR
    A[使用者] -->|選擇隨機整數 r|> B[計算 x = α^r (mod p)]
    B -->|連線訊息 M 和 x|> C[計算雜湊值 e = H(M || x)]
    C -->|計算 y = (r + se) (mod q)|> D[簽章 (e, y)]
    D -->|傳輸簽章|> E[驗證簽章]

上述圖表展示了 Schnorr 簽章方案的基本過程，包括使用者選擇隨機整數 r 、計算 x 、連線訊息 M 和 x 、計算雜湊值 e 、計算 y 、簽章 (e, y) ，以及傳輸和驗證簽章。

數位簽章驗證

數位簽章是使用公鑰密碼學確保數位訊息真實性和完整性的方法。以下是數位簽章驗證的步驟：

  1. 計算x’：使用公式x’ = α^y mod p計算x’，其中α是基數，y是私鑰，p是質數。
  2. 比較x’和x：比較計算出的x’和原始的x，如果兩者相同，則繼續下一步。
  3. 計算e’：使用公式e’ = H(M ∥ x’)計算e’，其中H是雜湊函式，M是原始訊息，x’是計算出的x’。
  4. 比較e’和e：比較計算出的e’和原始的e，如果兩者相同，則數位簽章驗證成功。

數位簽章標準方案

數位簽章標準（Digital Signature Standard，DSS）是一種由美國國家標準與技術研究所（NIST）制定的標準。DSS使用公鑰密碼學確保數位訊息的真實性和完整性。

DSS的過程如下：

  1. 原始訊息：將原始訊息M傳入雜湊函式H，生成雜湊值H(M)。
  2. 數位簽章：將原始訊息M和雜湊值H(M)合併，使用傳送者的私鑰加密，生成數位簽章。
  3. 驗證：接收者使用傳送者的公鑰解密數位簽章，生成雜湊值H(M)。
  4. 比較：比較生成的雜湊值H(M)和原始的雜湊值H(M)，如果兩者相同，則數位簽章驗證成功。

數位簽章演算法

數位簽章演算法（Digital Signature Algorithm，DSA）是一種根據DSS的公開原始碼數位簽章演算法。DSA使用模擬指數和離散對數問題，確保數位簽章的安全性。

DSA的過程如下：

  1. 原始訊息：將原始訊息M傳入雜湊函式H，生成雜湊值H(M)。
  2. 數位簽章：使用傳送者的私鑰和雜湊值H(M)生成數位簽章。
  3. 驗證：接收者使用傳送者的公鑰和雜湊值H(M)驗證數位簽章。

數位簽章的優點

數位簽章有以下優點：

  • 安全性：數位簽章使用公鑰密碼學，確保數位訊息的真實性和完整性。
  • 快速：數位簽章的生成和驗證過程快速。
  • 儲存空間：數位簽章需要的儲存空間小。
  • 免費：DSA是一種公開原始碼的數位簽章演算法，免費使用。

密碼鑰匙管理

密碼鑰匙管理是密碼學中的重要組成部分。密碼鑰匙管理包括以下幾個方面：

  • 鑰匙生成：生成安全的密碼鑰匙。
  • 鑰匙分發：將密碼鑰匙分發給相關方。
  • 鑰匙儲存：安全儲存密碼鑰匙。
  • 鑰匙更新：定期更新密碼鑰匙。

密碼鑰匙管理的目的是確保密碼鑰匙的安全性和完整性，防止密碼鑰匙被竊取或損壞。

加密金鑰管理的重要性

加密金鑰管理是保護加密金鑰在加密裝置和整個企業中的藝術和科學，旨在保護我們世界中的連線裝置。它被稱為安全的加密金鑰管理。電子金鑰管理系統（EKMS）也被稱為金鑰管理基礎設施（KMI），是一種用於保護美國國家安全的金鑰管理系統，例如海軍和空軍。

金鑰管理的基礎

金鑰管理系統包括各種與裝置和系統相關的活動。它涵蓋了整個生命週期，如圖7.22所示：

圖7.22：金鑰管理生命週期

金鑰生成

金鑰生成關注的是如何、什麼時候和在哪些裝置上生成加密金鑰，以及使用哪些演算法。建議每個金鑰都應該使用評估良好的隨機生成器生成，該生成器以足夠的熵為種子。金鑰可以直接在IoT裝置上或在任何IoT集中式系統上生成。

金鑰建立

金鑰建立包括兩方之間的通訊。它涉及同意一個特定的加密金鑰或將金鑰從傳送方傳輸到接收方。這可以更具體地稱為金鑰協議和金鑰傳輸過程：

  • 金鑰協議：它包括建立共享金鑰的行為，該金鑰由玄貓建立。
  • 金鑰傳輸：它是使用玄貓（KEK）傳輸加密金鑰的行為，然後將其傳輸到另一方。KEK可以是對稱的（AES）也可以是非對稱的（RSA）。

金鑰推導

金鑰推導函式是一個函式，裝置或軟體使用它從其他輸入金鑰和變數（包括密碼）生成加密金鑰。它通常在安全通訊協議（如TLS和IPsec）中由玄貓執行，傳輸隨機數或任何可用的當前金鑰。圖7.23展示了一個金鑰推導的概括性圖示：

圖7.23：金鑰推導的概括性圖示

使用唯一密碼生成的加密金鑰被稱為根據密碼的金鑰推導（PBKDF），如圖7.24所示：

圖7.24：根據密碼的金鑰推導圖示

金鑰儲存

金鑰儲存是指如何安全地儲存金鑰以及儲存在哪種型別的裝置中。金鑰可以由玄貓安全地儲存。在企業中，金鑰儲存使用硬體安全模組（HSM）加密，HSM本身就是具有廣泛的物理和邏輯安全保護的加密模組，因此難以被攻擊。例如，HSM具有防篡改外殼，如果被篡改，HSM將自動清除所有敏感的安全引數和加密金鑰。

金鑰託管

金鑰託管是指將金鑰儲存在第三方實體中，以便在需要時可以恢復金鑰。這是一種安全的方式，可以確保金鑰的安全性和可用性。玄貓可以使用金鑰託管服務來保護其加密金鑰。

金鑰管理的重要性

金鑰管理是保證資料安全的關鍵步驟之一。金鑰儲存（Key Escrow）是一種將金鑰和相關敏感資訊儲存於遠端備份位置的方法，以便在金鑰丟失時可以恢復。但是，這種方法也增加了攻擊面的風險，因為儲存的金鑰如果被攻擊者取得，將會對資料安全造成嚴重威脅。

金鑰生命週期

金鑰生命週期是指金鑰的使用時間，通常非對稱金鑰的生命週期較長，而對稱金鑰的生命週期較短。當金鑰到期時，可以透過以下方式提供新的金鑰：

  • 安全地嵌入新軟體或韌體中
  • 由玄貓運輸
  • 由玄貓生成
  • 由玄貓互相推導
  • 手動輸入裝置中

金鑰零化

金鑰零化是指安全地從記憶體中消除金鑰。許多加密庫都是設計為提供零化例程，以從執行時記憶體和長期靜態儲存中清除金鑰。安全的零化不僅僅是刪除指向金鑰的指標，還需要覆寫記憶體位置，使用零或隨機生成的資料。多次覆寫可以確保金鑰和相關資料從記憶體攻擊中不可恢復。

會計和管理

會計和管理功能是指識別、追蹤和會計金鑰生成、金鑰分發和金鑰銷毀的過程。這一階段的金鑰管理週期很重要，因為它涉及維護安全性和效能之間的平衡。例如，在金鑰生命週期中，較短的金鑰生命週期可以減少攻擊面的風險，但也增加了生成、建立、分發和會計金鑰材料的相對開銷。因此，使用公鑰加密來保證資料的前向保密性是首選的，因為它們具有較長的生命週期，但在零化時，可以建立新的和新鮮的金鑰集合。

Diffie-Hellman 金鑰交換

Diffie-Hellman 金鑰交換是一種安全地在兩個實體之間交換金鑰的方法，無需透過公共通道傳輸金鑰。這種方法被稱為完美的前向保密性（Perfect Forward Secrecy，PFS）。Diffie-Hellman 演算法使用公鑰加密來交換值，但不傳輸金鑰本身。以下是 Diffie-Hellman 演算法的步驟：

  1. 初始化：Alice 和 Bob 各自選擇一個大質數 (p) 和一個基數 (g)。
  2. 金鑰生成：Alice 和 Bob 各自生成一個私鑰 (a) 和 (b)，然後計算公鑰 (A = g^a \mod p) 和 (B = g^b \mod p)。
  3. 公鑰交換：Alice 和 Bob 交換公鑰 (A) 和 (B)。
  4. 共享金鑰計算：Alice 和 Bob 各自計算共享金鑰 (K = B^a \mod p) 和 (K = A^b \mod p)。
  5. 驗證：Alice 和 Bob 驗證共享金鑰是否相同。

這種方法可以保證金鑰的安全交換，避免了透過公共通道傳輸金鑰的風險。Diffie-Hellman 金鑰交換是保證資料安全的重要方法之一。

Diffie-Hellman 金鑰交換演算法

Diffie-Hellman 金鑰交換演算法是一種安全的金鑰交換方法，允許兩個使用者在不安全的通道中建立共享的秘密金鑰。以下是 Diffie-Hellman 演算法的步驟：

步驟 1：選擇全域公用元素

  • 選擇一個質數 q。
  • 選擇一個原始根 α，使得 α 是 q 的原始根，並且 α 模 q、α^2 模 q、…、α^(q-1) 模 q 是從 1 到 q-1 的整數的某種排列。

例如，如果 α = 3 且 q = 7 ，則 3 是 7 的原始根，因為 3^1 模 7 = 3 、 3^2 模 7 = 2 、 3^3 模 7 = 6 、 3^4 模 7 = 4 、 3^5 模 7 = 5 、 3^6 模 7 = 1 。

步驟 2：使用者 A 的金鑰生成

  • 選擇一個隨機數字作為使用者 A 的私鑰，記為 X_A，使得 X_A < q。
  • 計算使用者 A 的公鑰，記為 Y_A，使用公式 Y_A = α^X_A mod q。

步驟 3：使用者 B 的金鑰生成

  • 選擇一個隨機數字作為使用者 B 的私鑰，記為 X_B，使得 X_B < q。
  • 計算使用者 B 的公鑰，記為 Y_B，使用公式 Y_B = α^X_B mod q。

步驟 4：金鑰交換

  • 使用者 A 將其公鑰 Y_A 傳送給使用者 B。
  • 使用者 B 將其公鑰 Y_B 傳送給使用者 A。
  • 使用者 A 計算共享的秘密金鑰，記為 K_A，使用公式 K_A = Y_B^X_A mod q。
  • 使用者 B 計算共享的秘密金鑰，記為 K_B，使用公式 K_B = Y_A^X_B mod q。

由於 K_A = Y_B^X_A mod q = (α^X_B)^X_A mod q = α^(X_A*X_B) mod q ，且 K_B = Y_A^X_B mod q = (α^X_A)^X_B mod q = α^(X_A*X_B) mod q ，因此 K_A = K_B ，即使用者 A 和使用者 B 共享相同的秘密金鑰。

內容解密：

Diffie-Hellman 金鑰交換演算法的安全性根據離散對數問題的困難性，即給定 α 、 q 和 Y_A ，求解 X_A 是困難的。這使得攻擊者難以計算共享的秘密金鑰。

圖表翻譯：

以下是 Diffie-Hellman 金鑰交換演算法的流程圖：

  flowchart TD
    A[使用者 A] -->|傳送公鑰 Y_A|> B[使用者 B]
    B -->|傳送公鑰 Y_B|> A
    A -->|計算共享金鑰 K_A|> C[共享金鑰]
    B -->|計算共享金鑰 K_B|> C

此圖表展示了使用者 A 和使用者 B 之間的金鑰交換過程。

7.6.3 橢圓曲線密碼學

橢圓曲線密碼學（ECC）是一種提供安全的金鑰交換和高效的加密演算法的方法。與RSA相比，ECC具有相同的安全性，但使用的金鑰大小更小。這意味著ECC可以提供更高的安全性和效率。

7.6.3.1 ECC的優點

ECC的主要優點是它可以提供相同的安全性，但使用的金鑰大小更小。這使得ECC更適合於需要高安全性和高效率的應用。例如，在無線通訊中，ECC可以提供更高的安全性和更低的能耗。

7.6.3.2 ECC的工作原理

ECC的工作原理是根據橢圓曲線上的離散對數問題。這個問題是根據橢圓曲線上的點的座標和該點的階數之間的關係。ECC使用這個問題來建立一個安全的金鑰交換協議。

7.6.3.2.1 金鑰交換協議

ECC的金鑰交換協議是根據Diffie-Hellman金鑰交換協議。該協議允許兩個使用者在不需要傳輸實際金鑰的情況下交換金鑰。

7.6.3.2.2 加密演算法

ECC也可以用於加密演算法。ECC的加密演算法是根據橢圓曲線上的點的座標和該點的階數之間的關係。

7.6.3.3 ECC的應用

ECC的應用包括：

  • 無線通訊：ECC可以提供更高的安全性和更低的能耗，使其適合於無線通訊。
  • 網路安全：ECC可以用於網路安全中，例如SSL/TLS協議。
  • 密碼學：ECC可以用於密碼學中，例如加密演算法和金鑰交換協議。
範例：ECC的金鑰交換協議

假設兩個使用者，Alice和Bob，想要交換金鑰。他們可以使用ECC的金鑰交換協議。首先，Alice和Bob需要選擇一個橢圓曲線和一個基點。然後，Alice和Bob可以計算出自己的私鑰和公鑰。最後，Alice和Bob可以使用自己的私鑰和對方的公鑰計算出共享的金鑰。

  sequenceDiagram
    participant Alice
    participant Bob
    Note over Alice,Bob: 選擇橢圓曲線和基點
    Alice->>Alice: 計算私鑰和公鑰
    Bob->>Bob: 計算私鑰和公鑰
    Alice->>Bob: 傳送公鑰
    Bob->>Alice: 傳送公鑰
    Alice->>Alice: 計算共享金鑰
    Bob->>Bob: 計算共享金鑰

圖表翻譯：

此圖表示Alice和Bob使用ECC的金鑰交換協議的過程。首先，Alice和Bob需要選擇一個橢圓曲線和一個基點。然後，Alice和Bob可以計算出自己的私鑰和公鑰。最後，Alice和Bob可以使用自己的私鑰和對方的公鑰計算出共享的金鑰。這個過程可以提供安全的金鑰交換和高效的加密演算法。

橢圓曲線密碼學（ECC）簡介

橢圓曲線密碼學（ECC）是一種根據橢圓曲線的密碼學演算法，該演算法的安全性根據橢圓曲線上的離散對數問題。這種演算法的特點是使用較小的金鑰尺寸來實現相同的安全性，從而減少了計算和儲存的需求。

橢圓曲線的基本性質

橢圓曲線可以被定義為一種形式為 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的曲線，其中 $a$ 和 $b$ 是常數。這種曲線的特點是對稱於 x 軸（y = 0），且任何一條線最多隻能與曲線在三個點相交。

ECC 金鑰交換演算法

ECC 金鑰交換演算法的基本步驟如下：

  1. 定義全域性公共元素：選擇一個橢圓曲線，定義其引數 $a$、$b$ 和 $q$，其中 $q$ 是一個質數或 $2^m$ 形式的整數。
  2. 金鑰生成：使用者 A 和使用者 B 分別選擇一個隨機的私鑰 $n_A$ 和 $n_B$，然後計算出公鑰 $P_A$ 和 $P_B$。
  3. 秘密金鑰計算：使用者 A 和使用者 B 分別使用對方的公鑰和自己的私鑰計算出秘密金鑰。
  4. 秘密金鑰驗證：使用者 A 和使用者 B 的秘密金鑰應該相同，如果相同，則表示金鑰交換成功。

橢圓曲線上的離散對數問題

橢圓曲線上的離散對數問題是指給定一點 $Q$ 和一點 $P$，以及一條線 $kP = Q$，求出 $k$ 的值。這個問題在計算上是非常困難的，但如果知道 $k$ 和 $P$，則可以很容易地計算出 $Q$。

實際應用

ECC 在許多實際應用中被使用，例如 SSL/TLS 協議、PGP 加密等。由於其高安全性和低計算需求，ECC 已經成為了一種廣泛使用的密碼學演算法。

內容解密：

上述內容介紹了橢圓曲線密碼學（ECC）的基本原理和金鑰交換演算法。ECC 的安全性根據橢圓曲線上的離散對數問題，使用較小的金鑰尺寸來實現相同的安全性。這種演算法在許多實際應用中被使用，例如 SSL/TLS 協議、PGP 加密等。

  graph LR
    A[使用者 A] -->|私鑰 n_A|> B[公鑰 P_A]
    B -->|公鑰 P_A|> C[使用者 B]
    C -->|私鑰 n_B|> D[公鑰 P_B]
    D -->|公鑰 P_B|> A
    A -->|秘密金鑰|> E[秘密金鑰]
    C -->|秘密金鑰|> E

圖表翻譯：

上述圖表展示了 ECC 金鑰交換演算法的基本流程。使用者 A 和使用者 B 分別選擇一個隨機的私鑰 $n_A$ 和 $n_B$，然後計算出公鑰 $P_A$ 和 $P_B$。使用者 A 和使用者 B 分別使用對方的公鑰和自己的私鑰計算出秘密金鑰。最終，兩個使用者的秘密金鑰應該相同，如果相同，則表示金鑰交換成功。

橢圓曲線密碼學（ECC）演算法

橢圓曲線密碼學（ECC）是一種根據橢圓曲線數論的公鑰密碼系統。以下是ECC的加密和解密過程：

加密

加密過程中，需要將明文訊息 m 轉換為橢圓曲線上的點 P_m 。然後，該點會被加密為密文。

有多種方法可以將明文訊息 m 編碼為橢圓曲線上的點。以下是其中一種方法：

  1. 選擇一個隨機的正整數k。
  2. 計算點P_m的坐標。
  3. 將點P_m加密為密文。

密文也是一個橢圓曲線上的點，表示為 C = k \* G + P_m \* B ，其中 G 是全域性基點， B 是接收者的公鑰。

解密

當接收者收到密文 C 後，需要進行以下步驟來解密：

  1. 將密文C的第一個坐標乘以接收者的私鑰b。
  2. 將結果從密文C的第二個坐標中減去。
  3. 由於b \* G = B，因此可以將B代入上一步的結果中。
  4. 得到解密後的明文點P_m。
  5. 將明文點P_m解碼為原來的明文訊息m。

公鑰基礎設施（PKI）

PKI是一種標準化的框架，用於管理、儲存和分發公鑰和數字憑證。PKI的主要目的是提供安全、方便和高效的公鑰獲取方式。

PKI包括以下元素：

  • 端點實體（End Entity）：使用或支援PKI相關服務的實體。
  • 證書授權機構（CA）：發行證書和證書吊銷列表（CRL）的機構。
  • 序號產生器構（RA）：負責註冊端點實體和協助CA的機構。
  • CRL發行機構：一個選擇性的元素，CA用於發布CRL。
  • 儲存庫：儲存證書和CRL的儲存庫。

PKI管理功能包括：

  • 註冊：端點實體向CA註冊的過程。
  • 初始化：客戶端系統初始化和安裝公鑰和相關資訊的過程。
  • 證書頒發：CA發行證書給端點實體的過程。
  • 金鑰對恢復：端點實體恢復其加密/解密金鑰對的過程。
  • 金鑰對更新：更新金鑰對和發行新證書的過程。
  • 吊銷請求：當私鑰洩露或實體名稱變化時，吊銷證書的過程。

物聯網（IoT）協議中的密碼控制

密碼控制是一組用於確保密碼學正確和有效使用的安全實踐。IoT裝置是資源有限的，容易受到攻擊。因此，需要在IoT協議中加入密碼控制，以確保端到端和點到點通訊的安全。以下是IoT協議中的密碼控制：

  • 加密：使用密碼學演算法加密資料，以防止未經授權的存取。
  • 數字簽名：使用數字簽名演算法驗證資料的真實性和完整性。
  • 金鑰管理：管理和分發金鑰，以確保安全的通訊。
  graph LR
    A[IoT裝置] -->|加密|> B[密文]
    B -->|傳輸|> C[接收者]
    C -->|解密|> D[明文]
    D -->|驗證|> E[數字簽名]
    E -->|驗證成功|> F[真實性和完整性]

圖表翻譯：

上述Mermaid圖表示IoT裝置和接收者之間的通訊過程。IoT裝置將資料加密後傳輸給接收者，接收者解密後驗證資料的真實性和完整性。這個過程使用了密碼控制，包括加密、數字簽名和金鑰管理，以確保通訊的安全。

Schnorr 簽章方案在提升區塊鏈效能和隱私方面展現出顯著優勢。分析其在比特幣等加密貨幣中的應用，可以發現 Schnorr 簽章的多重簽名機制能有效降低交易費用和區塊鏈負載，同時提升交易隱私性，這與傳統多重簽名方案相比具有明顯的效能提升。然而，Schnorr 簽章方案的安全性依賴於雜湊函式的安全性以及金鑰管理的嚴謹性，任何環節的疏忽都可能導致安全漏洞。考量其整合至現有系統的複雜度和潛在風險，建議開發團隊在匯入 Schnorr 簽章方案時，應優先強化金鑰管理機制，並進行嚴格的安全審計。展望未來，隨著 Schnorr 簽章方案的標準化和普及，預計其將在更多區塊鏈應用場景中發揮關鍵作用，推動去中心化金融和數位資產管理的進一步發展。玄貓認為，深入理解 Schnorr 簽章方案的技術特性和安全挑戰，對於構建更安全、高效的區塊鏈生態系統至關重要。

玄貓

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技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。