NumPy與Qiskit經典與量子位元視覺化

量子計算近年來備受關注，理解量子位元的特性是入門的關鍵。本文將探討如何運用 NumPy 和 Qiskit 這兩個 Python 工具，模擬經典位元和量子位元，並將量子位元的狀態以布洛赫球視覺化呈現。藉由程式碼範例和圖表，我們將逐步解析量子疊加態、量子測量以及量子門操作等核心概念，幫助讀者建立對量子計算的初步理解，並提供未來深入研究的基礎。

import numpy as np

# 定義經典位元和量子位元
bits = {
    "bit = 0": np.array([1, 0]),
    "bit = 1": np.array([0, 1]),
    "|0⟩": np.array([1, 0]),
    "|1⟩": np.array([0, 1]),
    "a|0⟩ + b|1⟩": np.array([np.sqrt(1/2), np.sqrt(1/2)])  # 疊加態
}

# 顯示各個位元/量子位元的向量表示
for b in bits:
    print(f"{b}: {bits[b].round(3)}")

# 模擬量子位元測量
print("\n'Measuring' our bits and qubits")
print("
---
-
---
-
---
-
---
-
---
-
---
-
---
-
---
")
for b in bits:
    print(b)
    print("Probability of getting:")
    for i, amplitude in enumerate(bits[b]):
        probability = np.abs(amplitude)**2  # 電腦率
        print(f"{i} = {probability * 100:.2f}%")
    print()

內容解密：

這段程式碼首先使用 NumPy 定義了經典位元（0 和 1）以及量子位元（|0⟩、|1⟩ 和疊加態）。接著，它印出每個位元/量子位元的向量表示。最後，它模擬了量子位元的測量過程，計算並顯示每個狀態的機率。疊加態的量子位元在測量時，會以一定的機率坍縮到 |0⟩ 或 |1⟩。

import numpy as np
import cmath
from math import pi, sin, cos
from qiskit.visualization import plot_bloch_vector

# 定義量子位元在布洛赫球上的角度
bits = {
    "bit = 0": {"theta": 0, "phi": 0},
    "bit = 1": {"theta": pi, "phi": 0},
    "|0⟩": {"theta": 0, "phi": 0},
    "|1⟩": {"theta": pi, "phi": 0},
    "a|0⟩ + b|1⟩": {"theta": pi/2, "phi": 0}
}

# 將量子位元視覺化
for bit in bits:
    theta = bits[bit]["theta"]
    phi = bits[bit]["phi"]
    bloch = [cos(phi)*sin(theta), sin(phi)*sin(theta), cos(theta)]
    display(plot_bloch_vector(bloch, title=bit))

    a = cos(theta/2)
    b = cmath.exp(phi*1j)*sin(theta/2)
    state_vector = [a * complex(1,0), b * complex(1,0)]
    print("State vector:", np.around(state_vector, decimals=3))

內容解密：

這段程式碼使用 Qiskit 的 plot_bloch_vector 函式將量子位元的狀態視覺化在布洛赫球上。每個量子位元的狀態由球面上的點表示，其位置由 $\theta$ 和 $\phi$ 兩個角度決定。程式碼也計算並顯示了對應的狀態向量。

import numpy as np

# 定義量子門
gates = {
    "ID": np.array([[1, 0], [0, 1]]),
    "X": np.array([[0, 1], [1, 0]]),
    "H": 1/np.sqrt(2)*np.array([[1, 1], [1, -1]])
}

# 定義量子位元
qubits = {
    "|0⟩": np.array([1, 0]),
    "|1⟩": np.array([0, 1]),
    "(|0⟩+|1⟩)/√2": 1/np.sqrt(2)*np.array([1, 1])
}

# 應用量子門
for gate_name, gate_matrix in gates.items():
    print(f"Applying gate: {gate_name}")
    for qubit_name, qubit_state in qubits.items():
        result = np.dot(gate_matrix, qubit_state)
        print(f"{qubit_name} -> {result.round(3)}")
    print()

內容解密：

這段程式碼定義了幾個常見的量子門（ID、X 和 H），並將它們應用於不同的量子位元狀態。它使用 NumPy 的矩陣乘法來計算量子門作用後的結果，展示了量子門如何改變數子位元的狀態。

import numpy as np

# 定義雙量子位元的基向量
two_qubits = {
    "|00⟩": np.array([1, 0, 0, 0]),
    "|01⟩": np.array([0, 1, 0, 0]),
    "|10⟩": np.array([0, 0, 1, 0]),
    "|11⟩": np.array([0, 0, 0, 1])
}

# 定義 CX 門
cx_gate = np.array([
    [1, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1],
    [0, 0, 1, 0]
])

# 應用 CX 門
for state, vector in two_qubits.items():
    result = np.dot(cx_gate, vector)
    print(f"CX gate on {state}: {result}")

內容解密：

這段程式碼展示瞭如何在雙量子位元系統上應用量子門。它定義了雙量子位元的基向量和 CX 門（受控非門），並計算了 CX 門作用於每個基向量的結果。

import numpy as np

# 定義 X 門
x_gate = np.array([[0, 1], [1, 0]])

# 計算 X 門的逆門
inverse_x = np.linalg.inv(x_gate)

print(f"Inverse of X gate: {inverse_x}")

內容解密：

這段程式碼展示了量子門的可逆性。它計算了 X 門的逆門，並顯示結果。在這個例子中，X 門的逆門就是它本身。

使用NumPy和Qiskit視覺化經典位元與量子位元

簡介

本章節將介紹如何使用NumPy和Qiskit來模擬和視覺化經典位元和量子位元。我們將首先使用NumPy建立經典位元和量子位元的矢量表示，然後使用Qiskit的布洛赫球表示法來視覺化這些量子位元。

2.2 使用NumPy模擬經典位元和量子位元

2.2.1 準備工作

首先，我們需要匯入必要的函式庫，包括NumPy。

import numpy as np

2.2.2 操作步驟

定義經典位元和量子位元的矢量表示：
我們將使用NumPy陣列來表示位元和量子位元的狀態。

a = np.sqrt(1/2)
bits = {
    "bit =0": np.array([1,0]),
    "bit =1": np.array([0,1]),
    "|0⟩": np.array([1,0]),
    "|1⟩": np.array([0,1]),
    "a|0⟩+b|1⟩": np.array([a, np.sqrt(1/2)])
}

列印向量：
我們將遍歷bits字典並列印每個位元或量子位元的狀態。

for b in bits:
    print(b, ": ", bits[b].round(3))
print("\n")

測量量子位元：
我們將透過計算每個狀態的機率來“測量”量子位元。

print("'Measuring' our bits and qubits")
print("
---
-
---
-
---
-
---
-
---
-
---
-
---
-
---
")
prob = {}
for b in bits:
    print(b)
    print("Probability of getting:")
    for dig in range(len(bits[b])):
        prob[b] = pow(bits[b][dig], 2)
        print(dig, " = ", '%.2f'%(prob[b]*100), "%")
    print("\n")

2.2.3 執行原理

經典位元：在經典計算中，位元要麼是0，要麼是1，測量結果是確定的。
量子位元：量子位元可以處於0和1的疊加態，測量結果取決於其狀態向量的係數a和b，其中|a|^2 + |b|^2 = 1。

2.3 使用Python和Qiskit視覺化量子位元

2.3.1 準備工作

匯入必要的函式庫，包括NumPy、cmath和Qiskit的plot_bloch_vector。

import numpy as np
import cmath
from math import pi, sin, cos
from qiskit.visualization import plot_bloch_vector

2.3.2 操作步驟

建立量子位元：
我們將定義一些量子位元的狀態，使用布洛赫球的引數θ和φ。

angles = {"theta": pi/2, "phi": 0}
bits = {
    "bit =0": {"theta": 0, "phi": 0},
    "bit =1": {"theta": pi, "phi": 0},
    "|0⟩": {"theta": 0, "phi": 0},
    "|1⟩": {"theta": pi, "phi": 0},
    "a|0⟩+b|1⟩": angles
}

將量子位元視覺化在布洛赫球上：
我們將計算每個量子位元對應的布洛赫向量，並使用Qiskit的plot_bloch_vector函式進行視覺化。

for bit in bits:
    bloch = [cos(bits[bit]["phi"])*sin(bits[bit]["theta"]), 
             sin(bits[bit]["phi"])*sin(bits[bit]["theta"]), 
             cos(bits[bit]["theta"])]
    display(plot_bloch_vector(bloch, title=bit))
    
    a = cos(bits[bit]["theta"]/2)
    b = cmath.exp(bits[bit]["phi"]*1j)*sin(bits[bit]["theta"]/2)
    state_vector = [a * complex(1,0), b * complex(1,0)]
    print("State vector:", np.around(state_vector, decimals=3))

#### 內容解密：

上述程式碼將經典位元和量子位元對映到布洛赫球面上進行視覺化展示。首先，我們匯入必要的函式庫並定義量子位元的狀態引數。然後，我們使用布洛赫球的引數θ和φ來計算每個量子位元對應的布洛赫向量。最後，我們使用Qiskit的plot_bloch_vector函式將這些向量繪製在布洛赫球上，並輸出對應的狀態向量。

參考資料

Robert S. Sutor. Dancing with Qubits: How quantum computing works and how it can change the world. Packt Publishing, 2019.
Michael A. Nielsen 和 Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010.
Leonard Susskind 和 Art Friedman. Quantum Mechanics: The theoretical minimum. Basic Books, 2014.

隨著量子計算技術的不斷進步，我們預計將看到更多根據量子位元的應用和演算法被開發出來。未來的工作將集中在如何更好地利用量子計算的平行性和機率特性來解決複雜問題。

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強制驗證程式碼邏輯完整性及「#### 內容解密」逐項詳細作用與邏輯之解說
強制確認內容完全原創且充分重構
強制確認圖表標題不包含「Plantuml」字眼
強制確認每段程式碼後都有「#### 內容解密：」詳細每個段落作用與邏輯之解說

深入理解量子計算中的量子位元與量子門

2.3 量子位元的探討

2.3.1 量子疊加態的視覺化表示

量子位元與經典位元的最大不同在於其能夠存在於疊加態。一個量子位元可以表示為 $a|0\rangle + b|1\rangle$，其中 $a$ 和 $b$ 是複數，且 $|a|^2 + |b|^2 = 1$。這種狀態可以透過布洛赫球來視覺化表示。

import numpy as np
from math import pi

# 定義量子位元的初始狀態
theta = pi/2  # 對應於布洛赫球上的赤道
phi = 0      # 相位角

# 使用 NumPy 建立量子位元的向量表示
qubit_state = np.array([np.cos(theta/2), np.sin(theta/2)*np.exp(1j*phi)])
print("量子位元的狀態：", qubit_state)

#### 內容解密：

這段程式碼定義了一個量子位元的初始狀態，並使用布洛赫球的引數 $\theta$ 和 $\phi$ 來表示。$\theta$ 是從北極開始計算的角度，而 $\phi$ 是相位角。這裡的 $\theta = \pi/2$ 表示量子位元位於布洛赫球的赤道上，而 $\phi = 0$ 表示沒有相位偏移。量子位元的狀態透過 NumPy 的陣列來表示，其中第一個元素是 $|0\rangle$ 的係數，第二個元素是 $|1\rangle$ 的係數。

2.3.2 探索 $\theta$ 和 $\phi$ 的影響

透過改變 $\theta$ 和 $\phi$ 的值，我們可以控制量子位元的狀態。下面是一個示例，展示如何透過使用者輸入來定義 $\theta$ 和 $\phi$，從而改變數子位元的狀態。

import numpy as np
from math import pi

# 允許使用者輸入 theta 和 phi 的值
theta = float(input("輸入 theta (弧度)："))
phi = float(input("輸入 phi (弧度)："))

# 建立量子位元的向量表示
qubit_state = np.array([np.cos(theta/2), np.sin(theta/2)*np.exp(1j*phi)])

# 列印結果
print("量子位元的新狀態：", qubit_state)

#### 內容解密：

這段程式碼允許使用者輸入 $\theta$ 和 $\phi$ 的值，從而自定義量子位元的狀態。輸入的值用於計算量子位元的向量表示，並列印出結果。這種互動方式有助於理解 $\theta$ 和 $\phi$ 如何影響量子位元的狀態。

2.4 量子門簡介

2.4.1 量子門的基本概念

量子門是量子計算中的基本操作，用於操控量子位元的狀態。與經典邏輯閘不同，量子門是可逆的，並且可以對量子位元進行更複雜的操作。

2.4.2 使用 NumPy 實作量子門

import numpy as np
from math import sqrt

# 定義一些基本的量子門
gates = {
    "ID": np.array([[1, 0], [0, 1]]),
    "X": np.array([[0, 1], [1, 0]]),
    "H": 1/sqrt(2)*np.array([[1, 1], [1, -1]])
}

# 定義一些量子位元的初始狀態
qubits = {
    "|0⟩": np.array([1, 0]),
    "|1⟩": np.array([0, 1]),
    "(|0⟩+|1⟩)/√2": 1/sqrt(2)*np.array([1, 1])
}

# 將量子門應用於量子位元
for gate_name, gate_matrix in gates.items():
    print(f"應用量子門：{gate_name}")
    for qubit_name, qubit_state in qubits.items():
        result = np.dot(gate_matrix, qubit_state)
        print(f"{qubit_name} -> {result.round(3)}")

#### 內容解密：

這段程式碼定義了幾個基本的量子門（ID門、X門和H門），並將它們應用於不同的量子位元初始狀態。程式碼使用 NumPy 的矩陣乘法來計算量子門作用後的結果，並列印出每一步的運算結果。這有助於理解量子門如何操控量子位元的狀態。

2.4.3 雙量子位元系統與量子門

2.4.3.1 雙量子位元的向量表示

對於雙量子位元系統，其狀態可以表示為四維向量，分別對應於 $|00\rangle$、$|01\rangle$、$|10\rangle$ 和 $|11\rangle$。

import numpy as np

# 定義雙量子位元的基向量
two_qubits = {
    "|00⟩": np.array([1, 0, 0, 0]),
    "|01⟩": np.array([0, 1, 0, 0]),
    "|10⟩": np.array([0, 0, 1, 0]),
    "|11⟩": np.array([0, 0, 0, 1])
}

# 列印雙量子位元的基向量
for state, vector in two_qubits.items():
    print(f"{state}：{vector}")

#### 內容解密：

這段程式碼定義了雙量子位元系統的四個基向量，分別對應於 $|00\rangle$、$|01\rangle$、$|10\rangle$ 和 $|11\rangle$。這些向量用於表示雙量子位元系統的狀態。

2.4.3.2 雙量子位元的量子門

雙量子位元的量子門可以用 $4 \times 4$ 的矩陣來表示。例如，受控非門（CX門）可以用以下矩陣表示：

import numpy as np

# 定義 CX 門
cx_gate = np.array([
    [1, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1],
    [0, 0, 1, 0]
])

# 將 CX 門應用於雙量子位元狀態
for state, vector in two_qubits.items():
    result = np.dot(cx_gate, vector)
    print(f"CX 門作用於 {state}：{result}")

#### 內容解密：

這段程式碼定義了 CX 門，並將其應用於雙量子位元的基向量。CX 門是一種雙量子位元門，當控制量子位元為 $|1\rangle$ 時，它會翻轉目標量子位元的狀態。程式碼列印出 CX 門作用於每個基向量的結果。

2.4.4 量子門的可逆性

量子門的一個重要特性是其可逆性。這意味著對於任何一個量子門，都存在一個對應的逆門，可以將量子位元還原到原始狀態。

import numpy as np

# 定義一些量子門及其逆門
gates = {
    "X": np.array([[0, 1], [1, 0]])
}

for gate_name, gate_matrix in gates.items():
    # 計算逆門
    inverse_gate = np.linalg.inv(gate_matrix)
    print(f"{gate_name} 門的逆門：{inverse_gate.round(3)}")

#### 內容解密：

這段程式碼展示瞭如何計算一個量子門的逆門。對於大多數基本的量子門，其逆門要麼是它本身，要麼是另一個簡單的門。程式碼使用 NumPy 的 linalg.inv 函式來計算矩陣的逆。

IBM Quantum Experience簡介與拖曳式量子程式設計

3.1 技術需求

本章節的範例程式碼位於本文GitHub倉函式庫中對應的第三章目錄下。讀者在開始之前，請先註冊一個IBM Quantum Experience帳號，詳細步驟參見1.2節。

3.2 IBM Quantum Experience簡介

IBM Quantum Experience是一個開放的平台，任何人都可以使用該平台開始量子計算之旅。透過該平台，使用者可以免費使用多台組態不同的IBM量子電腦，這些量子電腦從單量子位元到15量子位元都有，還有一個執行在IBM POWER9硬體上的32量子位元的模擬器。該平台為使用者提供了很多資源可供調配。

3.2.1 主要功能與特點

多樣化的量子計算資源：提供多種不同組態的量子電腦和模擬器。
使用者友好的介面：首頁面中包含可用的後端裝置列表、最近使用的量子線路、工作台等。
多種工具：包括Results、Circuit Composer和Quantum Lab等工具。

3.3 使用Circuit Composer搭建量子樂譜

本文將引導讀者瞭解在IBM Quantum Experience中建立一個量子樂譜所需的基本步驟，同時對Circuit Composer的工作原理、如何搭建並完善一個量子樂譜、以及如何使用Inspect功能一步步地分析量子樂譜等有大致的瞭解。

3.3.1 操作步驟

登入IBM Quantum Experience：透過瀏覽器（Chrome瀏覽器似乎執行得比較穩定）跳轉到IBM Quantum官方網站，並使用自己的IBM Quantum Experience帳號登入。
開啟Circuit Composer：在左側選單欄中點選“Circuit Composer”。該操作會開啟“Circuit Composer files”頁面，點選“New Circuit”，開啟一個空的未命名量子線路。
設定量子位元數目：在預設設定下，使用者可以看到5條直線，代表5個量子位元。為了簡化範例，本次操作將只使用一個量子位元。將滑鼠指標懸停在量子位元標籤q0上，然後該標籤會變成一個垃圾桶圖示。使用垃圾桶圖示移除一些量子位元，只留下一個。

程式碼範例：單量子位元非門操作

# 匯入必要的函式庫
from qiskit import QuantumCircuit, execute, Aer

# 建立一個包含1個量子位元和1個經典暫存器的量子線路
qc = QuantumCircuit(1, 1)

# 在量子位元上新增一個X門（非門）
qc.x(0)

# 新增測量指令，將量子位元的狀態寫入經典暫存器
qc.measure([0], [0])

# 使用Aer模擬器執行量子線路
simulator = Aer.get_backend('qasm_simulator')
job = execute(qc, simulator)
result = job.result()

# 輸出測量結果
counts = result.get_counts(qc)
print("測量結果：", counts)

內容解密：

建立量子線路：使用QuantumCircuit類別建立一個包含1個量子位元和1個經典暫存器的量子線路。
新增X門：使用x方法在量子位元上新增一個X門（非門），將其狀態從0翻轉到1。
測量指令：使用measure方法將量子位元的狀態測量並寫入經典暫存器。
模擬執行：使用Aer模擬器執行量子線路，並取得測量結果。

3.4 量子拋硬幣實驗

透過簡單的量子線路設計，可以實作量子拋硬幣實驗。這個實驗展示了量子隨機性和量子測量的基本原理。

程式碼範例：量子拋硬幣

# 匯入必要的函式庫
from qiskit import QuantumCircuit, execute, Aer

# 建立一個包含1個量子位元和1個經典暫存器的量子線路
qc = QuantumCircuit(1, 1)

# 在量子位元上新增一個H門（哈達馬門）
qc.h(0)

# 新增測量指令，將量子位元的狀態寫入經典暫存器
qc.measure([0], [0])

# 使用Aer模擬器執行量子線路
simulator = Aer.get_backend('qasm_simulator')
job = execute(qc, simulator)
result = job.result()

# 輸出測量結果
counts = result.get_counts(qc)
print("拋硬幣結果：", counts)

內容解密：

哈達馬門：使用h方法在量子位元上新增一個H門（哈達馬門），使其進入疊加態。
測量：測量量子位元的狀態，輸出結果為0或1，模擬拋硬幣的效果。

3.5 不同軟體之間的互動

IBM Quantum Experience提供了多種工具和介面，方便使用者在不同環境下進行量子計算和程式設計。例如，可以使用Qiskit在本地環境中編寫和執行量子程式，並將結果上傳到IBM Quantum Experience進行進一步的分析和視覺化。

程式碼範例：使用Qiskit與IBM Quantum Experience互動

# 匯入必要的函式庫
from qiskit import IBMQ, QuantumCircuit

# 登入IBM Quantum Experience帳號
IBMQ.load_account()

# 取得可用的後端裝置
provider = IBMQ.get_provider()
backend = provider.get_backend('ibmq_qasm_simulator')

# 建立一個簡單的量子線路
qc = QuantumCircuit(2, 2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure([0, 1], [0, 1])

# 在遠端模擬器上執行量子線路
job = backend.run(qc)
result = job.result()

# 輸出測量結果
counts = result.get_counts(qc)
print("測量結果：", counts)

內容解密：

登入帳號：使用IBMQ.load_account()方法登入IBM Quantum Experience帳號。
取得後端裝置：透過IBMQ.get_provider()取得可用的後端裝置，並選擇一個模擬器。
執行量子線路：在遠端模擬器上執行建立的量子線路，並取得測量結果。

玄貓 BlackCat

技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。