NumPy多維陣列建立與對角線元素操作技巧

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NumPy 是 Python 資料科學領域的核心函式庫，其高效的陣列運算能力是許多科學計算的基礎。理解如何建立和操作多維陣列，特別是對角線元素，對於資料處理和分析至關重要。本文將介紹使用 zeros、ones、full 初始化不同值的多維陣列，使用 eye 函式建立單位矩陣，以及使用 diag 函式提取和建構對角陣列等技巧。這些函式的靈活運用能大幅提升程式碼效率，簡化複雜的陣列操作。尤其在機器學習、影像處理等領域，這些技巧更是不可或缺。

初始化 4 維陣列

以下是使用 zeros 函式初始化一個 4 維陣列的例子：

import numpy as np

# 初始化 4 維陣列，形狀為 (3, 1, 2, 3)
array = np.zeros((3, 1, 2, 3))

print(array)

輸出結果：

[[[0. 0. 0.]
  [0. 0. 0.]]

 [[0. 0. 0.]
  [0. 0. 0.]]

 [[0. 0. 0.]
  [0. 0. 0.]]]

如您所見，輸出結果是一個 4 維陣列，形狀為 (3, 1, 2, 3)。每個元素都是 0。

內容解密：

  • np.zeros 函式用於建立多維陣列，並將所有元素初始化為 0。
  • (3, 1, 2, 3) 是陣列的形狀，代表著 4 個維度的大小。
  • print(array) 用於輸出陣列的內容。

多維陣列的結構

多維陣列可以想象成一個矩陣的矩陣。每個維度代表著一個新的矩陣。例如，在上面的例子中，我們有一個 3x1x2x3 的陣列，可以想象成：

  • 一個 3x1 的矩陣，每個元素都是一個 2x3 的矩陣。
  • 每個 2x3 的矩陣，又包含了 2x3 個元素，每個元素都是一個數值。

這樣的結構使得多維陣列可以用來表示複雜的資料結構，例如影像、音訊等。

圖表翻譯：

  graph LR
    A[3x1] --> B[2x3]
    B --> C[數值]
    C --> D[0]

這個圖表展示了多維陣列的結構。每個節點代表著一個維度，箭頭代表著維度之間的關係。最終，所有維度都指向了數值 0。

NumPy 中的 ones() 函式

NumPy 的 ones() 函式用於建立一個指定形狀和資料型別的陣列，並將所有元素初始化為 1。這個函式的行為與 zeros() 函式相似，不同之處在於它傳回的陣列中所有元素都是 1。

示例程式碼

import numpy as np

# 建立 1-D 陣列
print(np.ones(4))

print('-'*50)

# 建立 2-D 陣列
print(np.ones((4,2), dtype=int))

print('-'*50)

# 建立 3-D 陣列
print(np.ones((3,2,4), dtype=int))

執行結果

[1. 1. 1. 1.]
--------------------------------------------------
[[1 1]
 [1 1]
 [1 1]
 [1 1]]
--------------------------------------------------
[[[1 1 1 1]
  [1 1 1 1]]

 [[1 1 1 1]
  [1 1 1 1]]

 [[1 1 1 1]
  [1 1 1 1]]]

圖表翻譯

  flowchart TD
    A[開始] --> B[建立陣列]
    B --> C[指定形狀和資料型別]
    C --> D[初始化元素為 1]
    D --> E[傳回陣列]

圖表翻譯：

上述流程圖描述了 ones() 函式的執行過程。首先，函式被呼叫以建立一個陣列。接下來，指定陣列的形狀和資料型別。然後，函式將陣列中的所有元素初始化為 1。最後，函式傳回建立的陣列。

內容解密：

ones() 函式是 NumPy 中的一個重要函式，用於建立初始化為 1 的陣列。這個函式可以用於建立不同維度的陣列，包括 1-D、2-D 和 3-D 陣列。透過指定形狀和資料型別，使用者可以控制建立的陣列的結構和內容。這個函式在科學計算和資料分析中非常有用，因為它可以快速建立初始化為 1 的陣列，以便進行進一步的計算和分析。

使用NumPy的full()函式建立新陣列

NumPy的full()函式是一個強大的工具，允許您建立具有指定形狀和資料型別的新陣列，並用特定的填充值填充。以下是如何使用它的示例：

import numpy as np

# 建立一個2x2的陣列，填充值為1
array_2x2 = np.full((2, 2), 1)
print(array_2x2)

輸出：

[[1 1]
 [1 1]]

# 建立一個4x2的陣列，填充值為1
array_4x2 = np.full((4, 2), 1)
print(array_4x2)

輸出：

[[1 1]
 [1 1]
 [1 1]
 [1 1]]

# 建立一個3x2的3D陣列，填充值為1
array_3d = np.full((3, 2, 2), 1)
print(array_3d)

輸出：

[[[1 1]
  [1 1]]

 [[1 1]
  [1 1]]

 [[1 1]
  [1 1]]]

要了解full()函式的引數和功能，您可以使用help()函式：

import numpy as np
print(help(np.full))

這將顯示full()函式的檔案，包括其引數和傳回值。

full()函式的引數

  • shape: 陣列的形狀，必須是一個整數元組。
  • fill_value: 填充值，可以是任何資料型別。
  • dtype: 陣列的資料型別，預設為None，表示使用fill_value的資料型別。
  • order: 陣列的記憶體佈局，預設為'C'，表示C語言風格的行優先。
  • like: 可選引數，指定一個現有的陣列，用於確定新陣列的資料型別和記憶體佈局。

建立多維陣列

NumPy 提供了 full 函式，用於建立具有指定形狀和填充值的多維陣列。以下示範如何建立 1-D、2-D 和 3-D 陣列。

建立 1-D 陣列

首先，我們建立一個 1-D 陣列，長度為 4，所有元素的值均為 2。

import numpy as np

# 建立 1-D 陣列
array_1d = np.full(shape=4, fill_value=2)
print(array_1d)

輸出結果：

[2 2 2 2]

建立 2-D 陣列

接下來，我們建立一個 2-D 陣列，大小為 3x2，所有元素的值均為 2。

# 建立 2-D 陣列
array_2d = np.full((3, 2), fill_value=2)
print(array_2d)

輸出結果：

[[2 2]
 [2 2]
 [2 2]]

建立 3-D 陣列

最後，我們建立一個 3-D 陣列，大小為 3x2x3，所有元素的值均為 2。

# 建立 3-D 陣列
array_3d = np.full((3, 2, 3), 2)
print(array_3d)

輸出結果：

[[[2 2 2]
  [2 2 2]]

 [[2 2 2]
  [2 2 2]]

 [[2 2 2]
  [2 2 2]]]

內容解密：

  • np.full 函式用於建立具有指定形狀和填充值的多維陣列。
  • shape 引數指定了陣列的形狀，可以是整數或元組。
  • fill_value 引數指定了陣列中所有元素的值。
  • 建立多維陣列時，可以使用元組指定形狀，例如 (3, 2) 或 (3, 2, 3)。

使用 NumPy 的 eye 函式生成單位矩陣

NumPy 的 eye 函式可以用來生成單位矩陣（identity matrix），它是一個 2D 陣列，其中對角線上的元素為 1，其他元素為 0。

eye 函式的語法

eye 函式的語法如下：

numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=<class 'float'>, order='C', *, like=None)

其中：

  • N：輸出矩陣的行數。
  • M：輸出矩陣的列數。如果省略，則預設為 N。
  • k：指定哪一條對角線應該填充 1。預設值為 0，即主對角線。
  • dtype：輸出矩陣的資料型別。預設為 float。
  • order：輸出矩陣的儲存順序。預設為 'C'，即 C 語言的儲存順序。

示例程式碼

以下程式碼示範瞭如何使用 eye 函式生成單位矩陣：

import numpy as np

# 建立一個 2x4 的單位矩陣
print(np.eye(2, 4))

# 建立一個 5x5 的單位矩陣，對角線向右偏 1 個位置
print(np.eye(5, k=1))

# 建立一個 5x5 的單位矩陣，對角線向右偏 2 個位置
print(np.eye(5, k=2))

# 建立一個 5x5 的單位矩陣，對角線向左偏 1 個位置
print(np.eye(5, k=-1))

內容解密：

在上述程式碼中，我們使用 eye 函式生成了四個不同的單位矩陣。首先，我們建立了一個 2x4 的單位矩陣，然後建立了三個 5x5 的單位矩陣，分別將對角線向右偏 1 個位置、向右偏 2 個位置和向左偏 1 個位置。

這些矩陣可以用於線性代數和矩陣運算中，例如解方程組、計算行列式等。

圖表翻譯：

以下是使用 Mermaid 圖表語言繪製的 eye 函式生成單位矩陣的流程圖：

  flowchart TD
    A[開始] --> B[輸入引數 N、M、k]
    B --> C[生成單位矩陣]
    C --> D[傳回結果]
    D --> E[結束]

在這個流程圖中，我們首先輸入引數 N、M 和 k，然後使用 eye 函式生成單位矩陣，最後傳回結果。

建立二維陣列的 eye 函式

在 NumPy 中，eye 函式用於建立一個二維陣列，其中主對角線（或指定的對角線）上的元素為 1，其他元素為 0。這個函式在建立單位矩陣或其他特殊矩陣時非常有用。

基本語法

numpy.eye(N, k=0, dtype=None)
  • N：輸出陣列的行數和列數。
  • k：對角線的索引。0 表示主對角線，正值表示上對角線，負值表示下對角線。
  • dtype：輸出陣列的資料型別。

示例 1：建立主對角線為 1 的 5x5 陣列

import numpy as np

# 建立 5x5 陣列，主對角線為 1
array = np.eye(5)
print(array)

輸出結果：

[[1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]]

示例 2：建立下對角線為 1 的 5x5 陣列

import numpy as np

# 建立 5x5 陣列，下對角線（k=-1）為 1
array = np.eye(5, k=-1)
print(array)

輸出結果：

[[0. 0. 0. 0. 0.]
 [1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]]

示例 3：建立下兩條對角線為 1 的 5x5 陣列

import numpy as np

# 建立 5x5 陣列，下兩條對角線（k=-1 和 k=-2）為 1
array_k1 = np.eye(5, k=-1)
array_k2 = np.eye(5, k=-2)

print("下一條對角線（k=-1）為 1：")
print(array_k1)

print("\n下兩條對角線（k=-2）為 1：")
print(array_k2)

輸出結果：

下一條對角線（k=-1）為 1：
[[0. 0. 0. 0. 0.]
 [1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]]

下兩條對角線（k=-2）為 1：
[[0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]]

圖表翻譯：

  graph LR
    A[eye 函式] --> B[主對角線 k=0]
    A --> C[下對角線 k=-1]
    A --> D[下兩條對角線 k=-2]
    B --> E[5x5 陣列，主對角線為 1]
    C --> F[5x5 陣列，下一條對角線為 1]
    D --> G[5x5 陣列，下兩條對角線為 1]

這個圖表展示瞭如何使用 eye 函式建立不同型別的二維陣列，包括主對角線、下一條對角線和下兩條對角線為 1 的陣列。

使用 diag() 函式

在進行矩陣運算時，經常需要提取或建構對角陣列。為此，NumPy 提供了 diag() 函式。這個函式可以用來提取矩陣的對角元素，或根據給定的對角元素建構一個對角陣列。

提取對角元素

當你想要從一個矩陣中提取對角元素時，可以使用 diag() 函式。這個函式會傳回矩陣的主對角線上的元素。

import numpy as np

# 定義一個矩陣
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 提取對角元素
diagonal_elements = np.diag(matrix)

print(diagonal_elements)

建構對角陣列

如果你有一組對角元素，想要根據它們建構一個對角陣列，也可以使用 diag() 函式。這個函式會根據給定的對角元素，建構一個對應的對角陣列。

import numpy as np

# 定義一組對角元素
diagonal_elements = np.array([1, 2, 3])

# 建構對角陣列
diagonal_matrix = np.diag(diagonal_elements)

print(diagonal_matrix)

內容解密：

  • np.diag() 函式是用來提取或建構對角陣列的。
  • 當你傳入一個矩陣給 np.diag() 時，它會傳回該矩陣的主對角線上的元素。
  • 如果你傳入一維陣列給 np.diag()，它會根據這些元素建構一個對角陣列。
  • 這個函式在矩陣運算中非常有用，尤其是在需要處理對角元素或建構特殊矩陣的場合。

圖表翻譯：

  flowchart TD
    A[定義矩陣或對角元素] --> B[使用 np.diag()]
    B --> C[提取或建構對角陣列]
    C --> D[傳回結果]

在這個流程圖中，我們首先定義一個矩陣或一組對角元素，然後使用 np.diag() 函式進行提取或建構，最後傳回結果。這個過程展示瞭如何使用 diag() 函式來操作對角元素或陣列。

使用NumPy的diag()函式提取二維陣列的對角線元素

在進行資料分析和矩陣運算時，經常需要提取二維陣列的對角線元素。NumPy提供了一個方便的函式diag()來完成這項工作。

diag()函式的語法

diag(v, k=0)

  • v：輸入陣列，可以是一維或二維陣列。
  • k：對角線的索引，預設為0，代表主對角線。

範例程式

import numpy as np

# 建立一個4x4的二維陣列
my_array = np.arange(17, 33).reshape(4, 4)
print("原始二維陣列：\n", my_array)

# 提取主對角線元素（k=0）
print("主對角線元素：", np.diag(my_array, k=0))

# 提取1對角線元素（k=1）
print("1對角線元素：", np.diag(my_array, k=1))

# 提取2對角線元素（k=2）
print("2對角線元素：", np.diag(my_array, k=2))

# 提取-1對角線元素（k=-1）
print("-1對角線元素：", np.diag(my_array, k=-1))

# 提取-2對角線元素（k=-2）
print("-2對角線元素：", np.diag(my_array, k=-2))

# 提取3對角線元素（k=3）
print("3對角線元素：", np.diag(my_array, k=3))

執行結果

原始二維陣列：
 [[17 18 19 20]
 [21 22 23 24]
 [25 26 27 28]
 [29 30 31 32]]
主對角線元素： [17 22 27 32]
1對角線元素： [18 23 28]
2對角線元素： [19 24]
-1對角線元素： [21 26 31]
-2對角線元素： [25 30]
3對角線元素： [20]

使用NumPy的diag()函式提取矩陣對角線元素

NumPy的diag()函式可以用來提取矩陣的對角線元素，或是根據給定的偏移量提取指定對角線的元素。以下是如何使用diag()函式的示例：

提取主對角線元素

import numpy as np

# 建立一個2維矩陣
my_array = np.array([[17, 18, 19, 20], [21, 22, 23, 24]])

# 提取主對角線元素（k=0）
main_diagonal = np.diag(my_array)

print("主對角線元素：", main_diagonal)

提取其他對角線元素

# 提取k=3對角線元素
k3_diagonal = np.diag(my_array, k=3)

print("k=3對角線元素：", k3_diagonal)

# 提取k=-3對角線元素
km3_diagonal = np.diag(my_array, k=-3)

print("k=-3對角線元素：", km3_diagonal)

對1維陣列使用diag()函式

當對1維陣列使用diag()函式時，會根據給定的偏移量構建一個2維陣列，並填充剩餘的元素為零。

# 建立一個1維陣列
my_array1d = np.array([101, 201, 301, 401, 501])

# 使用diag()函式構建2維陣列，k=0
array_k0 = np.diag(my_array1d)

print("k=0的2維陣列：\n", array_k0)

# 使用diag()函式構建2維陣列，k=1
array_k1 = np.diag(my_array1d, k=1)

print("k=1的2維陣列：\n", array_k1)

# 使用diag()函式構建2維陣列，k=-1
array_km1 = np.diag(my_array1d, k=-1)

print("k=-1的2維陣列：\n", array_km1)

圖表翻譯：

  flowchart TD
    A[輸入矩陣] --> B[選擇偏移量k]
    B --> C{是否為1維陣列}
    C -->|是| D[構建2維陣列]
    C -->|否| E[提取對角線元素]
    D --> F[填充剩餘元素為零]
    E --> G[傳回對角線元素]
    F --> G

圖表說明：

上述流程圖描述了使用NumPy的diag()函式提取矩陣對角線元素的過程。根據輸入的矩陣和偏移量k，diag()函式會決定是否需要構建一個新的2維陣列或直接提取對角線元素。如果是1維陣列，則會根據給定的偏移量構建一個2維陣列，並填充剩餘的元素為零。最終，diag()函式會傳回所需的對角線元素。

從底層實作到高階應用的全面檢視顯示，NumPy 提供了多元且有效率的工具來建立和操作多維陣列。透過 zeros()、ones() 和 full() 函式，我們可以快速初始化不同形狀和資料型別的陣列，奠定數值計算的基礎。eye() 和 diag() 函式則賦予我們精確控制矩陣對角線元素的能力，簡化了單位矩陣和對角矩陣的建立與操作，線上性代數和矩陣運算中扮演關鍵角色。觀察產業鏈上下游的技術選擇，NumPy 已成為科學計算和資料分析領域不可或缺的基本。對於追求效能和程式碼簡潔性的開發者，熟練掌握這些陣列操作技巧至關重要。玄貓認為，持續深入探索 NumPy 的豐富功能，將有效提升開發效率並開啟更多資料處理的可能性。

玄貓

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技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。