量子演算法GroverShor電路分析

Grover演算法是一種量子搜尋演算法，其時間複雜度為 O(√N)，相較於經典演算法的 O(N) 有顯著提升。它利用量子疊加態和相位翻轉等技術，將目標解的機率幅放大，提高搜尋效率。Shor演算法則是一種量子分解演算法，可在多項式時間內分解大整數，這對根據大數分解難題的 RSA 等非對稱加密演算法構成威脅。Shor演算法的核心是利用量子傅立葉變換找出週期函式的週期，進而求得質因數。兩種演算法的出現，都展現了量子計算在特定問題上的強大潛力，也推動了量子計算領域的發展。

量子魔術方陣遊戲的實作與分析

簡介

量子魔術方陣遊戲是一種利用量子力學原理來解決經典遊戲問題的範例。本篇文章將探討該遊戲的量子電路實作、測量過程以及獲勝機率的計算。

量子電路的構建

根據 Listing 7-6 和 Table 7-1，遊戲的量子電路由一系列的量子閘組成，這些閘操作作用於愛麗絲和鮑伯分享的糾纏態上。以下是關鍵步驟的解析：

量子閘操作

Hadamard 閘（H 閘）：用於建立疊加態。
CNOT 閘：用於建立糾纏態。
Pauli-X 閘（X 閘）：用於位元翻轉。
受控-U1 閘（CU1 閘）：用於引入相位變化。

電路實作範例

theCircuit.h(qr[2])
theCircuit.cx(qr[2], qr[3])
theCircuit.u1(pi/2.0, qr[2])
theCircuit.x(qr[2])
theCircuit.z(qr[2])

內容解密：

theCircuit.h(qr[2])：對量子位元 qr[2] 進行 Hadamard 變換，使其進入疊加態。
theCircuit.cx(qr[2], qr[3])：以 qr[2] 為控制位元，qr[3] 為目標位元進行 CNOT 操作，建立糾纏態。
theCircuit.u1(pi/2.0, qr[2])：對 qr[2] 施加相位門，引入 π/2 的相位變化。
theCircuit.x(qr[2]) 和 theCircuit.z(qr[2])：分別進行位元翻轉和相位翻轉操作。

測量與結果分析

遊戲結束後，愛麗絲和鮑伯分別測量他們的量子位元以獲得結果。根據 Listing 7-7，測量結果用於計算最終答案和獲勝機率。

結果處理範例

aliceAnswer = [int(key[-1]), int(key[-2])]
bobAnswer = [int(key[-3]), int(key[-4])]
if sum(aliceAnswer) % 2 == 0:
    aliceAnswer.append(0)
else:
    aliceAnswer.append(1)
if sum(bobAnswer) % 2 == 1:
    bobAnswer.append(0)
else:
    bobAnswer.append(1)

內容解密：

從測量結果中提取愛麗絲和鮑伯的答案位元。
根據奇偶規則計算第三個位元，以滿足遊戲規則。
檢查愛麗絲和鮑伯的答案是否一致，以確定是否獲勝。

獲勝機率的計算

根據 Listing 7-8 的輸出結果，遊戲的獲勝機率可以透過多次實驗來統計。在理想的模擬環境中，獲勝機率接近 100%。然而，在真實的量子裝置上，由於環境噪聲和門操作的錯誤，獲勝機率會降低。

量子搜尋與密碼學威脅：Grover與Shor演算法解析

前言

本章將探討兩個在量子計算領域引起廣泛關注的演算法：Grover的搜尋演算法和Shor的整數分解演算法。這些演算法展示了量子計算在特定問題上的強大能力，尤其是在資料搜尋和密碼學領域。

Grover的量子非結構化搜尋演算法

Grover演算法是一種用於在未排序資料函式庫中搜尋特定專案的量子演算法。相較於經典演算法平均需要N/2步，Grover演算法能在$O(\sqrt{N})$步內完成搜尋。

演算法步驟

輸入準備：給定函式f: {0, 1, …, N-1} → {0,1}，其中N = 2^n，n為量子位元數。
基底疊加：對所有輸入量子位元進行疊加操作。
相位翻轉：對目標狀態進行相位翻轉。
平均值翻轉：對所有狀態進行平均值翻轉。
重複步驟3和4：重複執行相位翻轉和平均值翻轉約$\sqrt{N}$次。

相位翻轉（Phase Inversion）

相位翻轉是Grover演算法中的關鍵步驟之一。如果目標狀態為x’，則相位翻轉操作可表示為：

def phase_inversion(x, x_prime):
    if x == x_prime:
        return -x
    else:
        return x

內容解密：

此函式實作了相位翻轉操作。當輸入狀態x等於目標狀態x’時，相位翻轉將其變為-x，否則保持不變。這一操作在疊加態中實作，能夠改變目標狀態的相位。

平均值翻轉（Inversion About the Mean）

平均值翻轉是另一個關鍵步驟。給定疊加態$\sum \alpha |x\rangle$，平均值$\mu = \frac{1}{N}\sum \alpha_x$。平均值翻轉操作可表示為：

def inversion_about_mean(alpha_x, mu):
    return 2*mu - alpha_x

內容解密：

此函式實作了平均值翻轉操作。它將每個狀態的振幅$\alpha_x$對映到$2\mu - \alpha_x$，其中$\mu$是所有狀態振幅的平均值。這一操作能夠將目標狀態的振幅放大，使其更容易被測量出來。

圖解Grover演算法迭代過程

@startuml
skinparam backgroundColor #FEFEFE
skinparam componentStyle rectangle

title 量子演算法GroverShor電路分析

package "加密技術架構" {
    package "對稱加密" {
        component [AES] as aes
        component [DES/3DES] as des
        component [ChaCha20] as chacha
    }

    package "非對稱加密" {
        component [RSA] as rsa
        component [ECC 橢圓曲線] as ecc
        component [Diffie-Hellman] as dh
    }

    package "雜湊函數" {
        component [SHA-256/512] as sha
        component [MD5 (已棄用)] as md5
        component [HMAC] as hmac
    }

    package "應用層" {
        component [TLS/SSL] as tls
        component [數位簽章] as sign
        component [憑證管理] as cert
    }
}

aes --> tls : 資料加密
rsa --> sign : 簽章驗證
ecc --> dh : 金鑰交換
sha --> hmac : 訊息認證
tls --> cert : 身份驗證

note right of aes
  對稱金鑰加密
  速度快效率高
end note

note right of rsa
  公鑰加密
  金鑰交換安全
end note

@enduml

此圖示展示了Grover演算法的迭代過程。從初始疊加態開始，透過相位翻轉和平均值翻轉的操作，不斷放大目標狀態的振幅，直到測量出目標狀態。

Shor的整數分解演算法

Shor演算法是一種用於分解大整數的量子演算法，其時間複雜度遠低於最快的經典演算法——數域篩法。Shor演算法的出現對現有的非對稱密碼體系構成了潛在威脅。

格羅弗演算法的實務實作與量子電路分析

實務實作

在IBM Q Experience中，我們可以觀察到格羅弗演算法（Grover’s algorithm）的量子電路實作。圖8-5展示了一個使用2個量子位元的單次迭代電路。

Python指令碼實作

以下是一個建立圖8-5電路的Python指令碼，如清單8-1所示。

import sys, time, math
from qiskit import QuantumCircuit, QuantumProgram
sys.path.append('../Config/')
import Qconfig
from qiskit.tools.visualization import plot_histogram

def input_phase(circuit, qubits):
    # 設定輸入位元以進行搜尋
    circuit.s(qubits[0])  # 對應A = 01的情況
    # circuit.s(qubits[1])  # 註解掉以對應A = 01

def invert_over_the_mean(circuit, qubits):
    # 對平均值進行反轉
    for i in range(2):
        circuit.h(qubits[i])
        circuit.x(qubits[i])
    circuit.h(qubits[1])
    circuit.cx(qubits[0], qubits[1])
    circuit.h(qubits[1])
    for i in range(2):
        circuit.x(qubits[i])
        circuit.h(qubits[i])

def invert_phase(circuit, qubits):
    # 相位反轉（Oracle）
    circuit.h(qubits[1])
    circuit.cx(qubits[0], qubits[1])
    circuit.h(qubits[1])

def main():
    qp = QuantumProgram()
    qp.set_api(Qconfig.APItoken, Qconfig.config["url"])
    size = 2
    q = qp.create_quantum_register('q', size)
    c = qp.create_classical_register('c', size)
    grover = qp.create_circuit('grover', [q], [c])

    # 1. 將所有量子位元置於疊加態
    for i in range(size):
        grover.h(q[i])
    
    # 設定輸入
    input_phase(grover, q)
    
    # 2. 相位反轉
    invert_phase(grover, q)
    input_phase(grover, q)
    
    # 3. 對平均值進行反轉
    invert_over_the_mean(grover, q)
    
    # 測量結果
    for i in range(size):
        grover.measure(q[i], c[i])
    
    circuits = ['grover']
    backend = "local_qasm_simulator"
    shots = 1024
    result = qp.execute(circuits, backend=backend, shots=shots, max_credits=3, timeout=240)
    counts = result.get_counts("grover")
    print("Counts:" + str(counts))
    # plot_histogram(counts)  # 可選用

if __name__ == '__main__':
    start_time = time.time()
    main()
    print("--- %s seconds 
---
" % (time.time() - start_time))

內容解密：

input_phase函式：根據輸入（A）的值，使用相位門（S）對特定的量子位元進行操作，以準備所需的輸入狀態。
invert_over_the_mean函式：實作對平均值的反轉，首先對所有量子位元施加Hadamard門和Pauli-X門，然後進行受控非門（CNOT）操作，最後再次施加Hadamard門和Pauli-X門，以完成對平均值的反轉。
invert_phase函式：實作相位反轉，透過Oracle電路實作對目標狀態的相位反轉。
main函式：建立一個包含2個量子位元和2個經典暫存器的量子電路，執行格羅弗演算法的單次迭代，並測量結果。

通用電路架構

圖8-6展示了格羅弗演算法的通用電路架構，可適用於任意數量的輸入量子位元。

內容解密：

初始化：首先，將所有量子位元置於疊加態。
相位反轉：透過Oracle電路實作對目標狀態的相位反轉。
對平均值的反轉：透過一系列的Hadamard門、Pauli-X門和CNOT門操作，實作對平均值的反轉。

重點分析

格羅弗演算法透過多次迭代相位反轉和對平均值的反轉，放大目標狀態的振幅，從而提高搜尋效率。
對於2個量子位元的情況，迭代次數為1，這是根據公式(IT = \lfloor \frac{\pi}{4} \sqrt{N} \rfloor)計算得出的，其中(N = 2^2 = 4)。

格羅弗演算法與肖爾演算法：對非結構化搜尋與非對稱密碼學的威脅

格羅弗演算法的證明與實作

格羅弗演算法是一種針對非結構化資料函式庫的快速搜尋演算法。該演算法利用量子疊加和量子糾纏的特性，能夠在$\sqrt{N}$的時間複雜度內完成搜尋，遠優於經典演算法的$N$時間複雜度。

對均值進行反演的證明

對均值進行反演的過程涉及三個步驟，如圖8-8所示：

將$|\mu\rangle$轉換為全零向量$|0, …, 0\rangle$，這可以透過應用哈達瑪門實作。
對全零向量$|0, …, 0\rangle$進行反射，這可以透過乘以一個稀疏矩陣來實作。
將$|0, …, 0\rangle$轉換回$|\mu\rangle$，再次應用哈達瑪門。

矩陣運算與證明

透過上述步驟，可以得到矩陣運算： $$ H^{\otimes n} \left( I - 2|0\rangle\langle0| \right) H^{\otimes n} = I - \frac{2}{N} \sum_{x,y} |x\rangle\langle y| $$ 將這個矩陣應用於狀態$\psi = \sum \alpha_x |x\rangle$，可以得到： $$ \left( I - \frac{2}{N} \sum_{x,y} |x\rangle\langle y| \right) \sum \alpha_x |x\rangle = \sum (2\mu - \alpha_x) |x\rangle $$ 其中，$\mu = \frac{1}{N} \sum \alpha_x$。

格羅弗演算法的應用與限制

格羅弗演算法對於非結構化搜尋具有顯著的加速效果。然而，截至目前為止，在IBM Q Experience上尚未有實用的實作或實驗。隨著量子電腦的發展，格羅弗演算法有望在未來被廣泛應用於資料函式庫搜尋等領域。

肖爾演算法：對非對稱密碼學的威脅

肖爾演算法是一種能夠在多項式時間內完成大整數分解的量子演算法。這對目前廣泛使用的非對稱密碼學構成了重大威脅。

肖爾演算法的基本原理

肖爾演算法的核心思想是利用量子電腦尋找一個元素的週期$r$，使得$a^r \equiv 1 \mod N$，其中$N$是待分解的大整數。

肖爾演算法的三個階段

輸入準備：在經典電腦上進行多項式時間的預處理。
尋找週期$r$：利用量子電路，在量子電腦上進行$O((\log n)^2 (\log\log n)(\log\log\log n))$步的運算。
後處理：在經典電腦上進行多項式時間的後處理。

時間複雜度比較

演算法	時間複雜度
肖爾演算法	$(\log n)^2 (\log\log n)(\log\log\log n)$
數域篩法	$\exp\left(c(\log n)^{1/3}(\log\log n)^{2/3}\right)$
二次篩法	$\exp\left(\sqrt{\log n \log\log n}\right)$

肖爾演算法的多項式時間複雜度遠優於經典演算法的指數時間複雜度。這意味著，一旦實用的量子電腦問世，肖爾演算法將能夠在短時間內分解大整數，從而威脅到目前的非對稱密碼學體系。

Shor演算法：對非對稱密碼學的威脅

Shor演算法是一種量子演算法，能夠在多項式時間內進行大數質因數分解，這對非對稱密碼學的安全性構成了嚴重威脅。非對稱密碼學，如RSA演算法，依賴於大數質因數分解的難解性，而Shor演算法的出現，使得這種難解性不再成立。

週期函式與Shor演算法

Shor演算法的核心是找到一個週期函式$f(x)$，使得$f(x+r) = f(x)$，其中$r$是週期。要使Shor演算法有效，$f(x)$必須滿足三個條件：

$f(x)$在每個週期內是一一對應的，即$f(x)$的值在每個週期內不重複。
對於給定的$M$或週期數，$r$必須能夠整除$M$。
$M$除以$r$必須大於$r$，即$M > r^2$。

內容解密：

條件1確保了$f(x)$在每個週期內的唯一性，這對於後續的量子傅立葉變換至關重要。
條件2保證了測量結果的週期性質能夠被正確捕捉。
條件3確保了演算法的效率和正確性。

量子傅立葉變換與傅立葉取樣

Shor演算法透過量子傅立葉變換（QFT）來分析$f(x)$的週期性質。量子傅立葉變換是一種線性變換，它將輸入態轉換為其頻域表示。傅立葉取樣是QFT的一個應用，它能夠從$f(x)$的疊加態中提取出週期$r$的資訊。

內容解密：

量子傅立葉變換是一種高效的變換，能夠在量子態上進行快速傅立葉變換。
傅立葉取樣利用QFT的結果，輸出$r$的隨機倍數，這些倍數與$M/r$相關。

利用歐幾裡得最大公約數演算法求解週期

透過多次執行傅立葉取樣，可以獲得多個$r$的隨機倍數。然後，利用歐幾裡得最大公約數（gcd）演算法，可以計算出這些倍數的最大公約數，從而得到$r$。

程式碼範例：

import math

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

# 假設我們透過傅立葉取樣獲得了以下結果
samples = [50, 75, 25]
M = 100

# 計算最大公約數
gcd_value = samples[0]
for sample in samples[1:]:
    gcd_value = gcd(gcd_value, sample)

# 計算週期r
r = M // gcd_value
print("週期r =", r)

內容解密：

gcd函式實作了歐幾裡得最大公約數演算法，用於計算兩個數的最大公約數。
透過計算多個樣本的最大公約數，可以得到$r$的值。
最終，$r = M / gcd_value$給出了所需的週期。

Shor演算法例項：分解N = 21

考慮分解$N = 21$，選擇$x = 2$，則$x^0 \equiv 1 \mod 21$、$x^1 \equiv 2 \mod 21$、…、$x^6 \equiv 1 \mod 21$，因此$r = 6$。由於$x^{r/2} = 2^3 = 8$，且$21$能整除$(8+1)(8-1)$，因此可以透過計算$\gcd(21, 8+1)$來獲得一個非平凡因子。

程式碼範例：

def mod_pow(base, exponent, mod):
    result = 1
    while exponent > 0:
        if exponent % 2 == 1:
            result = (result * base) % mod
        base = (base * base) % mod
        exponent //= 2
    return result

N = 21
x = 2
r = 6

# 計算x^(r/2) mod N
x_r_half = mod_pow(x, r // 2, N)

# 計算gcd(N, x_r_half + 1)
def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

factor = gcd(N, x_r_half + 1)
print("非平凡因子 =", factor)

內容解密：

mod_pow函式實作了模冪運算，用於計算$x^{r/2} \mod N$。
gcd函式用於計算$\gcd(N, x^{r/2} + 1)$，從而獲得一個非平凡因子。

ProjectQ實作Shor演算法

ProjectQ是一個開源的量子計算框架，它提供了Shor演算法的實作。Beauregard提出的電路使用$2n + 3$個量子位，其中$n$是待分解數$N$的位元數。

Beauregard方法的步驟：

如果$N$是偶數，則傳回因子2。
經典地判斷$N$是否為$p^q$形式，如果是，則傳回因子$p$。
選擇一個隨機數$a$，使得$1 < a \leq N - 1$，並使用歐幾裡得最大公約數演算法判斷$\gcd(a, N) > 1$，如果是，則傳回因子$\gcd(a, N)$。
使用量子電路找到$a$模$N$的階$r$。
如果$r是奇數或$r是偶數但$a^{r/2} \equiv -1 \mod N，則傳回步驟3。否則，計算$\gcd(a^{r/2} - 1, N)$和$\gcd(a^{r/2} + 1, N)$，並測試其中之一是否為$N的非平凡因子。

玄貓 BlackCat

技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。