高斯混合模型常被用於處理複雜的資料分佈，而期望最大化演算法則提供了一種有效的方法來估計模型引數。EM演算法的核心思想是迭代地計算資料點屬於每個高斯分量的責任，並利用這些責任更新模型的均值、協方差和混合係數，直到模型收斂。理解潛在變數的概念對於理解GMM至關重要，它代表了資料點的隱藏歸屬關係。Python 程式碼的實作部分則展示瞭如何實際應用這些概念，例如計算高斯分佈的機率密度函式、執行 EM 演算法的 E 步驟和 M 步驟，以及從訓練好的 GMM 中抽取新的樣本。此外，文章也說明瞭如何使用核密度估計來模擬資料分佈，以及如何使用 SVM 進行二元分類別，並提供相關程式碼範例。
高斯混合模型中的期望最大化演算法
高斯混合模型（GMM）是一種強大的機率模型，用於表示複雜的資料分佈。期望最大化（EM）演算法是一種常用的方法，用於估計GMM的引數。在本文中，我們將深入探討EM演算法在GMM中的應用。
EM演算法的基本原理
EM演算法是一種迭代演算法，用於在存在潛在變數的情況下估計模型引數。在GMM中，潛在變數是指資料點所屬的高斯分量。EM演算法透過交替執行兩個步驟來工作：
- E步驟：計算每個資料點屬於每個高斯分量的後驗機率，即所謂的「責任」（responsibilities）。
- M步驟：使用E步驟中計算出的責任來更新模型引數，包括高斯分量的均值、協方差矩陣和混合係數。
import numpy as np
def gaussian_pdf(x, mean, cov):
"""計算高斯分佈的機率密度函式"""
d = len(mean)
det_cov = np.linalg.det(cov)
inv_cov = np.linalg.inv(cov)
diff = x - mean
exponent = -0.5 * np.dot(np.dot(diff.T, inv_cov), diff)
return (1 / np.sqrt((2 * np.pi) ** d * det_cov)) * np.exp(exponent)
def e_step(X, pi, means, covs):
"""E步驟：計算每個資料點屬於每個高斯分量的責任"""
n, d = X.shape
k = len(pi)
responsibilities = np.zeros((n, k))
for i in range(n):
for j in range(k):
responsibilities[i, j] = pi[j] * gaussian_pdf(X[i], means[j], covs[j])
responsibilities[i, :] /= np.sum(responsibilities[i, :])
return responsibilities
def m_step(X, responsibilities):
"""M步驟：更新模型引數"""
n, d = X.shape
k = responsibilities.shape[1]
pi = np.mean(responsibilities, axis=0)
means = np.zeros((k, d))
covs = np.zeros((k, d, d))
for j in range(k):
means[j] = np.sum(responsibilities[:, j].reshape(-1,1) * X, axis=0) / (n * pi[j])
diff = X - means[j]
covs[j] = np.dot(responsibilities[:, j].reshape(-1,1) * diff.T, diff) / (n * pi[j])
return pi, means, covs
#### 內容解密：
此程式碼實作了EM演算法的E步驟和M步驟。E步驟計算每個資料點屬於每個高斯分量的責任，而M步驟則使用這些責任來更新模型引數，包括混合係數、均值和協方差矩陣。這些步驟在EM演算法中交替執行，直到收斂。
EM演算法的收斂性
EM演算法保證在每次迭代中都會增加對數似然函式的值，直到收斂。我們可以透過檢查對數似然函式的值或模型引數的變化來判斷收斂。
flowchart TD
A[初始化引數] --> B[E步驟：計算責任]
B --> C[M步驟：更新引數]
C --> D{檢查收斂條件}
D -->|未收斂| B
D -->|收斂| E[輸出最終引數]
圖表剖析：
此圖表展示了EM演算法的迭代過程。首先初始化模型引數，然後交替執行E步驟和M步驟。在每次迭代後，檢查收斂條件。如果尚未收斂，則繼續迭代；否則，輸出最終的模型引數。
GMM的潛在變數視角
GMM可以從潛在變數模型的角度來理解，其中潛在變數是表示資料點所屬高斯分量的指示變數。這種視角為我們提供了對GMM的更深入理解，並允許我們使用EM演算法來估計模型引數。
生成過程和機率模型
為了推導GMM的機率模型，我們需要考慮生成過程，即如何使用機率模型生成資料。我們假設資料點是由K個高斯分量中的一個生成的，並使用一個二元指示變數來表示所選擇的分量。
def sample_from_gmm(pi, means, covs, n_samples):
"""從GMM中抽取樣本"""
k = len(pi)
samples = np.zeros((n_samples, len(means[0])))
for i in range(n_samples):
component = np.random.choice(k, p=pi)
samples[i] = np.random.multivariate_normal(means[component], covs[component])
return samples
#### 內容解密：
此函式從GMM中抽取樣本。首先根據混合係數隨機選擇一個高斯分量，然後從該分量中抽取一個樣本。重複此過程以生成所需的樣本數量。
高斯混合模型中的潛在變數視角與期望最大化演算法
在機器學習和統計學中，高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）是一種強大的機率模型，用於表示資料的複雜分佈。透過引入潛在變數，高斯混合模型能夠更靈活地擬合資料。本文將深入探討高斯混合模型的潛在變數視角，並詳細介紹期望最大化（Expectation-Maximization, EM）演算法在引數估計中的應用。
潛在變數模型
高斯混合模型的潛在變數視角提供了一種新的理解方式。在此框架下，每個資料點$x$都與一個潛在變數$z$相關聯，其中$z$是一個$K$維的單熱編碼向量，用於表示該資料點屬於哪個高斯分量。
graph TD
A[資料點 x] --> B{潛在變數 z}
B -->|z=1| C[高斯分量1]
B -->|z=2| D[高斯分量2]
B -->|z=K| E[高斯分量 K]
圖表剖析：
此圖表展示了資料點$x$與其對應的潛在變數$z$之間的關係。潛在變數$z$決定了資料點$x$來自哪個高斯分量。這種表示方法有助於理解高斯混合模型的生成過程。
給定潛在變數$z$，資料點$x$的條件分佈可以表示為： $$ p(x|z=k) = \mathcal{N}(x|\mu_k, \Sigma_k) $$ 其中$\mu_k$和$\Sigma_k$分別是第$k$個高斯分量的均值和協方差矩陣。
似然函式
為了獲得觀測資料的似然函式$p(x|\theta)$，我們需要對潛在變數$z$進行邊緣化處理。這可以透過對所有可能的$z$取值進行求和來實作： $$ p(x|\theta) = \sum_{k=1}^{K} p(x|z=k)p(z=k) $$ 其中$\theta = {\mu_k, \Sigma_k, \pi_k : k =1, \ldots, K}$代表模型的所有引數。
import numpy as np
def gaussian_mixture_likelihood(x, pi, mu, sigma):
"""
計算高斯混合模型的似然函式。
引數：
x (numpy array): 資料點
pi (numpy array): 混合係數
mu (numpy array): 各分量的均值
sigma (numpy array): 各分量的協方差矩陣
傳回：
likelihood (float): 資料點x的似然值
"""
K = len(pi)
likelihood =0
for k in range(K):
likelihood += pi[k] * np.exp(-0.5 * np.dot((x-mu[k]).T, np.dot(np.linalg.inv(sigma[k]), (x-mu[k])))) / np.sqrt(np.linalg.det(sigma[k]))
return likelihood
#### 內容解密：
此程式碼實作了高斯混合模型的似然函式計算。它遍歷所有$K$個分量，計算每個分量對應的似然值，並根據混合係數$\pi_k$進行加權求和，最終傳回總的似然值。這個函式是理解高斯混合模型似然計算的關鍵。
後驗分佈與責任度
利用貝葉斯定理，我們可以計算給定資料點$x$後，潛在變數$z$的後驗分佈： $$ p(z=k|x) = \frac{p(x|z=k)p(z=k)}{p(x)} = \frac{\pi_k \mathcal{N}(x|\mu_k, \Sigma_k)}{\sum_{j=1}^{K} \pi_j \mathcal{N}(x|\mu_j, \Sigma_j)} $$ 這個後驗機率代表了第$k$個分量對資料點$x$的「責任度」（responsibility），通常用$r_{nk}$表示。
期望最大化演算法
期望最大化（EM）演算法是一種迭代方法，用於在存在潛在變數的情況下進行最大似然估計。在高斯混合模型的背景下，EM演算法透過交替執行以下兩個步驟來工作：
- E步（期望步）：計算給定當前引數估計下，潛在變數的後驗分佈。
- M步（最大化步）：利用E步計算出的後驗分佈，更新模型引數以最大化期望對數似然函式。
def em_algorithm(X, K, max_iter=100):
"""
使用EM演算法估計高斯混合模型的引數。
引數：
X (numpy array): 資料集
K (int): 高斯分量的數量
max_iter (int): 最大迭代次數
傳回：
pi (numpy array): 混合係數
mu (numpy array): 各分量的均值
sigma (numpy array): 各分量的協方差矩陣
"""
N, D = X.shape
pi = np.ones(K) / K
mu = np.random.rand(K, D)
sigma = np.array([np.eye(D)] * K)
for _ in range(max_iter):
# E步
responsibilities = np.zeros((N, K))
for n in range(N):
for k in range(K):
responsibilities[n, k] = pi[k] * gaussian_pdf(X[n], mu[k], sigma[k])
responsibilities[n, :] /= np.sum(responsibilities[n, :])
# M步
N_k = np.sum(responsibilities, axis=0)
pi = N_k / N
mu = np.dot(responsibilities.T, X) / N_k[:, np.newaxis]
for k in range(K):
diff = X - mu[k]
sigma[k] = np.dot(responsibilities[:, k].reshape(-1,1) * diff.T, diff) / N_k[k]
return pi, mu, sigma
#### 內容解密：
此程式碼展示瞭如何使用EM演算法來估計高斯混合模型的引數。E步計算了每個資料點對各個分量的責任度，而M步則根據這些責任度更新模型的引數。這個過程反覆進行，直到引數收斂或達到最大迭代次數。EM演算法是處理具有潛在變數的模型的強大工具。
二元分類別與支援向量機
在許多實際應用中，我們希望機器學習演算法能夠預測離散的結果。例如，電子郵件客戶端將郵件分類別為個人郵件和垃圾郵件，這是一種具有兩個結果的分類別問題。另一個例子是望遠鏡識別夜空中的物體是星系、恆星還是行星。通常結果的數量較少，更重要的是，這些結果之間通常沒有額外的結構關係。在本章中，我們將重點討論輸出二元值的預測器，即只有兩種可能的結果。這種機器學習任務被稱為二元分類別。
二元分類別的基本概念
對於二元分類別問題，標籤或輸出的可能取值集合是二元的。在本章中，我們將這兩個值表示為 ${+1, -1}$。換句話說，我們考慮的是形式為 $f : \mathbb{R}^D \rightarrow {+1, -1}$ 的預測器。回顧第8章，我們將每個範例（資料點）$x_n$ 表示為一個由 $D$ 個實陣列成的特徵向量。這些標籤通常被稱為正類別和負類別。
支援向量機（SVM）
支援向量機（SVM）是一種解決二元分類別任務的方法。與迴歸問題類別似，我們面對的是一個監督式學習任務，我們有一組範例 $x_n \in \mathbb{R}^D$ 以及它們對應的（二元）標籤 $y_n \in {+1, -1}$。給定一個由範例-標籤對 ${(x_1, y_1), \ldots, (x_N, y_N)}$ 組成的訓練資料集，我們希望估計模型的引數，以獲得最小的分類別錯誤。
SVM 在許多應用中提供了最先進的結果，並具有可靠的理論保證。我們選擇使用 SVM 來說明二元分類別有兩個主要原因。首先，SVM 允許我們以幾何方式思考監督式機器學習。其次，SVM 的最佳化問題不允許解析解，因此我們需要使用第7章介紹的各種最佳化工具。
SVM 的幾何觀點
SVM 對機器學習的看法與最大似然法的看法略有不同。最大似然法根據資料的機率分佈提出模型，並由此推匯出最佳化問題。相比之下，SVM 首先根據幾何直覺。我們在第10章已經見過類別似的方法，當時我們從幾何原理推匯出 PCA。在 SVM 的情況下，我們首先根據經驗風險最小化原理進行幾何直覺。
讓我們推匯出訓練 SVM 的最佳化問題。直觀地說，我們想像二元分類別資料可以被超平面分離。這裡，每個範例 $x_n$（維度為 $D$ 的向量）都是一個 $D$ 維的位置，而對應的二元標籤 $y_n$ 是兩種不同符號之一（橙色叉號或藍色圓點）。「超平面」是機器學習中常用的術語，我們在第2.8節已經遇到過。超平面是一個維度為 $D-1$ 的仿射子空間（如果對應的向量空間是 $D$ 維）。
密度估計技術
在討論 SVM 之前，我們先回顧一些密度估計技術。直方圖和核密度估計是實踐中常用的兩種非引數密度估計方法。直方圖透過將資料空間劃分為多個區間（bin），並計算每個區間中的資料點數量來構建。然後在每個區間的中心繪製一個條形，條形的高度與該區間中的資料點數量成比例。區間大小是一個關鍵的超引數，選擇不當可能導致過擬合或欠擬合。交叉驗證（第8.2.4節）可以用於確定最佳的區間大小。
核密度估計由 Rosenblatt（1956）和 Parzen（1962）獨立提出，是一種非引數的密度估計方法。給定 $N$ 個獨立同分布的樣本，核密度估計器將底層分佈表示為：
$$p(x) = \frac{1}{Nh} \sum_{n=1}^{N} k\left(\frac{x - x_n}{h}\right)$$
其中 $k$ 是一個核函式，即一個積分為1 的非負函式，$h >0$ 是一個平滑/頻寬引數，它與直方圖中的區間大小扮演類別似的角色。注意，我們在每個資料點 $x_n$ 上放置一個核函式。常用的核函式包括均勻分佈和高斯分佈。核密度估計與直方圖密切相關，但透過適當選擇核函式，我們可以保證密度估計的平滑性。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gaussian_kde
# 生成範例資料
np.random.seed(0)
data = np.random.normal(size=250)
# 計算直方圖和核密度估計
plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.5, label='直方圖')
kde = gaussian_kde(data)
x = np.linspace(data.min(), data.max(),100)
plt.plot(x, kde(x), label='核密度估計')
plt.legend()
plt.show()
#### 程式碼解析：
此程式碼範例展示瞭如何使用 Python 的 `numpy` 和 `matplotlib` 函式庫來生成範例資料，並使用 `scipy.stats` 中的 `gaussian_kde` 函式計算核密度估計。程式碼首先生成了250 個標準正態分佈的隨機樣本。然後，它使用 `plt.hist` 函式繪製了這些資料的直方圖，並使用 `gaussian_kde` 函式計算了核密度估計。最後，使用 `plt.plot` 函式將核密度估計曲線繪製在同一個圖中，以便與直方圖進行比較。
flowchart TD A[開始] --> B[生成資料] B --> C[計算直方圖] B --> D[計算核密度估計] C --> E[繪製圖形] D --> E
圖表剖析：
此圖表展示了密度估計的流程。首先，我們生成範例資料。然後，我們計算這些資料的直方圖和核密度估計。最後，我們將這兩種密度估計方法繪製在同一個圖形中，以便比較。這個流程清晰地說明瞭如何使用不同的技術來估計資料的底層分佈。
SVM 的最佳化問題
讓我們回到 SVM 的最佳化問題。給定一個訓練資料集 ${(x_1, y_1), \ldots, (x_N, y_N)}$，我們的目標是找到一個超平面，它能夠正確地分離不同類別的資料點。SVM 的最佳化問題可以表述為：
$$\min_{w, b} \frac{1}{2} |w|^2 + C \sum_{n=1}^{N} \max(0,1 - y_n (w^T x_n + b))$$
其中 $w$ 是超平面的法向量，$b$ 是偏差項，$C$ 是一個正則化引數。這個最佳化問題的目標是找到一個能夠最大化不同類別資料點之間間隔的超平面，同時最小化分類別錯誤。
from sklearn import datasets
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.model_selection import train_test_split
支援向量機（SVM）分類別技術深度解析
技術背景與重要性
支援向量機（SVM）是一種強大的監督式學習演算法，廣泛應用於分類別和迴歸任務。其核心優勢在於能夠有效地處理高維度資料，並在小樣本情況下展現出卓越的效能。SVM 的基本原理是尋找一個最佳的超平面，以最大化不同類別之間的間隔，從而實作準確的分類別。
SVM 技術架構組成
SVM 的技術架構主要由以下幾個關鍵組成部分構成：
- 核函式（Kernel Function）：核函式用於將原始資料對映到高維空間，使資料在高維空間中線性可分。常見的核函式包括線性核、多項式核、徑向基函式（RBF）核等。
- 支援向量（Support Vectors）：支援向量是指那些位於決策邊界上的資料點，它們對於定義分類別超平面起著關鍵作用。
- 正則化引數（C）：正則化引數用於控制模型的複雜度和訓練誤差之間的權衡。較大的 C 值會導致模型對訓練資料的擬合更好，但可能增加過擬合的風險。
SVM 架構圖
graph LR A[輸入資料] --> B[核函式對映] B --> C[尋找最佳超平面] C --> D[支援向量] D --> E[分類別決策] E --> F[輸出分類別結果]
圖表剖析：
此圖表展示了 SVM 分類別技術的核心流程。首先，輸入資料透過核函式對映到高維空間。接著，演算法在高維空間中尋找最佳的分類別超平面。支援向量在這個過程中發揮關鍵作用，它們定義了決策邊界。最終，模型根據決策邊界對新資料進行分類別，並輸出分類別結果。
SVM 模型建立與訓練
以下是一個使用 scikit-learn 函式庫建立和訓練 SVM 分類別器的範例程式碼：
# 匯入必要的函式庫
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
# 載入 Iris 資料集
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:100] # 取前100個樣本
y = iris.target[:100]
# 分割資料為訓練集和測試集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 建立 SVM 分類別器
svm = SVC(kernel='linear', C=1)
svm.fit(X_train, y_train)
# 評估模型
accuracy = svm.score(X_test, y_test)
print(f'模型準確率：{accuracy:.2f}')
程式碼解析
此範例程式碼展示瞭如何使用 scikit-learn 函式庫建立一個線性 SVM 分類別器，並在 Iris 資料集上進行訓練和測試。程式碼首先載入 Iris 資料集的前100個樣本，然後將資料分割為訓練集和測試集。接著，它建立了一個線性核的 SVM 分類別器，並使用訓練資料進行訓練。最後，它使用測試資料評估模型的準確率。
SVM 分類別流程圖
flowchart TD A[載入資料集] --> B[分割資料] B --> C[建立SVM模型] C --> D[訓練模型] D --> E[評估模型] E --> F[輸出準確率]
圖表剖析：
此流程圖清晰地展示了使用 SVM 進行分類別任務的步驟。首先，載入所需的資料集。接著，將資料分割為訓練集和測試集。然後，建立一個 SVM 分類別器並使用訓練資料進行訓練。訓練完成後，使用測試資料評估模型的效能。最後，輸出模型的準確率。
SVM 技術的優缺點分析
優點：
- 處理高維資料：SVM 能夠有效地處理高維度資料，在特徵空間較大的情況下表現良好。
- 小樣本學習：SVM 在小樣本情況下具有較好的泛化能力。
- 靈活性：透過選擇不同的核函式，SVM 可以適應不同的資料特性。
缺點：
- 計算複雜度：當資料量較大時，SVM 的訓練過程可能較為耗時。
- 引數調優：SVM 的效能對引數（如 C 和核函式引數）的選擇較為敏感，需要進行仔細的調優。
- 可解釋性：SVM 的決策過程相較於一些線性模型（如邏輯迴歸）較難解釋。
支援向量機（SVM）是一種強大且靈活的分類別演算法，特別適合處理高維資料和小樣本學習任務。雖然 SVM 在某些情況下可能面臨計算複雜度和引數調優的挑戰，但透過適當的核函式選擇和引數最佳化，SVM 仍然是機器學習領域中不可或缺的重要工具。未來，隨著演算法最佳化和硬體效能的提升，SVM 的應用前景將更加廣闊。
從技術架構視角來看，支援向量機（SVM）以其獨特的核函式對映和間隔最大化策略，在分類別問題中展現出顯著優勢。透過巧妙地將資料對映到高維空間，SVM 能夠有效解決線性不可分問題，並利用支援向量精簡模型，降低計算複雜度。然而，核函式的選擇和正則化引數 C 的調整對模型效能影響巨大，需要根據具體資料特性進行精細調優。此外，雖然 SVM 在高維空間中表現出色，但在處理海量資料時，其訓練時間仍是一個挑戰。對於重視模型可解釋性的應用場景，SVM 的「黑盒」特性也可能限制其應用。隨著量子計算等新興技術的發展，我們預見 SVM 的訓練效率將獲得顯著提升，使其在更大規模的資料集上發揮更強大的作用。對於追求高準確率且資料量適中的分類別任務，SVM 仍然是一個值得優先考慮的利器。
