體育賽程安排問題的核心挑戰在於平衡各隊比賽時間，同時滿足聯盟的特定需求。本文提出的方法旨在最大化同組內比賽在賽程後期的安排，以確保賽季末的競爭更具張力。首先，我們定義了一個根據比賽週數加權的目標函式，但發現其過於偏好最後一週的比賽。為瞭解決這個問題，我們計算了同組內比賽所需的最小週數，並修改目標函式，將比賽均勻分佈在最後幾週。這個最佳化策略有效避免了賽程過於集中，提升了賽程安排的靈活性。實際應用中，可以根據聯盟的具體規則調整引數，例如組內外比賽場次、每隊每週最多比賽場次和賽季總週數等，以滿足不同的需求。
7.4.1.3 目標函式的設計與最佳化
在體育賽程安排問題中，目標函式的設計至關重要。由於問題的複雜性，即使是可行解也很難獲得。不同的聯盟可能會有不同的目標函式需求。本文以將同組內比賽盡可能安排在日曆後期為目標進行探討。
變數定義與初步目標函式
假設有兩隊同組球隊 $i$ 和 $j$，如果他們在第 $w$ 週比賽，那麼變數 $x_{i,j,w}$ 將被設為 1。為了使同組內比賽盡可能晚進行，我們可以考慮使用 $w$ 作為權重乘以 $x_{i,j,w}$，從而得到初步的目標函式：
$$ \sum_{w \in W} \sum_{d \in D} \sum_{i \in T_d} \sum_{j \in T_d, i < j} w \cdot x_{i,j,w} $$
然而，這個目標函式在某些情況下表現不佳。因為它過度偏好最後一週的比賽，而在實際應用中，將同組內比賽安排在最後幾周的任何一週都是可接受的。
最佳化目標函式
為了改進目標函式，我們計算了同組內比賽所需的週數 $n_w$：
$$ n_w = \frac{|T_d| \cdot n_A}{n_G} $$
其中，$|T_d|$ 是該組的球隊數量，$n_A$ 是組內比賽場次，$n_G$ 是每週最多比賽場次。
接著，我們修改目標函式為：
$$ \sum_{w = n_W - n_w}^{n_W} \sum_{d \in D} \sum_{i \in T_d} \sum_{j \in T_d, i < j} x_{i,j,w} $$
這個改進後的目標函式將同組內比賽安排在最後 $n_w$ 週內，從而獲得更好的效果。
內容解密：
- 變數與引數定義：首先，我們需要了解變數 $x_{i,j,w}$ 的定義，它表示球隊 $i$ 和 $j$ 在第 $w$ 週是否比賽。
- 初步目標函式設計：透過乘以 $w$，我們試圖將比賽安排在越晚的周次。然而，這種方法可能導致過度偏好最後一週。
- 最佳化目標函式：透過計算所需的週數 $n_w$，我們改進了目標函式，使其將同組內比賽均勻安排在最後幾周。
- 實際應用意義：這種最佳化確保了賽程安排的靈活性與合理性，避免了過度集中在某一週。
7.4.1.4 可執行模型的建立
模型輸入與引數
模型接收一個包含各組球隊的分組列表，以及多個引數：組內比賽場次 (nbIntra)、組間比賽場次 (nbInter)、每隊每週最多比賽場次 (nbPerWeek) 和賽季總週數 (nbWeeks)。
程式碼實作
def solve_model(Teams, params):
(nbIntra, nbInter, nbPerWeek, nbWeeks) = params
nbTeams = sum([1 for sub in Teams for e in sub])
nbDiv = len(Teams)
s = newSolver('SportsSchedule', True)
x = [[[s.IntVar(0, 1) if i < j else None for _ in range(nbWeeks)]
for j in range(nbTeams)] for i in range(nbTeams - 1)]
# 約束條件：組內比賽場次
for Div in Teams:
for i in Div:
for j in Div:
if i < j:
s.Add(sum(x[i][j][w] for w in range(nbWeeks)) == nbIntra)
# 約束條件：組間比賽場次
for d in range(nbDiv - 1):
for e in range(d + 1, nbDiv):
for i in Teams[d]:
for j in Teams[e]:
s.Add(sum(x[i][j][w] for w in range(nbWeeks)) == nbInter)
# 約束條件：每隊每週最多比賽場次
for w in range(nbWeeks):
for i in range(nbTeams):
s.Add(sum(x[i][j][w] for j in range(nbTeams) if i < j) +
sum(x[j][i][w] for j in range(nbTeams) if j < i) <= nbPerWeek)
# 目標函式：最大化將組內比賽安排在後期
Value = [x[i][j][w] for Div in Teams for i in Div for j in Div
for w in range(nbWeeks - len(Div) * nbIntra // nbPerWeek, nbWeeks)
if i < j]
s.Maximize(sum(Value))
rc = s.Solve()
if rc == 0:
Cal = [[(i, j) for i in range(nbTeams - 1) for j in range(i + 1, nbTeams)
if SolVal(x[i][j][w]) > 0] for w in range(nbWeeks)]
return rc, ObjVal(s), Cal
內容解密：
- 模型輸入與引數處理：首先解析輸入引數，包括球隊分組和各種約束條件引數。
- 變數定義：使用三維列表
x表示任意兩隊在各周是否比賽的決策變數。 - 約束條件建立：包括組內外比賽場次和每隊每週最多比賽場次的限制。
- 目標函式建立：透過最大化將組內比賽安排在後期的策略來最佳化賽程。
- 求解與結果處理：呼叫求解器進行求解，並將結果轉換為易於理解的賽程表。
結果展示
最終輸出的賽程安排如表 7-14 所示，該表詳細列出了每週的比賽對陣。
進階體育賽程規劃：強化模型與求解策略
在前述的體育賽程規劃模型中，我們遇到了求解效率的問題。隨著賽事規模的擴大，模型的求解時間顯著增加。這主要是由於整數規劃求解器在處理模型的可行解空間時遇到的困難。為瞭解決這個問題，我們需要對模型進行改進，加入額外的約束條件以縮小求解空間，提高求解效率。
問題分析與模型強化
原始模型的限制在於，當求解器允許某些決策變數取分數值時，可能會產生不符合實際賽事安排的解。例如，考慮三支球隊 $i$、$j$ 和 $k$，在某一週 $w$，決策變數可能滿足： $$ x_{i,j,w} = x_{i,k,w} = x_{j,k,w} = \frac{1}{2} $$ 這種解雖然滿足「每隊每週最多一場比賽」的約束，但實際上是無效的，因為它意味著三支球隊之間存在迴圈比賽的情況，而這在實際中是不可能的。
加入額外約束
為瞭解決這個問題，我們可以為每週的每三支球隊加入額外的約束條件： $$ x_{i,j,w} + x_{i,k,w} + x_{j,k,w} \leq 1 $$ 這個約束確保了在任何一週內，三支球隊之間不能有超過一場的比賽。雖然當變數為整數時這個約束是冗餘的，但它對於縮小分數解的空間非常有幫助。
程式碼實作
以下是改進後的程式碼範例，用於加入額外的約束條件並求解強化後的模型：
def solve_model_big(Teams, params):
(nbIntra, nbInter, nbPerWeek, nbWeeks) = params
nbTeams = sum([1 for sub in Teams for e in sub])
nbDiv, cuts = len(Teams), []
for iter in range(2):
s = newSolver('SportsSchedule', False)
x = [[[s.NumVar(0, 1, "") if i < j else None for _ in range(nbWeeks)]
for j in range(nbTeams)] for i in range(nbTeams - 1)]
basic_model(s, Teams, nbTeams, nbWeeks, nbPerWeek, nbIntra, nbDiv, nbInter, cuts, x)
rc = s.Solve()
bounds = {(3, 1): 1, (4, 1): 2, (5, 1): 2, (5, 3): 7}
if nbPerWeek <= 3:
for w in range(nbWeeks):
for i in range(nbTeams - 2):
for j in range(i + 1, nbTeams - 1):
for k in range(j + 1, nbTeams):
b = bounds.get((3, nbPerWeek), 1000)
if sum([SolVal(x[p[0]][p[1]][w]) for p in pairs([i, j, k], [])]) > b:
cuts.append([[i, j, k], [w, b]])
# 省略部分程式碼以簡化說明
程式碼解析：
- 迭代求解：程式碼首先進行有限次迭代（例如2次），每次迭代都重新建立一個求解器並求解模型。
- 加入額外約束：在每次迭代後，檢查是否存在違反界限的決策變陣列合，如果存在，則將其加入到
cuts列表中。 - 強化模型：最後一次迭代使用整數變數，並加入之前收集的所有額外約束條件，以得到最終的賽程安排。
圖表說明：模型強化流程
@startuml
skinparam backgroundColor #FEFEFE
skinparam componentStyle rectangle
title 體育賽程安排最佳化模型
package "模型輸入" {
component [分組列表 Teams] as teams
component [組內比賽數 nbIntra] as intra
component [組間比賽數 nbInter] as inter
component [週比賽上限 nbPerWeek] as perweek
component [總週數 nbWeeks] as weeks
}
package "決策變數" {
component [x_ijw ∈ {0,1}] as xvar
}
package "約束條件" {
component [組內比賽場次] as c_intra
component [組間比賽場次] as c_inter
component [每週比賽上限] as c_weekly
component [每隊每週限制] as c_team
}
package "目標函式最佳化" {
component [計算所需週數 n_w] as calc_nw
component [後期週數加權] as weight
component [最大化同組後期比賽] as maximize
}
package "求解輸出" {
component [整數規劃求解] as solver
component [可行賽程表] as schedule
}
teams --> xvar : 定義變數範圍
intra --> c_intra : 設定約束
inter --> c_inter : 設定約束
perweek --> c_weekly : 設定約束
xvar --> c_intra
xvar --> c_inter
xvar --> c_weekly
xvar --> c_team
c_intra --> calc_nw : n_w = |T_d|·n_A / n_G
calc_nw --> weight : 最後 n_w 週
weight --> maximize : Σ x_ijw
maximize --> solver : 目標函式
c_team --> solver : 約束傳入
solver --> schedule : 輸出結果
note right of xvar
x_ijw = 1 表示
隊伍 i 與 j
在第 w 週比賽
end note
note right of calc_nw
計算同組比賽
所需最小週數
end note
@enduml此圖示展示了模型強化和求解的流程，包括迭代檢查和加入額外約束的過程。
進階技術：約束強化與應用
在整數規劃中，模型的有效性往往取決於其表述方式與求解器的配合。一個看似合理的模型可能因為約束不足而導致求解效率低下。此時，適當地新增約束條件，即所謂的「約束強化」（Constraint Tightening）或「割平面」（Cutting Plane），能夠顯著提升求解速度。
約束強化的實踐
以體育賽事排程為例，當我們試圖最小化同一分割槽內球隊之間的比賽場次時，可以引入額外的約束來引導求解器更快速地找到最優解。程式碼片段如下所示：
for t, w in cuts:
s.Add(s.Sum(x[p[0]][p[1]][w[0]] for p in pairs(t, [])) <= w[1])
其中，pairs 函式負責生成有序配對，而 cuts 則包含了用於強化模型的約束條件。
內容解密：
pairs函式的作用：該函式遞迴地從輸入的元組中生成所有有序配對。例如，若輸入(a, b, c)，則輸出將包含(a, b)、(a, c)和(b, c)等配對。- 約束的新增邏輯：透過
s.Add方法，將生成的約束加入模型中。這些約束限制了特定條件下變數的取值範圍，從而縮小了求解空間。 - 強化模型的意義：雖然這些額外約束並非模型正確性的必要條件，但它們能夠引導求解器更高效地搜尋解空間。
變化與擴充套件
體育賽事排程問題存在多種變體，包括但不限於：
- 指定某些比賽在特定週進行
- 遵循特定的比賽模式（如「區內-區內-區間」）
- 控制特定球隊間的多場比賽分佈
- 考慮主客場因素，並最佳化旅行安排
這些變化可能影響目標函式或引入新的硬性約束。
益智問題的建模
約束規劃（Constraint Programming）社群中有一種傳統，即利用益智問題來展示建模技巧。整數規劃同樣可以用於解決這類別問題，例如「最大化棋盤上非攻擊性皇后（或城堡）的數量」。
以最大化棋盤上非攻擊性城堡為例
首先定義二維陣列 x，其中 x[i][j] 表示在位置 (i, j) 是否放置城堡。目標函式為最大化所有 x[i][j] 的總和。
def solve_maxrook(n):
s = newSolver('Maxrook', True)
x = [[s.IntVar(0, 1, '') for _ in range(n)] for _ in range(n)]
for i in range(n):
k_out_of_n(s, 1, get_row(x, i), '<=')
k_out_of_n(s, 1, get_column(x, i), '<=')
Count = s.Sum(x[i][j] for i in range(n) for j in range(n))
s.Maximize(Count)
rc = s.Solve()
y = [[[' ', 'R'][int(SolVal(x[i][j]))] for j in range(n)] for i in range(n)]
return rc, y
內容解密：
get_row和get_column函式：這兩個函式分別提取指定行或列中的變數，用於施加「每行/列最多一個城堡」的約束。- 模型的核心邏輯：透過
k_out_of_n函式，對每一行和每一列施加最多一個非零值的約束，從而確保城堡之間不會互相攻擊。 - 結果的呈現：求解後，將二維陣列
x中的變數值轉換為 ‘R’（表示城堡）或空格，並傳回結果。
更複雜的問題：N-皇后問題
相較於城堡問題，N-皇后問題需要額外考慮對角線上的攻擊。因此，除了行列約束外，還需引入對角線約束。
def get_se(x, i, j, n):
return [x[(i + k) % n][(j + k) % n] for k in range(n - max(i, j))]
def get_ne(x, i, j, n):
return [x[(i - k) % n][(j + k) % n] for k in range(min(i + 1, n - j))]
內容解密：
get_se和get_ne函式的作用：這兩個函式分別提取從指定位置開始的東南方向和東北方向對角線上的變數，用於施加對角線約束。- 對角線約束的意義：透過對每個皇后位置施加對角線約束，確保沒有兩個皇后在同一對角線上互相攻擊。
這些技術不僅可用於解決益智問題，也能應用於更複雜的現實場景中，展現出整數規劃在多領域的廣泛適用性。
進階技術：約束規劃的應用
7.5.1 最大棋子拼圖
在最大棋子拼圖中，我們探討如何在棋盤上放置最多的特定棋子（如皇后、城堡或主教），使得這些棋子之間不會互相攻擊。這個問題可以透過約束規劃來解決。
模型建立
首先，我們定義兩個輔助函式 get_se 和 get_ne，分別用於提取對角線上的變數。接著，我們建立了一個通用的模型，如清單 7-24 所示。
def solve_maxpiece(n, p):
s = newSolver('Maxpiece', True)
x = [[s.IntVar(0, 1, "") for _ in range(n)] for _ in range(n)]
for i in range(n):
if p in ['R', 'Q']:
k_out_of_n(s, 1, get_row(x, i), '<=')
k_out_of_n(s, 1, get_column(x, i), '<=')
if p in ['B', 'Q']:
for j in range(n):
if i in [0, n-1] or j in [0, n-1]:
k_out_of_n(s, 1, get_ne(x, i, j, n), '<=')
k_out_of_n(s, 1, get_se(x, i, j, n), '<=')
Count = s.Sum(x[i][j] for i in range(n) for j in range(n))
s.Maximize(Count)
rc = s.Solve()
y = [[['u', p] + [int(SolVal(x[i][j]))] for j in range(n)] for i in range(n)]
return rc, y
內容解密：
solve_maxpiece函式：接受兩個引數，n表示棋盤的大小，p表示要放置的棋子型別（皇后、城堡或主教）。- 變數定義：使用二維陣列
x表示棋盤上的每個位置，x[i][j]為 1 表示放置棋子，否則為 0。 - 約束條件：
- 對於皇后和城堡，需要確保每一行和每一列最多隻有一個棋子。
- 對於皇后和主教，需要確保對角線上最多隻有一個棋子。
- 目標函式：最大化棋盤上放置的棋子數量。
- 求解：呼叫
s.Solve()求解模型，並傳回結果。
7.5.2 數獨
數獨是一種經典的邏輯拼圖遊戲，要求在一個 9x9 的網格中填入數字，使得每一行、每一列和每個 3x3 的子網格都包含 1 到 9 的所有數字。
模型建立
我們定義了一個三維陣列 x，其中 x[i][j][0] 表示網格 (i, j) 處的數字，而 x[i][j][k]（其中 k 從 1 到 9）是二進位變數，表示 (i, j) 處是否為數字 k。
def solve_sudoku(G):
s, n, x = newSolver('Sudoku', True), len(G), []
for i in range(n):
row = []
for j in range(n):
if G[i][j] == None:
v = [s.IntVar(1, n+1, "")] + [s.IntVar(0, 1, "") for _ in range(n)]
s.Add(v[0] == sum(k*v[k] for k in range(1, n+1)))
else:
v = [G[i][j]] + [0 if k != G[i][j] else 1 for k in range(1, n+1)]
row.append(v)
x.append(row)
for i in range(n):
all_diff(s, get_row(x, i))
all_diff(s, get_column(x, i))
for i in range(3):
for j in range(3):
all_diff(s, get_subgrid(x, i, j))
rc = s.Solve()
return rc, [[SolVal(x[i][j][0]) for j in range(n)] for i in range(n)]
內容解密：
solve_sudoku函式：接受一個部分填充的數獨網格G，傳回求解後的網格。- 變數定義：使用三維陣列
x表示數獨網格，每個元素是一個向量，第一個分量表示該位置的數字，其他分量是二進位變數，表示該位置是否為特定數字。 - 約束條件：
- 確保每個位置的數字與其對應的二進位變數一致。
- 使用
all_diff函式確保每一行、每一列和每個 3x3 子網格中的數字都不同。
- 求解：呼叫
s.Solve()求解模型，並傳回結果。
7.5.3 更多金錢！
這是一個經典的密碼算術拼圖，要求將字母替換為不同的數字，使得等式 SEND + MORE = MONEY 成立。
解題思路
- 將每個字母對映到一個數字變數。
- 新增約束條件，確保每個字母對應的數字不同，並且等式成立。
這個問題展示了約束規劃在解決邏輯拼圖和組合最佳化問題中的強大能力。透過定義適當的變數和約束條件，可以有效地找到滿足特定條件的解。
