資料分析與視覺化技術在現代資料科學中扮演著至關重要的角色，能有效地揭示資料背後的規律和趨勢。透過視覺化工具，複雜的資料可以轉化為易於理解的圖表，協助我們快速掌握資料的特性。在實務應用上，分類別樹和迴歸樹是兩種常用的機器學習演算法，能有效地處理分類別和預測問題。這些技術結合起來，能讓我們更深入地理解資料，並做出更明智的決策。例如，在探討騎乘式割草機所有權與收入之間的關係時，我們可以運用這些技術來分析影響所有權的關鍵因素，並預測潛在的市場趨勢。
資料分析與視覺化
在進行資料分析時，瞭解資料的分佈和趨勢是非常重要的。以下是對給定的資料進行分析和視覺化的過程。
資料描述
給定的資料似乎包含兩個變數：一個可能代表某種測量或值（例如身高、體重等），另一個可能代表年齡或其他相關指標。然而，沒有明確的變數名稱，因此我們將根據資料的結構進行推斷。
資料視覺化
為了更好地理解資料，使用視覺化工具是非常有幫助的。以下是使用Mermaid語法建立的一個簡單流程圖，展示瞭如何對這些資料進行初步分析：
flowchart TD
A[資料收集] --> B[資料清理]
B --> C[資料視覺化]
C --> D[趨勢分析]
D --> E[結果解釋]
內容解密
上述流程圖展示了從資料收集到結果解釋的整個過程。以下是每一步的詳細解說：
- 資料收集：這是分析的第一步，涉及收集相關資料。在這個例子中，資料似乎已經給出，但在實際應用中，你需要確保資料的品質和相關性。
- 資料清理：收集到的資料可能包含錯誤、缺失值或不一致的地方。這一步驟非常重要，因為它直接影響到後續分析的準確性。
- 資料視覺化：透過視覺化工具，可以更直觀地看到資料的分佈、趨勢等特點。常用的視覺化工具包括折線圖、柱狀圖、散點圖等。
- 趨勢分析：在視覺化的基礎上，進行趨勢分析可以幫助我們瞭解資料中的規律和變化。
- 結果解釋：最後，根據分析結果，進行合理的解釋和推斷。這一步驟需要結合背景知識和專業判斷。
圖表翻譯
對於給定的Mermaid圖表：
flowchart TD
A[開始] --> B[處理步驟]
B --> C[結束]
這個圖表描述了一個簡單的流程：從「開始」到「處理步驟」，然後到「結束」。這種流程可以應用於各種情境，包括資料分析、軟體開發等領域。
圖表翻譯
上述圖表展示了一個基本的工作流程。以下是對每個步驟的詳細解釋：
- 開始：這是流程的起點，代表著某個過程或任務的啟動。
- 處理步驟：這一步驟涉及具體的操作或計算，根據具體情況不同，可以包括資料處理、計算等。
- 結束：流程的終點，代表著某個過程或任務的完成。
這種基本的流程可以根據具體需求進行擴充套件和修改，以適應不同的應用場景。
分類別樹和迴歸樹的應用：探索騎乘式割草機所有權與收入的關係
在探索騎乘式割草機所有權與收入的關係時，分類別樹和迴歸樹是兩種強大的工具，可以幫助我們理解這兩個變數之間的複雜關係。下面，我們將使用這兩種方法來分析一組包含24個樣本的資料，每個樣本代表一個騎乘式割草機的所有者或非所有者。
資料描述
我們的資料集包含了兩個主要變數：Lot Size（土地面積）和Income（收入）。Lot Size以千平方英尺（000s sqft）為單位，Income以千美元（$000s）為單位。另外，我們還有一個分類別變數，即owner，表示是否為騎乘式割草機的所有者。
散點圖分析
首先，讓我們使用散點圖來視覺化Lot Size和Income之間的關係。如圖9.2所示，這個散點圖顯示了24個樣本中Lot Size和Income的分佈情況。從圖中可以看出，所有者的收入似乎與土地面積有著一定的相關性，但這種相關性並不明顯。
分類別樹分析
接下來，我們將使用分類別樹來分析這些資料。分類別樹是一種非引數統計方法，透過遞迴分割資料集來建立一棵樹狀結構，以此來預測目標變數的類別。當我們將分類別樹程式應用於這些資料時，程式會選擇Income作為第一個分裂點，並以59.7為分裂值。這意味著，當收入超過59.7千美元時，個體更可能是騎乘式割草機的所有者。
迴歸樹分析
除了分類別樹以外，我們還可以使用迴歸樹來分析這些資料。迴歸樹與分類別樹相似，但它們用於預測連續變數而非分類別變數。在這個例子中，我們可以使用迴歸樹來預測Income根據Lot Size和owner的變化。
內容解密：
在上述分析中，我們使用了分類別樹和迴歸樹來探索騎乘式割草機所有權與收入的關係。這些方法可以提供有價值的見解，但也需要謹慎選擇和使用。下面是一個簡單的Python程式碼範例，展示瞭如何使用scikit-learn函式庫建立一個簡單的分類別樹：
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
# 載入資料
data = np.array([[20, 40, 60, 80, 100, 120], [202, 9]])
# 定義特徵變數和目標變數
X = data[0]
y = data[1]
# 分割資料集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 建立分類別樹模型
clf = DecisionTreeClassifier(random_state=42)
# 訓練模型
clf.fit(X_train.reshape(-1, 1), y_train)
# 預測
y_pred = clf.predict(X_test.reshape(-1, 1))
這個程式碼建立了一個簡單的分類別樹模型，並使用訓練資料集進行訓練。然後，它使用測試資料集進行預測，並輸出預測結果。
圖表翻譯：
下面是一個簡單的Mermaid圖表，展示了上述分析中使用的分類別樹結構：
graph TD
A[開始] --> B[收入 > 59.7]
B --> C[所有者]
B --> D[非所有者]
C --> E[預測結果]
D --> E
這個圖表展示了分類別樹的結構，其中根節點代表開始，葉節點代表預測結果。中間節點代表了收入大於59.7的分裂點，左右子樹分別代表了所有者和非所有者的預測結果。
剖析空間分割與收入分佈
在瞭解空間分割的過程中，我們需要考慮到不同變數之間的關係。在這個例子中，收入（Income）被選作為分割空間的基礎。透過設定一個臨界點（Threshold），例如59.7，空間被分割成兩個矩形：一個對應於收入小於59.7，另一個對應於收入大於或等於59.7。這種分割方式可以用來分析不同收入群體之間的差異和特徵。
圖9.3展示了這種分割方式，其中x軸代表地塊大小（Lot Size），y軸代表收入（Income）。透過這個圖表，我們可以直觀地看到收入如何影響地塊大小的分佈。例如，在收入小於59.7的區域，地塊大小可能呈現出不同的趨勢和集中度。
空間分割的技術實作
在實際應用中，空間分割可以透過各種演算法和工具實作。例如，使用決策樹或隨機森林等機器學習演算法，可以根據不同的特徵（如收入、地塊大小等）對資料進行分類別和預測。同時，利用GIS（地理資訊系統）等工具，可以將空間分割結果視覺化，進一步幫助分析和決策。
內容解密：
以上所述的空間分割過程，實際上是將複雜的資料空間按照一定的規則進行劃分，以便於更好地理解和分析資料之間的關係。這種方法在很多領域都有廣泛的應用，包括市場分析、城市規劃、環境監測等。透過合理設定臨界點和選擇適當的演算法，可以得到有價值的見解和建議。
flowchart TD
A[資料收集] --> B[資料預處理]
B --> C[設定臨界點]
C --> D[空間分割]
D --> E[結果視覺化]
E --> F[分析和決策]
圖表翻譯：
此圖示決策流程從資料收集開始，經過預處理、設定臨界點、空間分割，最後到結果視覺化和分析決策。每一步驟都對應著特定的操作和目標，最終目的是為了獲得有價值的見解和做出明智的決策。
分類別樹的核心概念
分類別樹是一種廣泛使用的機器學習演算法，尤其是在處理分類別問題時。它的工作原理是根據輸入的特徵（預測變數）將資料分成不同的類別。下面，我們將深入探討分類別樹的核心概念，包括如何分裂資料、處理類別預測變數、以及衡量不純度（impurity）的方法。
資料分裂
分類別樹的第一步是選擇一個最佳的分裂點（split point），以便將資料分成兩個子集。這個過程是根據減少子集的不純度。具體來說，演算法會計算每個可能的分裂點對應的不純度減少量，並選擇最優的那一個。
例如，假設我們有一個包含24個觀察值的資料集，目的是根據收入（Income）和地塊大小（Lot Size）來區分房主（owner）和非房主（nonowner）。演算法會考慮每個預測變數的所有可能分裂值，然後根據哪個分裂值能夠最大程度地減少子集的不純度來選擇最佳分裂點。
類別預測變數
除了數值預測變數外，類別預測變數也可以在分類別樹中使用。對於類別預測變數，分裂選擇涉及到將類別集合分成兩個子集。例如，如果有一個具有四個類別（a, b, c, d）的類別變數，則有七種方法可以將這些類別分成兩個子集：{a}和{b, c, d}、{b}和{a, c, d}等等。
然而，當類別數量很大時，可能的分裂方式會急劇增加。為了簡化問題，一些演算法（如ASDM）只支援二元類別變數（編碼為0/1）。對於具有多個類別（m > 2）的預測變數，建議將其轉換為m個虛擬變數（dummy variables），而不是m-1個。
標準化
無論預測變數是數值還是類別，標準化（或稱正規化）對於分類別樹演算法來說並不重要。這意味著，不需要事先對資料進行標準化處理。
不純度衡量
有多種方法可以衡量一個節點的不純度，其中最常用的兩種方法是Gini指標和熵指標。Gini指標和熵指標都試圖量化一個節點中不同類別的混合程度。具體而言，Gini指標越低，表示節點越純；熵指標越低，也表示節點越純。
Gini指標
Gini指標是一種衡量集合中元素分佈不均勻程度的指標。對於一個包含多個類別的節點，其Gini指標定義為1減去節點中每個類別機率的平方和。當節點中只有一個類別時，Gini指標為0，表示節點完全純淨。
熵指標
熵指標則是來自資訊理論的一個概念，用於衡量一個系統的不確定性或隨機性。在分類別樹中，熵指標用於衡量一個節點中不同類別的混合程度。當節點中所有例項都屬於同一類別時，熵指標為0，表示完全純淨。
類別不純度的衡量：基尼不純度
在分類別問題中，瞭解資料的類別分佈對於樹狀模型的建立至關重要。基尼不純度（Gini Impurity）是一種用於衡量一個集合中類別分佈的不純度指標。假設我們有 $m$ 個類別，從 $1$ 到 $m$ 編號，我們可以使用基尼不純度來評估一個矩形區域 $A$ 中的類別混合程度。
基尼不純度的定義
基尼不純度對於矩形區域 $A$ 的定義如下： [ \text{玄貓}(A) = 1 - \sum_{k=1}^{m} p_k^2 ] 其中，$p_k$ 代表著矩形區域 $A$ 中屬於第 $k$ 類別的觀察資料的比例。
基尼不純度的特性
基尼不純度的值域在 $0$ 到 $\frac{m-1}{m}$ 之間。當所有觀察資料都屬於同一類別時，基尼不純度為 $0$，表示完全純淨。另一方面，當所有 $m$ 個類別在矩形區域 $A$ 中以相同比例出現時，基尼不純度達到最大值 $\frac{m-1}{m}$，表示完全不純淨。
兩類別情況下的基尼不純度
對於只有兩個類別的情況，基尼不純度可以簡化為： [ \text{玄貓}(A) = 1 - (p_1^2 + p_2^2) ] 其中，$p_1$ 和 $p_2$ 分別代表著兩個類別在矩形區域 $A$ 中的比例。
基尼不純度與類別比例的關係
圖 9.4 顯示了在兩類別情況下，基尼不純度與類別比例 $p_k$ 的關係。從圖中可以看出，當 $p_k = 0.5$ 時，即當矩形區域 $A$ 中含有兩個類別的觀察資料各佔 50% 時，基尼不純度達到最大值。這意味著，在這種情況下，類別分佈最為混亂，不純度最高。
分類別與迴歸樹：不純度衡量指標
在分類別與迴歸樹中，不純度衡量指標（Impurity Measure）是一個用於評估資料集純度的重要指標。其中，Gini不純度和熵不純度是兩種常用的衡量指標。
Gini不純度
Gini不純度是一種衡量資料集不純度的指標，它的值越低，表示資料集越純。Gini不純度的計算公式為：
Gini(A) = 1 - ∑(p_k^2)
其中，p_k是第k類別的機率。
熵不純度
熵不純度是另一種衡量資料集不純度的指標，它的值越低，表示資料集越純。熵不純度的計算公式為：
Entropy(A) = -∑(p_k * log2(p_k))
其中，p_k是第k類別的機率。
兩種不純度衡量指標的比較
在二分類別問題中，Gini不純度和熵不純度都會在p_k = 0.5時達到最大值。這意味著當兩個類別的機率相等時，不純度最高。
案例分析
讓我們以騎乘草坪機的例子來計算不純度。在第一次分割之前，資料集包含12個擁有騎乘草坪機的人和12個不擁有騎乘草坪機的人。這是一個二分類別問題，每個類別的觀察數量相等。因此，Gini不純度和熵不純度都達到了最大值：Gini = 0.5和Entropy = log2(2) = 1。
flowchart TD
A[開始] --> B[計算Gini不純度]
B --> C[計算熵不純度]
C --> D[比較兩種不純度衡量指標]
D --> E[案例分析]
內容解密：
- Gini不純度和熵不純度都是用於評估資料集純度的重要指標。
- Gini不純度的計算公式為：Gini(A) = 1 - ∑(p_k^2)
- 熵不純度的計算公式為：Entropy(A) = -∑(p_k * log2(p_k))
- 在二分類別問題中，Gini不純度和熵不純度都會在p_k = 0.5時達到最大值。
圖表翻譯：
此圖示為一個流程圖，展示了計算Gini不純度和熵不純度的步驟。首先，計算Gini不純度，然後計算熵不純度，接著比較兩種不純度衡量指標，最後進行案例分析。這個流程圖幫助我們瞭解如何使用這兩種不純度衡量指標來評估資料集的純度。
分割後的矩形純度分析
在進行分割後，我們得到兩個矩形：左矩形和右矩形。左矩形包含七個非所有者和一個所有者，而右矩形包含11個所有者和5個非所有者。接下來，我們將計算每個矩形的不純度度量，包括基尼係數（Gini）和熵（Entropy）。
左矩形的不純度分析
左矩形中，有7個非所有者和1個所有者，總計8個樣本。基尼係數（Gini）是用於衡量一個集合中元素分類別的不確定性或不純度的一種指標。對於左矩形，基尼係數可以計算如下：
[ Gini_{left} = 1 - \left( \frac{7}{8} \right)^2 - \left( \frac{1}{8} \right)^2 ]
[ Gini_{left} = 1 - \frac{49}{64} - \frac{1}{64} ]
[ Gini_{left} = 1 - \frac{50}{64} ]
[ Gini_{left} = \frac{14}{64} ]
[ Gini_{left} = 0.219 ]
熵（Entropy）是另一種用於衡量不確定性或不純度的指標。對於左矩形，熵可以計算如下：
[ Entropy_{left} = -\frac{7}{8} \log_2 \left( \frac{7}{8} \right) - \frac{1}{8} \log_2 \left( \frac{1}{8} \right) ]
[ Entropy_{left} = -\frac{7}{8} \log_2 \left( \frac{7}{8} \right) - \frac{1}{8} \log_2 \left( \frac{1}{8} \right) ]
[ Entropy_{left} = 0.544 ]
右矩形的不純度分析
右矩形中，有11個所有者和5個非所有者，總計16個樣本。同樣地，基尼係數和熵可以計算如下：
基尼係數：
[ Gini_{right} = 1 - \left( \frac{11}{16} \right)^2 - \left( \frac{5}{16} \right)^2 ]
[ Gini_{right} = 1 - \frac{121}{256} - \frac{25}{256} ]
[ Gini_{right} = 1 - \frac{146}{256} ]
[ Gini_{right} = \frac{110}{256} ]
[ Gini_{right} = 0.430 ]
熵的計算與左矩形類別似，但由於右矩形的類別分佈不同，結果也會有所不同。
透過這些計算，我們可以看到左矩形和右矩形的不純度度量結果。這些結果對於評估分割的品質和決定下一步的分割策略非常重要。
分類別樹的純度指標
在分類別樹中，純度指標（Purity Measure）是一個用來評估節點純度的指標。常用的純度指標包括基尼係數（Gini Index）和熵（Entropy）。
基尼係數（Gini Index）
基尼係數是一種衡量分類別樹節點純度的指標，定義為：
[ Gini = 1 - \sum_{i=1}^{k} p_i^2 ]
其中，( p_i ) 是第 ( i ) 類別的機率，( k ) 是類別的數量。
熵（Entropy）
熵是另一種衡量分類別樹節點純度的指標，定義為：
[ Entropy = - \sum_{i=1}^{k} p_i \log_2 p_i ]
其中，( p_i ) 是第 ( i ) 類別的機率，( k ) 是類別的數量。
範例分析
假設我們有一個分類別樹，根節點包含 24 個樣本，其中 8 個是非所有者（Non-Owner），16 個是所有者（Owner）。根節點的基尼係數和熵分別為：
[ Gini = 1 - \left( \frac{8}{24} \right)^2 - \left( \frac{16}{24} \right)^2 = 0.5 ]
[ Entropy = - \left( \frac{8}{24} \log_2 \frac{8}{24} + \frac{16}{24} \log_2 \frac{16}{24} \right) = 1 ]
如果我們在根節點上進行分裂，產生兩個子節點，左子節點包含 8 個非所有者，右子節點包含 16 個所有者。左子節點的基尼係數和熵分別為：
[ Gini = 1 - \left( \frac{8}{8} \right)^2 = 0 ]
[ Entropy = - \left( \frac{8}{8} \log_2 \frac{8}{8} \right) = 0 ]
右子節點的基尼係數和熵分別為：
[ Gini = 1 - \left( \frac{16}{16} \right)^2 = 0 ]
[ Entropy = - \left( \frac{16}{16} \log_2 \frac{16}{16} \right) = 0 ]
由此可見，分裂後的兩個子節點都達到了完全純度。
分類別樹演算法的運作原理
在分類別樹演算法中，資料會被不斷地分割成更小的子集，每個子集都盡可能地「純淨」，也就是說，屬於同一類別的資料點會被集中在一起。這個過程被稱為遞迴分割（recursive partitioning）。
遞迴分割的步驟
- 初始分割：首先，資料會被分割成兩個子集，根據某個特定的條件（例如，某個變數的值）。
- 純淨度評估：然後，對每個子集進行純淨度評估，計算每個子集中的資料點是否屬於同一類別。
- 遞迴分割：如果某個子集的純淨度不夠高，則會再次進行分割，直到所有子集都達到足夠高的純淨度。
分類別樹的構建
分類別樹是一種樹狀結構，每個節點代表一個分割決策。根節點代表原始資料集，每個葉節點代表一個純淨的子集。每個內部節點代表一個分割決策，左右子節點代表兩個子集。
範例：房價預測
假設我們想要根據房屋的大小（sqft）和收入（$000s）預測房屋的類別（owner或nonowner）。我們可以使用分類別樹演算法來構建一個模型。
graph TD
A[原始資料集] -->|大小 < 1500|> B[小型房屋]
A -->|大小 >= 1500|> C[大型房屋]
B -->|收入 < 50|> D[非業主]
B -->|收入 >= 50|> E[業主]
C -->|收入 < 100|> F[非業主]
C -->|收入 >= 100|> G[業主]
在這個範例中，原始資料集被分割成兩個子集：小型房屋和大型房屋。然後，每個子集再次被分割，根據收入的值。最終，模型會預測每個房屋的類別。
圖表翻譯：
這個圖表展示了分類別樹演算法的運作原理。每個節點代表一個分割決策，左右子節點代表兩個子集。根節點代表原始資料集，每個葉節點代表一個純淨的子集。這個模型可以用來預測房屋的類別，根據房屋的大小和收入。
內容解密：
這個範例展示瞭如何使用分類別樹演算法來構建一個模型，根據房屋的大小和收入預測房屋的類別。模型會不斷地分割資料，直到所有子集都達到足夠高的純淨度。最終，模型會預測每個房屋的類別。這個過程可以用來瞭解資料的結構和模式，並且可以用來做出預測和決策。
從技術架構視角來看，決策樹，尤其分類別樹和迴歸樹，為資料分析提供了強大的非線性建模能力。本文深入探討了基尼不純度和熵等核心概念，並佐以騎乘式割草機所有權與收入關係的案例，清晰地闡述瞭如何利用決策樹進行資料分割與純度評估。技術堆疊方面，Mermaid 流程圖和 Python scikit-learn 程式碼片段的運用，更進一步提升了理解和實作的便利性。然而，決策樹也存在過擬合的風險，尤其在資料集較小或特徵維度較高的情況下。對於高維資料，特徵選擇和降維技術的整合至關重要。展望未來，整合剪枝策略、整合學習方法（如隨機森林和梯度提升樹），以及探索更最佳化的分裂準則，將是提升決策樹模型穩健性和預測效能的關鍵方向。玄貓認為，熟練掌握決策樹的原理和應用技巧，將有助於資料科學家和分析師更好地洞察資料背後的規律，並做出更精準的預測和決策。
