變分自編碼器（VAE）是一種生成式深度學習模型，它結合了自編碼器的架構和變分推斷的技術。VAE 的核心概念在於學習資料的潛在表現形式，並根據此生成新的資料。不同於傳統的自編碼器，VAE 強制潛在空間服從特定的分佈（通常是高斯分佈），這使得 VAE 具有更強的生成能力。VAE 的訓練過程涉及最小化重構損失和 KL 散度，以平衡資料的重構精確度和潛在空間的規範性。理解 VAE 的關鍵在於掌握其編碼器、解碼器、損失函式以及重引數化技巧等核心組成部分。
1. 基本原理
變分自編碼器（VAE）是一種深度學習模型，結合了自編碼器（AutoEncoder）和變分推斷（Variational Inference）的優點。它能夠學習高維度資料的連續潛在表現，並且能夠根據這些潛在變數生成新的資料。
2. 架構概述
一個典型的VAE模型由兩部分組成：編碼器（Encoder）和解碼器（Decoder）。編碼器負責將輸入資料對映到一個高維度的潛在空間，然後根據這個潛在空間生成新的資料。解碼器則負責將潛在空間中的點映射回原始資料空間。
3. 編碼器和解碼器
在VAE中，編碼器和解碼器都是神經網路，它們分別對應於兩個重要的函式：均值（Mean）和對數方差（Log Variance）。這兩個函式共同定義了一個多維高斯分佈（Multivariate Gaussian Distribution），用於描述潛在空間中的點。
4. 標準差計算
給定對數方差（Log Variance），我們可以計算標準差（Standard Deviation），它是方差的平方根。標準差反映了高斯分佈的離散程度。
5. 樣本生成
樣本生成是VAE的一個關鍵步驟。透過對標準高斯分佈進行取樣，然後根據均值和標準差進行轉換和縮放，就可以生成新的樣本。
6. 解碼器
解碼器負責將潛在空間中的點映射回原始資料空間。這個過程實際上是對生成的樣本進行復原，以便得到原始資料的近似值。
7. 傳回值
VAE傳回兩個重要的值：重構後的影像和用於計算分佈損失的均值和對數方差。這些值對於模型的訓練和最佳化非常重要。
8. 重引數化技巧
重引數化技巧是一種用於VAE的重要技巧。它允許我們透過對標準高斯分佈進行取樣，然後根據均值和標準差進行轉換，從而生成新的樣本。這種技巧使得VAE能夠學習連續的潛在表現。
9. 統計概念
瞭解VAE需要一些基本的統計概念，包括多維高斯分佈、均值、方差、標準差等。這些概念是VAE工作原理的基礎。
10. 應用和未來發展
VAE有許多重要的應用，包括影像生成、文字生成、異常檢測等。未來，VAE可能會在更多領域得到應用，並且會有更多的變體和改進。
內容解密：
上述內容簡要介紹了變分自編碼器（VAE）的基本原理、架構、編碼器和解碼器、標準差計算、樣本生成、解碼器、傳回值、重引數化技巧、統計概念以及應用和未來發展。VAE是一種強大的工具，能夠學習高維度資料的連續潛在表現，並且能夠根據這些潛在變數生成新的資料。
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
class VAE(nn.Module):
def __init__(self, latent_dims):
super(VAE, self).__init__()
self.encoder = nn.Sequential(
nn.Linear(784, 256),
nn.ReLU(),
nn.Linear(256, latent_dims * 2)
)
self.decoder = nn.Sequential(
nn.Linear(latent_dims, 256),
nn.ReLU(),
nn.Linear(256, 784),
nn.Sigmoid()
)
self.latent_dims = latent_dims
def encode(self, x):
z = self.encoder(x)
mu, log_var = z.chunk(2, dim=1)
return mu, log_var
def reparameterize(self, mu, log_var):
std = torch.exp(0.5 * log_var)
eps = torch.randn_like(std)
z = mu + eps * std
return z
def decode(self, z):
return self.decoder(z)
def forward(self, x):
mu, log_var = self.encode(x)
z = self.reparameterize(mu, log_var)
reconstructed = self.decode(z)
return reconstructed, mu, log_var
圖表翻譯：
下面的Mermaid圖表展示了VAE的基本架構：
graph LR
A[輸入資料] -->|編碼|> B[潛在空間]
B -->|解碼|> C[重構後的影像]
B -->|計算損失|> D[均值和對數方差]
D -->|計算分佈損失|> E[最終損失]
這個圖表展示了VAE從輸入資料到重構後的影像的過程，以及計算損失和最終損失的過程。
瞭解變分自編碼器（VAE）中的高斯分佈
在變分自編碼器（VAE）中，高斯分佈扮演著重要的角色。高斯分佈是一種連續機率分佈，描述了資料在給定平均值和方差下的分佈情況。在VAE中，我們使用高斯分佈來描述潛在空間中的資料分佈。
高斯分佈的引數
高斯分佈由兩個引數決定：平均值（μ）和方差（σ^2）。在VAE中，我們通常假設潛在空間中的資料服從多維高斯分佈，也就是說，每個維度都是獨立的，並且具有相同的方差。
Reparameterization Trick
Reparameterization Trick是一種用於VAE中的技術，允許我們將高斯分佈的引數轉換為標準高斯分佈的引數。這樣做的好處是，我們可以使用標準高斯分佈的性質來簡化計算，並且可以使用反向傳播演算法來訓練模型。
具體來說，Reparameterization Trick涉及到以下步驟：
- 標準化：我們將高斯分佈的平均值和方差轉換為標準高斯分佈的引數。
- 樣本生成：我們從標準高斯分佈中生成樣本。
- 轉換：我們將樣本轉換回原始高斯分佈的引數。
KL 散度
KL 散度（Kullback-Leibler 散度）是一種用於衡量兩個機率分佈之間差異的指標。在VAE中，我們使用KL 散度來衡量潛在空間中的資料分佈與標準高斯分佈之間的差異。
KL 散度的計算公式為：
D_{KL}(N(μ, σ^2) || N(0, 1)) = -\frac{1}{2} \sum (1 + \log \sigma^2 - \mu^2 - \sigma^2)
VAE 的損失函式
VAE 的損失函式由兩部分組成：重構損失和KL 散度損失。重構損失衡量了重構影像與原始影像之間的差異，而KL 散度損失衡量了潛在空間中的資料分佈與標準高斯分佈之間的差異。
總的來說，VAE 的損失函式可以寫成：
L = 重構損失 + KL 散度損失
其中，重構損失可以使用均方誤差或交叉熵等指標來衡量，而KL 散度損失可以使用上述公式來計算。
變分自編碼器（VAE）損失函式與模型訓練
變分自編碼器（VAE）是一種深度學習模型，結合了自編碼器和變分推斷的優點。要訓練一個VAE模型，需要定義一個損失函式，該函式既能夠衡量重構誤差，也能夠衡量模型對輸入資料的機率分佈的近似程度。
損失函式
VAE的損失函式由兩部分組成：重構損失和KL散度項。重構損失衡量了模型重構輸入資料的能力，而KL散度項則衡量了模型學習到的潛在變數分佈與標準正態分佈之間的差異。
def vae_loss(batch, reconstructed, mu, logvar):
"""
VAE損失函式，計算重構損失和KL散度項。
Parameters:
batch (Tensor): 輸入批次資料。
reconstructed (Tensor): 重構後的資料。
mu (Tensor): 潛在變數的均值。
logvar (Tensor): 潛在變數的對數方差。
Returns:
loss (Tensor): 總損失。
reconstruction_loss (Tensor): 重構損失。
kl_loss (Tensor): KL散度項。
"""
bs = batch.shape[0]
# 重構損失
reconstruction_loss = F.mse_loss(
reconstructed.reshape(bs, -1),
batch.reshape(bs, -1),
reduction="none",
).sum(dim=-1)
# KL散度項
kl_loss = -0.5 * torch.sum(1 + logvar - mu.pow(2) - logvar.exp(), dim=-1)
# 總損失
loss = (reconstruction_loss + kl_loss).mean(dim=0)
return loss, reconstruction_loss, kl_loss
模型訓練
定義好損失函式後，就可以開始訓練VAE模型了。訓練過程中，需要使用最佳化演算法（如AdamW）更新模型引數，以最小化總損失。
def train_vae(model, num_epochs=10, lr=1e-4):
"""
訓練VAE模型。
Parameters:
model (nn.Module): VAE模型。
num_epochs (int): 訓練epoch數目。
lr (float): 學習率。
Returns:
None
"""
model = model.to(device)
losses = {
"loss": [],
"reconstruction_loss": [],
"kl_loss": [],
}
model.train()
optimizer = torch.optim.AdamW(model.parameters(), lr=lr, eps=1e-5)
for _ in (progress := trange(num_epochs, desc="Training")):
for _, batch in (inner := tqdm(enumerate(train_dataloader), total=len(train_dataloader))):
# 前向傳播
reconstructed, mu, logvar = model(batch)
# 計算損失
loss, reconstruction_loss, kl_loss = vae_loss(batch, reconstructed, mu, logvar)
# 後向傳播
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()
# 紀錄損失
losses["loss"].append(loss.item())
losses["reconstruction_loss"].append(reconstruction_loss.mean().item())
losses["kl_loss"].append(kl_loss.mean().item())
內容解密：
在這段程式碼中，我們可以看到訓練VAE（Variational Autoencoder）模型的過程。首先，批次資料被轉移到裝置（device）上。然後，批次資料透過模型，輸出重構資料、均值（mu）和對數變異數（logvar）。
接下來，計算損失函式，包括重構損失、KL散度損失和總損失。重構損失衡量原始資料和重構資料之間的差異，KL散度損失則衡量latent space的分佈與標準正態分佈之間的差異。
然後，更新模型引數以最小化總損失。這個過程包括將梯度清零、計算損失的反向傳播、以及使用最佳化器更新模型引數。
最後，儲存損失值以便於繪製訓練過程中的損失曲線。
圖表翻譯：
graph LR
A[批次資料] -->|轉移到裝置|> B[裝置]
B -->|透過模型|> C[重構資料、均值、對數變異數]
C -->|計算損失|> D[重構損失、KL散度損失、總損失]
D -->|更新模型引數|> E[模型引數]
E -->|儲存損失值|> F[損失曲線]
這個圖表展示了訓練VAE模型的過程，從批次資料轉移到裝置，到透過模型、計算損失、更新模型引數，最終儲存損失值以便於分析訓練過程。
變分自編碼器的損失函式和訓練過程
變分自編碼器（VAE）是一種深度學習模型，旨在學習高維度資料的連續潛在表現。它的損失函式由兩部分組成：重構損失和KL散度損失。
重構損失
重構損失衡量輸出影像與原始影像之間的相似度。它通常使用二元交叉熵損失或均方差損失來計算。
KL 散度損失
KL 散度損失衡量特徵是否遵循高斯分佈。它確保編碼器輸出的均值和方差接近標準高斯分佈。
總損失
總損失是重構損失和KL 散度損失的總和。它控制著模型的訓練過程，確保模型既能夠重構原始影像，又能夠學習到有用的潛在表現。
訓練過程
在訓練過程中，VAE 的總損失由重構損失和KL 散度損失組成。重構損失驅動模型學習如何重構原始影像，而KL 散度損失驅動模型學習如何產生接近標準高斯分佈的特徵。
KL 散度損失的演變
KL 散度損失在訓練過程中會經歷幾個階段：
- 初始化階段：在訓練開始時，模型的權重是隨機初始化的，輸出接近隨機分佈，KL 散度損失很低。
- 早期階段：當模型看到少量資料時，重構結果會很差，但不再是隨機的，KL 散度損失會增加。
- 中期階段：當模型學習到平均特徵時，KL 散度損失會下降，因為模型嘗試產生接近標準高斯分佈的特徵。
- 後期階段：當模型學習到更忠實的重構時，KL 散度損失會增加，因為模型需要平衡重構品質和特徵的高斯性。
視覺化結果
透過視覺化VAE 的重構結果，可以看到模型的效能不如自編碼器（AE），因為VAE 不僅需要學習如何重構影像，還需要學習如何產生接近標準高斯分佈的特徵。
均值和標準差
透過繪製VAE 編碼器輸出的均值和標準差，可以看到結果比AE的情況更好，均值更接近零，標準差更小。
生成對抗網路與變分自編碼器的潛在空間視覺化
在深度學習中，瞭解模型的潛在空間（latent space）對於理解其工作原理和生成能力至關重要。變分自編碼器（VAE）是一種特殊的自編碼器，它假設潛在空間服從標準正態分佈。這使得我們可以輕易地從這個分佈中取樣，生成新的資料。
從標準正態分佈中取樣
首先，我們需要從標準正態分佈中取樣一組隨機向量。這些向量將作為VAE的解碼器的輸入，以生成新的影像。
import torch
import numpy as np
# 定義取樣數量和潛在空間維度
sample_num = 10
latent_dim = 2
# 從標準正態分佈中取樣
z = torch.normal(0, 1, size=(sample_num, latent_dim))
使用VAE生成影像
接下來，我們使用VAE的解碼器將取樣的潛在向量轉換為影像。
# 將取樣的潛在向量傳入VAE的解碼器
vae_decoded = vae_model.decode(z.to(device))
顯示生成的影像
最後，我們顯示出由VAE生成的影像。
# 顯示生成的影像
show_images(vae_decoded.cpu(), imsize=1, nrows=1)
探索潛在空間
除了生成隨機影像外，我們還可以透過固定某一維度的值並變化另一維度的值來探索VAE的潛在空間。例如，固定x維度為-0.8，並變化y維度從-2到2。
# 定義x維度的固定值和y維度的變化範圍
x_fixed = -0.8
y_range = np.linspace(-2, 2, 10)
# 生成對應的潛在向量
latent_vectors = torch.tensor([[x_fixed, y] for y in y_range])
# 將潛在向量傳入VAE的解碼器
decoded_images = vae_model.decode(latent_vectors.to(device))
# 顯示生成的影像
show_images(decoded_images.cpu(), imsize=1, nrows=1)
這種方法可以幫助我們更好地理解VAE的潛在空間結構以及它如何對映到原始資料空間。
探索VAE的潛在空間
在前面的章節中，我們已經瞭解了變分自編碼器（VAE）的基本概念和工作原理。現在，我們將更深入地探索VAE的潛在空間，並瞭解如何使用它來生成新的影像。
首先，我們可以使用以下程式碼來生成一個2D的潛在空間網格：
inputs = []
for x in np.linspace(-2, 2, 20):
for y in np.linspace(-2, 2, 20):
inputs.append([x, y])
z = torch.tensor(inputs, dtype=torch.float32).to(device)
decoded = vae_model.to(device).decode(z)
show_images(decoded.cpu(), imsize=0.4, nrows=20)
這段程式碼會生成一個20x20的網格，每個點代表一個潛在空間中的位置。然後，我們使用VAE的解碼器來生成對應的影像。
練習題
- 當我們訓練VAE時，我們增加了重構損失和KL散度損失。但是，這兩個損失函式具有不同的尺度。如果我們給予其中一個損失函式更大的重要性，會發生什麼？你可以進行一些實驗並解釋結果。
- 我們在這個章節中探索的VAE使用只有兩個維度來代表分佈的均值和對數變異數。你可以重複一個類別似的探索，使用16個維度？
- 人類被訓練成可以輕易地識別出不真實的面部特徵。你可以訓練一個自編碼器和一個VAE，使用一個包含面部影像的資料集，並分析結果？你可以從Frey Face資料集開始，這是一個同一人不同面部表情的單色影像資料集。如果你想更有野心，你可以嘗試使用CelebFaces Attributes資料集或Oxford pets資料集。
VAE的生成模型
訓練一個編碼器，使其接近一個分佈，是VAE的一個關鍵洞察，也是生成模型的一個基本。使用自編碼器，我們可以學習到資料集的有效表示，但是沒有保證潛在空間是連續的。VAE允許我們生成新的影像，只需從潛在空間中的隨機點開始。diffusion模型 將這個想法進一步發展，透過對隨機噪聲進行迭代精煉。我們將在未來的章節中詳細討論它們。
圖表翻譯：
graph LR
A[VAE] --> B[潛在空間]
B --> C[生成影像]
C --> D[diffusion模型]
D --> E[迭代精煉]
這個圖表展示了VAE、潛在空間、生成影像和_diffusion模型_ 之間的關係。VAE將輸入資料對映到潛在空間，然後生成影像。diffusion模型 進一步發展了這個想法，透過對隨機噪聲進行迭代精煉。
CLIP：一種新的影像和文字匹配技術
在前面的章節中，我們主要關注影像資料。現在，我們將探討一種新的技術，稱為對比語言影像預訓練（Contrastive Language-Image Pre-training，CLIP），它可以將影像和文字進行匹配。這種方法與前面的AutoEncoder/VAE方法不同，它可以同時處理影像和文字資料。
CLIP的目的是建立一個模型，可以衡量任意一對影像和文字之間的相關性。這個模型的輸入資料包括影像和描述影像的文字標題。CLIP使用了一種稱為對比損失（Contrastive Loss）的損失函式來實作這個目標。
對比損失
CLIP使用對比損失函式來訓練模型。這個函式的工作原理是計算影像和文字之間的內積（或稱為點積），以確定它們之間的相似度。訓練資料集包括數百萬張影像及其對應的文字標題。對於每一對影像和文字標題，CLIP都會將影像編碼為一個潛在空間中的向量，並使用一個轉換器模型（如第2章中所見）將文字編碼為另一個向量。這兩個向量的維度必須相同，以便計算它們之間的內積。
訓練過程中，CLIP會計算批次中所有影像嵌入和文字嵌入之間的內積，並嘗試最大化原始配對之間的內積（即影像和文字標題之間的內積），同時最小化其他內積。這樣，相似的影像和文字將被表示為相近的向量，而不同的概念將被表示為遠離的向量。
為什麼使用內積？
內積是一種用於計算兩個向量之間相似度的方法。如果你不記得或沒有學過微積分，內積有一個重要的性質：
A · B = |A| |B| cos θ
這意味著兩個向量之間的內積等於它們長度的乘積再乘以它們之間的夾角的餘弦。這可以使用歐幾裡得幾何學中的餘弦定律和內積的定義來證明。
CLIP的優點
CLIP是一種強大的工具，可以用於生成影像和文字之間的匹配。它可以用於各種應用，例如影像生成、文字生成和多模態學習。CLIP的優點在於它可以同時處理影像和文字資料，並且可以學習到影像和文字之間的複雜關係。
內容解密：
上述內容介紹了CLIP的基本原理和工作流程。CLIP使用對比損失函式來訓練模型，計算影像和文字之間的內積，以確定它們之間的相似度。這種方法可以用於生成影像和文字之間的匹配，並且可以學習到影像和文字之間的複雜關係。
flowchart TD
A[影像] --> B[編碼]
B --> C[內積]
C --> D[計算相似度]
D --> E[匹配]
圖表翻譯：
上述Mermaid圖表展示了CLIP的工作流程。圖表中，A代表影像，B代表編碼，C代表內積，D代表計算相似度，E代表匹配。這個流程展示了CLIP如何計算影像和文字之間的相似度，以實作匹配。
影像嵌入與CLIP模型
CLIP（Contrastive Language-Image Pre-training）是一種多模態模型，能夠將影像和文字對映到同一嵌入空間中，使得影像和文字之間可以進行語義相似度計算。這種模型的訓練需要大量的資料和計算資源。
CLIP模型的工作原理
CLIP模型由兩部分組成：視覺模型（Vision Model）和文字模型（Text Model）。視覺模型負責將影像轉換為嵌入向量，而文字模型則負責將文字轉換為嵌入向量。這兩個模型共同學習一個共同的嵌入空間，使得影像和文字之間可以進行語義相似度計算。
從技術架構視角來看，變分自編碼器（VAE）巧妙地結合了深度學習和貝氏統計的思想。透過編碼器和解碼器架構，VAE不僅能有效壓縮高維資料至低維潛在空間，更重要的是，它賦予了模型從學習到的資料分佈中生成新資料的能力。然而，VAE的訓練過程並非一帆風順，需要仔細調整重構損失和KL散度損失之間的平衡，以避免模型過於關注資料重建而犧牲了潛在空間的連續性和生成多樣性。展望未來，VAE與其他生成模型（如Diffusion模型）的融合將進一步提升其生成能力，並在影像生成、藥物研發等領域釋放更大的應用潛力。玄貓認為，深入理解VAE的數學原理和訓練技巧，將有助於開發者更好地駕馭這個強大的生成模型，並在實際應用中取得突破性成果。
