糖果分配與棋盤格安全分析演算法

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糖果分配問題的核心在於模擬糖果在兒童之間的傳遞過程，直到達到穩定狀態，即沒有兒童可以繼續傳遞糖果。演算法採用遞迴方式，逐次更新糖果分配狀態，直到滿足穩定狀態條件。非洲奧瓦雷遊戲則涉及播種和捕捉棋子的規則，演算法需模擬這些操作並更新棋盤狀態。在棋盤格安全分析中，需要根據車和象的移動規則，判斷其威脅範圍，並計算安全格數。騎士跳躍問題則需要分析騎士的移動向量與起始位置和終點位置之間的關係，判斷騎士是否能到達終點。

糖果分配穩定狀態分析與實作

問題描述

一群兒童圍坐在一張圓桌旁，每人面前都有一份糖果。當老師搖鈴時，每個擁有至少兩顆糖果的兒童必須將一顆糖果傳給左邊的兒童和右邊的兒童。擁有零顆或一顆糖果的兒童不需要進行任何操作。本章節將探討如何判斷糖果分配何時達到穩定狀態，即沒有兒童能夠再將糖果傳遞給鄰座。

演算法設計

本演算法遞迴地對輸入的 candies 列表套用一組規則，直到達到穩定狀態，即沒有兒童擁有超過一顆糖果。在每次迭代中，演算法會識別出擁有超過兩顆糖果的兒童，並將一顆糖果轉移給其左右鄰座。這個過程不斷重複，直到所有兒童都最多隻有一顆糖果，此時演算法終止並傳回達到穩定狀態所需的步數。

實作細節

def candy_share(candies, states=0):
    '''
    candies: 代表每個兒童擁有糖果數量的整數列表
    states: 可選引數，代表程式達到穩定狀態所需的步數（預設為0）
    '''
    # 檢查是否達到穩定狀態
    if max(candies) <= 1:
        return states
    
    # 建立新的列表以儲存糖果分配的變化
    new_candies = candies[:]
    
    # 遍歷每個兒童
    for i in range(len(candies)):
        # 如果兒童擁有超過一顆糖果，則進行分配
        if candies[i] > 1:
            # 將糖果分配給左右鄰座
            new_candies[(i - 1) % len(candies)] += 1
            new_candies[(i + 1) % len(candies)] += 1
            # 更新當前兒童的糖果數量
            new_candies[i] -= 2
    
    # 遞迴呼叫以檢查下一個狀態
    return candy_share(new_candies, states + 1)

內容解密：

  1. candy_share函式：接受兩個引數，candies列表代表每個兒童初始的糖果數量，states用於追蹤達到穩定狀態所需的步數，預設為0。
  2. 穩定狀態檢查：如果candies列表中的最大值小於或等於1，表示已達到穩定狀態，直接傳回states。
  3. 糖果分配邏輯：遍歷candies列表，對於擁有超過一顆糖果的兒童，將一顆糖果傳給左右鄰座，並更新其自身的糖果數量。使用模運算 %確保環形分配的正確性。
  4. 遞迴呼叫：在更新candies列表後，以新的糖果分配狀態和步數加一遞迴呼叫candy_share函式，直到達到穩定狀態。

使用範例

假設初始糖果分配為 [0, 4, 0, 0, 0, 3, 0, 1, 0, 0]，呼叫 candy_share([0, 4, 0, 0, 0, 3, 0, 1, 0, 0]) 將傳回 4，表示需要4步達到穩定狀態。

糖果分享問題的穩定狀態分析與程式實作

糖果分享問題是一種典型的遞迴演算法應用場景，其核心在於模擬多個孩子之間分享糖果的過程，直到達到穩定狀態。本文將探討該問題的演算法原理、實作細節以及相關的程式碼解析。

糖果分享問題的演算法原理

糖果分享問題的基本規則是：每個擁有至少兩顆糖果的孩子會將其中兩顆糖果分別送給左右鄰居。這個過程持續進行，直到所有孩子都擁有不超過一顆糖果。

  1. 檢查基礎情況：如果所有孩子都擁有不超過一顆糖果（即糖果數量為0或1），則達到穩定狀態，傳回當前狀態數。
  2. 建立當前狀態的副本：為了避免修改原始資料，建立當前糖果分配狀態的副本。
  3. 遍歷每個孩子：檢查每個孩子是否擁有至少兩顆糖果。如果是，則執行糖果分享操作。
  4. 遞迴呼叫：更新糖果分配狀態後，遞迴呼叫函式以繼續模擬下一個狀態。
  5. 傳回最終狀態數：當達到穩定狀態時，傳回累計的狀態數。

糖果分享問題的 Python 實作

def candy_share(candies, states=0):
    '''
    傳回達到穩定狀態的狀態數。
    '''
    # 基礎情況：所有孩子都擁有不超過一顆糖果
    if candies.count(0) + candies.count(1) == len(candies):
        return states
    
    # 建立當前狀態的副本
    previous_state = candies.copy()
    
    # 對每個孩子執行糖果分享操作
    for i in range(len(candies)):
        if previous_state[i] >= 2:
            # 移除孩子的糖果並分配給鄰居
            candies[i] -= 2
            candies[(i - 1) % len(candies)] += 1
            candies[(i + 1) % len(candies)] += 1
    
    # 遞迴呼叫以繼續模擬下一個狀態
    return candy_share(candies, states + 1)

程式碼解析：

  • candy_share 函式：接受兩個引數，candies 表示當前糖果分配狀態，states 表示當前狀態數（預設為0）。
  • 基礎情況判斷：檢查是否所有孩子都擁有不超過一顆糖果，如果是則傳回當前狀態數 states。
  • 狀態更新：遍歷每個孩子，如果某個孩子擁有至少兩顆糖果，則將其中兩顆糖果分配給左右鄰居，並遞迴呼叫 candy_share 以模擬下一個狀態。
  • 遞迴呼叫：每次更新狀態後，states 加1，並遞迴呼叫 candy_share 直到達到穩定狀態。

非洲奧瓦雷遊戲（Oware Game）的演算法與實作

非洲奧瓦雷遊戲是一種策略型棋盤遊戲，玩家透過播種和捕捉棋子來進行遊戲。本文將介紹該遊戲的演算法原理及 Python 實作。

演算法原理：

  1. 初始化：根據輸入的棋盤狀態和選擇的操作房屋，決定要播種的棋子數量。
  2. 播種過程：從選定房屋的下一個位置開始，將棋子逐一分配到後續的房屋中，跳過起始房屋。
  3. 捕捉棋子：在播種過程中，如果某個對手的房屋中棋子數量變為2或3，則捕捉這些棋子並清空該房屋。

Oware Game 的 Python 實作

def oware_game(board, house):
    # 計算棋盤最後一個索引
    last_index = len(board) - 1
    
    # 取得選定房屋中的棋子數量
    seeds_to_sow = board[house]
    
    # 設定當前索引為選定房屋的下一個位置
    current_index = house + 1
    
    # 清空選定房屋中的棋子
    board[house] = 0
    
    # 進行播種
    while seeds_to_sow > 0:
        if current_index > last_index:
            current_index = 0
        
        # 跳過起始房屋
        if current_index == house:
            current_index += 1
        
        # 在當前房屋中新增一顆棋子
        board[current_index] += 1
        
        # 減少待播種的棋子數量
        seeds_to_sow -= 1
        
        # 移動到下一個房屋
        current_index += 1
    
    # 從最後接收棋子的房屋開始向對手的儲存房屋反向檢查，捕捉符合條件的棋子
    while current_index > house:
        current_index -= 1
        if board[current_index] in [2, 3]:
            board[current_index] = 0
    
    return board

程式碼解析：

  • oware_game 函式：接受兩個引數，board 表示當前棋盤狀態，house 表示選擇的操作房屋索引。
  • 播種過程：根據選定房屋中的棋子數量，從下一個房屋開始逐一分配棋子，並跳過起始房屋。
  • 捕捉棋子：在播種完成後，從最後接收棋子的房屋開始反向檢查，如果某個房屋中的棋子數量為2或3，則清空該房屋以捕捉棋子。
  • 傳回更新後的棋盤狀態：最終傳回經過播種和捕捉操作後的棋盤狀態 board。

安全棋盤格數分析：車與象的安全威脅評估

在棋盤遊戲中，不同的棋子具有不同的移動規則與威脅範圍。本章節將探討兩種常見的棋子：車（Rook）與象（Bishop），並分析如何在給定的棋盤上計算不受這些棋子威脅的安全格數。

車的安全威脅分析

車是國際象棋中的一種重要棋子，能夠橫向或縱向移動，威脅整行或整列的格子。給定一個 $n \times n$ 的棋盤和若干個車的位置，如何計算未被威脅的安全格數？

演算法解析

  1. 收集受威脅的行與列：遍歷所有車的位置，將其所在的行與列標記為受威脅區域。
  2. 移除重複的行與列：使用集合（Set）資料結構，自動移除重複的行號與列號，以準確計算受威脅的行列數量。
  3. 計算安全格數：根據未受威脅的行數與列數，計算安全格數。公式為：$(n - \text{受威脅行數}) \times (n - \text{受威脅列數})$。

程式碼實作

def safe_squares_rooks(n, rooks):
    """
    計算在 n x n 棋盤上，未被車威脅的安全格數。
    
    :param n: 棋盤大小
    :param rooks: 車的位置列表，[(row1, col1), (row2, col2), ...]
    :return: 安全格數
    """
    unsafe_rows = set()
    unsafe_cols = set()
    
    # 收集受威脅的行與列
    for row, col in rooks:
        unsafe_rows.add(row)
        unsafe_cols.add(col)
    
    # 計算未受威脅的行數與列數
    safe_rows = n - len(unsafe_rows)
    safe_cols = n - len(unsafe_cols)
    
    # 計算安全格數
    safe_squares = safe_rows * safe_cols
    
    return safe_squares

內容解密：

  1. unsafe_rows 與 unsafe_cols 集合：用於儲存受威脅的行號與列號，自動去除重複值。
  2. safe_rows 與 safe_cols 計算：根據 $n$ 減去受威脅的行數或列數，得到未受威脅的行數與列數。
  3. safe_squares 計算：將未受威脅的行數與列數相乘，得到總安全格數。

象的安全威脅分析

象只能沿對角線移動，因此其威脅範圍是特定的對角線格子。給定象的位置，如何計算未受威脅的安全格數？

演算法解析

  1. 對角線標記：將每個象的位置對映到其所在的兩條對角線，並標記這些對角線上的格子為受威脅。
  2. 遍歷棋盤格子：檢查每個格子是否在受威脅的對角線上，若否，則計為安全格。

程式碼實作

def safe_squares_bishops(n, bishops):
    """
    計算在 n x n 棋盤上，未被象威脅的安全格數。
    
    :param n: 棋盤大小
    :param bishops: 象的位置列表，[(row1, col1), (row2, col2), ...]
    :return: 安全格數
    """
    diagonal1 = set()  # 對角線1（row + col）
    diagonal2 = set()  # 對角線2（row - col）
    
    # 標記受威脅的對角線
    for row, col in bishops:
        diagonal1.add(row + col)
        diagonal2.add(row - col)
    
    safe_squares = 0
    # 遍歷所有格子，計算安全格數
    for row in range(n):
        for col in range(n):
            if (row + col) not in diagonal1 and (row - col) not in diagonal2:
                safe_squares += 1
    
    return safe_squares

內容解密：

  1. diagonal1 與 diagonal2 集合：分別儲存兩種不同方向的對角線標識（row + col 與 row - col）。
  2. 雙重迴圈遍歷：檢查每個格子的對角線是否受威脅，若均未受威脅，則計入安全格數。
  3. 條件判斷：只有當格子的兩條對角線均未被標記時，才會計為安全格。

6.10 判斷騎士跳躍的可達性

在多維度棋盤上，騎士（Knight）是一種特殊的棋子，可以在多個維度上移動。給定騎士的移動規則、起始坐標和終點坐標，本文的目標是判斷騎士是否能夠從起始位置到達終點位置。

問題描述

騎士在 k 維度棋盤上的移動方式是：在每個維度上移動特定的步數。給定騎士的初始位置和終點位置的坐標，判斷騎士是否能夠到達終點。

解決方案

  1. 計算騎士的移動向量與起始位置和終點位置之間的絕對差值。
  2. 將這些差值排序並與騎士的移動向量進行比較。
  3. 如果排序後的差值列表包含騎士的所有移動向量元素，則騎士可以到達終點。

Python 實作程式碼

def bubble_sort(arr):
    '''
    對輸入陣列進行泡沫排序並傳回排序後的陣列
    '''
    n = len(arr)
    for i in range(n - 1):
        for j in range(0, n - i - 1):
            if arr[j] < arr[j + 1]:
                # 交換兩個元素
                arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]
    return arr

def reaching_knight_jump(knight, start, end):
    '''
    判斷騎士是否能夠從起始位置到達終點位置
    '''
    # 初始化一個列表來存放起始位置和終點位置之間的差異
    list_numbers = []
    
    # 計算起始位置和終點位置在每個維度上的絕對差值
    for i in range(len(start)):
        list_numbers.append(abs(start[i] - end[i]))
    
    # 對差值列表進行降序排序
    list_numbers = bubble_sort(list_numbers)
    
    # 檢查騎士的每個移動向量是否包含在排序後的差值列表中
    for num in knight:
        if num not in list_numbers:
            return False
    
    # 如果騎士的所有移動向量都在差值列表中，則傳回 True
    return True

程式碼解析

  1. bubble_sort 函式：對輸入的陣列進行泡沫排序，並傳回排序後的陣列。這個函式用於對騎士移動向量與起始、終點位置之間的差值進行排序。

  2. reaching_knight_jump 函式：判斷騎士是否能夠從 start 到達 end。

    • 首先，計算 start 和 end 在每個維度上的絕對差值，並將這些差值存入 list_numbers。
    • 然後，使用 bubble_sort 對 list_numbers 進行降序排序。
    • 接著，檢查 knight 中的每個元素是否出現在 list_numbers 中。如果有任何一個元素未出現，則傳回 False，表示騎士無法到達終點。
    • 如果 knight 中的所有元素都出現在 list_numbers 中，則傳回 True，表示騎士可以到達終點。

範例驗證

print(reaching_knight_jump((2,1,7), (3,5,9), (8,11,13)))  # False
print(reaching_knight_jump((3,4,2), (3,5,9), (1,7,9)))  # False
print(reaching_knight_jump((2, 1), (12, 10),(11, 12)))  # True
print(reaching_knight_jump((10, 5, 1), (20, 11, 16), (10, 12, 11)))  # True
玄貓 BlackCat

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技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。