精密儀器系統濾波技術詳解與應用

精密儀器系統中，濾波器扮演著提升量測穩定性與演算法可靠性的關鍵角色。尤其在壓力、重量、溫濕度等感測應用中，外部幹擾與系統雜訊常造成資料波動。本文將系統性地介紹各種濾波技術，包含移動平均濾波、指數平滑濾波、數位 FIR/IIR 濾波器以及卡爾曼濾波器，並闡述其數學原理、實作步驟與應用場景。同時，針對 MCU 資源有限的環境，提供固定點數學和簡化濾波器等實務技巧。最後，探討多階濾波架構的設計策略，例如移動平均搭配指數平滑、FIR 預濾波結合卡爾曼濾波，以及根據訊號變異數動態調整濾波模式，以提升系統在不同情境下的適應性和效能。

高穩定性濾波技術詳解

在高階精密儀器系統中，濾波器不僅是抑制雜訊的工具，更是確保量測穩定性與演算法可靠性的核心模組。本章將系統化介紹各種濾波技術，包括移動平均、指數平滑、數位 FIR/IIR 濾波器、卡爾曼濾波器，並提供其數學推導、實作流程與應用場景比對。

濾波器在精密系統中的角色

濾波技術的目的是從原始訊號中移除不必要的高頻雜訊與隨機擾動，使系統輸出更具一致性與可預測性。特別在壓力、重量、溫濕度感測等應用中，由於外部震動、電源雜訊、操作誤差等影響，常導致資料出現跳動與不穩定。常見濾波需求包括：

抑制高頻抖動，提升重量量測穩定性
補償短期動態變化所帶來的資料錯誤
濾除 MCU 取樣時因時脈抖動產生的微幅誤差

移動平均（Moving Average Filter）

移動平均濾波器是一種簡單而有效的濾波技術，其定義為：

$$y[n] = \frac{x[n] + x[n-1] + … + x[n-(M-1)]}{M}$$

其中，$y[n]$ 是輸出訊號，$x[n]$ 是輸入訊號，$M$ 是移動平均的視窗大小。

移動平均濾波器的特性包括：

能夠有效地抑制高頻雜訊
可以平滑輸入訊號的波動
簡單易於實作

內容解密：

移動平均濾波器的工作原理是將輸入訊號的最近 $M$ 個樣本進行平均，以得到輸出訊號。這種方法可以有效地抑制高頻雜訊，因為高頻雜訊的能量通常集中在高頻範圍，而移動平均濾波器可以將其平均化。

def moving_average_filter(x, M):
    y = []
    for i in range(len(x)):
        if i < M:
            y.append(sum(x[:i+1]) / (i+1))
        else:
            y.append(sum(x[i-M+1:i+1]) / M)
    return y

圖表翻譯：

  flowchart TD
    A[輸入訊號] --> B[移動平均濾波器]
    B --> C[輸出訊號]
    C --> D[高頻雜訊抑制]
    D --> E[訊號平滑]

移動平均濾波器的應用場景包括：

資料平滑
雜訊抑制
訊號處理

在下一節中，我們將介紹指數平滑濾波器的原理和實作。

移動平均法的應用與比較

移動平均法是一種常用的資料處理技術，廣泛應用於訊號處理、資料分析等領域。以下是對不同種類的移動平均法的介紹和比較。

1. 簡單移動平均（Simple Moving Average, SMA）

簡單移動平均是一種基本的移動平均法，計算方法是將一定時間內的資料加總，然後除以時間間隔數。其特點是：

平滑簡單，適合去除隨機雜訊
延遲固定為 (M-1)/2 個週期
不適合快速變化資料（會造成訊號滯後）

實作建議：使用環形緩衝區（Ring Buffer）與累加值移動視窗演算法，避免每次重新累加提升效能。

2. 指數加權移動平均（Exponential Moving Average, EMA）

指數加權移動平均是一種權重移動平均法，計算方法是將近期資料加權，並將遠期資料權重遞減。其特點是：

對近期資料反應快，對遠期資料權重遞減
相對無限長記憶，但能快速逼近穩定值
適合處理感測器啟動初期之跳動值

引數選擇建議：$α = 2 / (N+1)$，其中 N 為類似移動平均視窗長度。

3. 數位濾波器（FIR/IIR）

數位濾波器是另一種訊號處理技術，分為有限脈衝回應（FIR）和無限脈衝回應（IIR）兩種。

FIR（Finite Impulse Response）定義：y[n] = Σ b_k * x[n-k]，k = 0 to M-1
IIR（Infinite Impulse Response）定義：…

數位濾波器可以用於去除雜訊、提取訊號等應用。

比較與選擇

不同移動平均法有其優缺點，選擇適合的方法需要根據具體應用需求。簡單移動平均法適合平滑簡單的資料，指數加權移動平均法適合快速變化的資料。數位濾波器可以用於更複雜的訊號處理應用。

程式碼例項

以下是 Python 中實作簡單移動平均法和指數加權移動平均法的例子：

import numpy as np

def simple_moving_average(data, window_size):
    return np.convolve(data, np.ones(window_size) / window_size, mode='valid')

def exponential_moving_average(data, alpha):
    ema = []
    for i in range(len(data)):
        if i == 0:
            ema.append(data[i])
        else:
            ema.append(alpha * data[i] + (1 - alpha) * ema[i-1])
    return ema

# 測試資料
data = np.random.rand(100)

# 簡單移動平均
sma = simple_moving_average(data, 10)

# 指數加權移動平均
ema = exponential_moving_average(data, 0.2)

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(data)
plt.plot(sma)
plt.plot(ema)
plt.legend(['原始資料', '簡單移動平均', '指數加權移動平均'])
plt.show()

瞭解濾波器的差異和實作建議

在訊號處理中，濾波器是一種重要的工具，能夠幫助我們從訊號中提取有用的資訊或去除雜訊。其中，FIR（Finite Impulse Response）和IIR（Infinite Impulse Response）濾波器是兩種常見的濾波器型別。

FIR濾波器

FIR濾波器是一種穩定的濾波器，其輸出只與過去的輸入有關。它的優點是線性相位，意味著訊號的相位不會被改變。但是，FIR濾波器的運算量相對較大，這可能會限制其在實時系統中的應用。

IIR濾波器

IIR濾波器是一種高效率的濾波器，其輸出不僅與過去的輸入有關，也與過去的輸出有關。它的優點是運算量小，但需要注意其穩定性和回授放大。IIR濾波器的設計需要仔細考慮，以確保其穩定性和效能。

實作建議

在實作濾波器時，可以使用MATLAB或Python的scipy.signal函式庫來設計濾波器係數並佈署至微控制器（MCU）。這些工具可以幫助您快速設計和測試濾波器，然後將其佈署至實際系統中。

卡爾曼濾波器的基本公式和用途

卡爾曼濾波器是一種用於估計系統狀態的演算法，尤其是在有雜訊和不確定性的情況下。其基本公式如下：

x̂_k = x̂_{k-1} + K_k(z_k - Hx̂_{k-1})

其中，x̂_k是系統狀態的估計，K_k是卡爾曼增益，z_k是測量值，H是測量矩陣。

卡爾曼增益的計算公式如下：

K_k = P_{k|k-1}H^T / (HP_{k|k-1}H^T + R)

其中，P_{k|k-1}是預測誤差方差，R是測量雜訊方差。

預測更新的公式如下：

P_{k|k} = (I - K_kH)P_{k|k-1}

卡爾曼濾波器的用途包括：

處理感測與動作模型結合問題，例如重量和動作偵測
在雜訊和目標狀態間建立預測機制

實際應用

卡爾曼濾波器在許多領域中都有廣泛的應用，包括導航、控制系統、訊號處理等。其優點是能夠在有雜訊和不確定性的情況下提供準確的系統狀態估計。

MCU 實作注意事項

在實作 MCU 時，需要注意以下幾點：

使用固定點數學：為了節省資源，應該使用固定點數學（Oixed-point arithmetic）取代浮點數數學。
簡化版本：有一種簡化版本的濾波器稱為 alpha-beta 濾波器。

多階濾波架構與混合濾波器

在實際應用中，常結合多種濾波器建立混合濾波架構，例如：

移動平均 + 指數加權：這種結合可以消除尖峰和抖動。
FIR 預濾 + 卡爾曼精修：這種結合可以實作更好的濾波效果。
根據變異數選擇性切換濾波模式：這種方法可以根據變異數選擇不同的濾波模式（Adaptive Filtering）。

系統設計

在設計系統時，應該考慮以下幾點：

輸入訊號初期使用快速收斂濾波器：例如使用 EMA（指數加權移動平均）濾波器。
穩定後切換為低雜訊 FIR 或卡爾曼：當系統穩定後，可以切換為低雜訊的 FIR 或卡爾曼濾波器。
多感測器資料可分別濾波再融合：可以對多個感測器的資料進行分別濾波，然後再進行融合（Sensor Fusion）。

內容解密：

以上內容解釋了 MCU 實作注意事項、多階濾波架構與混合濾波器、系統設計建議等。這些內容對於設計和實作有效的濾波系統非常重要。

  flowchart TD
    A[輸入訊號] --> B[快速收斂濾波器]
    B --> C[穩定後切換]
    C --> D[低雜訊 FIR 或卡爾曼]
    D --> E[多感測器資料分別濾波]
    E --> F[融合]

圖表翻譯：

此圖表示了系統的濾波流程。輸入訊號首先經過快速收斂濾波器，然後在系統穩定後切換為低雜訊的 FIR 或卡爾曼濾波器。多個感測器的資料可以分別濾波，然後再進行融合。這個流程可以實作更好的濾波效果和系統的穩定性。

從底層實作到高階應用的全面檢視顯示，濾波技術對於高精確度系統的穩定性和可靠性至關重要。本文分析了移動平均、指數平滑、數位濾波器和卡爾曼濾波器等技術的原理、實作與應用場景，並深入探討了它們各自的優缺點。移動平均法簡潔易用，但回應速度較慢；指數平滑法對近期資料變化更敏感，適用於動態系統；數位濾波器功能強大，但設計複雜度較高；卡爾曼濾波器則在狀態估計和雜訊抑制方面表現出色，尤其適用於多感測器融合的場景。技術限制主要體現在引數調整的複雜性和計算資源的消耗上。實務落地時，建議根據系統特性和效能需求選擇合適的濾波方法，例如初始階段採用快速收斂的指數平滑，穩定後切換至低雜訊的FIR或卡爾曼濾波器。此外，多階濾波架構和混合濾波器策略也能有效提升系統的整體效能。展望未來，隨著邊緣計算和AI技術的發展，自適應濾波和智慧濾波技術將成為重要的發展方向，可根據訊號特性和環境變化自動調整濾波引數，進一步提升系統的魯棒性和適應性。玄貓認為，深入理解不同濾波技術的特性和應用場景，並結合實際需求進行系統設計，才能最大程度地發揮濾波技術的價值，構建穩定可靠的高精確度系統。

玄貓

技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。