神經網路訓練的核心目標是調整網路權重，使其能準確預測輸出。梯度下降法是一種常用的最佳化演算法，它透過迭代調整權重以最小化損失函式，例如均方差。每次迭代中，演算法會計算損失函式對每個權重的偏導數，也就是梯度，然後沿著梯度的反方向更新權重。學習率決定了每次更新的步長，適當的學習率對於模型的收斂至關重要。啟用函式則為網路引入了非線性，使其能夠學習更複雜的模式。線性迴歸作為一個簡單的神經網路模型，可以清晰地展示梯度下降法的運作過程，其中損失函式的偏導數計算相對簡單，便於理解梯度下降的更新規則。
神經網路的訓練
神經網路的訓練涉及調整模型的引數以最小化損失函式。損失函式表示模型的預測與實際結果之間的差異。透過調整模型的引數，我們可以減少損失函式的值，並且提高模型的效能。
內容解密：
在這個章節中，我們使用了數學公式來描述機器學習的評估指標和微分學的概念。以下是這些公式的解釋：
- 精確度 = TP / (TP + FP)
- 召回率 = TP / (TP + FN)
- 特異度 = TN / (TN + FP)
- F1 分數 = 2 * (精確度 * 召回率) / (精確度 + 召回率)
- 變化率 = Δy / Δx = (f(x + Δx) - f(x)) / Δx
這些公式可以幫助我們瞭解機器學習的評估指標和微分學的概念，並且可以用來訓練神經網路。
圖表翻譯：
以下是這個章節中使用的圖表的解釋：
圖 2.6：這個圖表顯示了一個函式 f(x) 的圖形，該函式具有單一引數 x。圖表中還顯示了函式的變化率，該變化率表示函式的輸出如何隨著輸入的變化而變化。
這個圖表可以幫助我們瞭解函式的變化率，並且可以用來訓練神經網路。
神經網路的基礎概念
神經網路（Neural Networks）是一種模仿人類大腦結構和功能的機器學習模型。要了解神經網路的工作原理，首先需要掌握一些基礎的數學概念，尤其是微積分。
微分的概念
微分是用來描述函式在某一點的變化率。給定一個函式 $f(x)$，我們可以計算在某一點 $x$ 處的微分，記為 $f’(x)$ 或 $\frac{dy}{dx}$。這個值代表了函式在該點的斜率。
要計算微分，需要使用極限的概念。函式 $f(x)$ 在點 $x$ 處的微分可以透過以下公式計算：
$$ f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$
這個公式表示，當 $\Delta x$ 趨近於 0 時，函式 $f(x)$ 在點 $x$ 處的變化率就是微分。
偏微分
當函式有多個引數時，例如 $f(x_1, x_2, …, x_n)$，我們需要使用偏微分來計算函式對於每個引數的變化率。偏微分記為 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$，表示函式 $f$ 對於引數 $x_i$ 的變化率，假設其他引數保持不變。
微分規則
在計算微分時，會用到一些基本的規則，包括：
- 鏈式法則：如果 $h(x) = f(g(x))$，則 $h’(x) = f’(g(x)) \cdot g’(x)$。
- 和法則：如果 $h(x) = f(x) + g(x)$，則 $h’(x) = f’(x) + g’(x)$。
這些規則對於計算複雜函式的微分非常重要。
神經網路的應用
神經網路在許多領域都有廣泛的應用，包括影像識別、語音辨識、自然語言處理等。它們的工作原理是透過訓練大量的資料，學習到資料之間的模式和關係，從而實作特定的任務。
內容解密：
- 本文介紹了神經網路的基礎概念，包括微分、偏微分和微分規則。
- 微分是用來描述函式在某一點的變化率，透過極限的概念計算。
- 偏微分用於多引數函式，計算函式對於每個引數的變化率。
- 微分規則，包括鏈式法則和和法則，對於計算複雜函式的微分非常重要。
- 神經網路在許多領域都有廣泛的應用，包括影像識別、語音辨識、自然語言處理等。
flowchart TD
A[神經網路] --> B[基礎概念]
B --> C[微積分]
C --> D[微分]
D --> E[偏微分]
E --> F[微分規則]
F --> G[鏈式法則]
F --> H[和法則]
G --> I[計算複雜函式]
H --> J[計算複雜函式]
A --> K[實際應用]
K --> L[影像識別]
K --> M[語音辨識]
K --> N[自然語言處理]
圖表翻譯：
- 本圖示神經網路的基礎概念，包括微積分、微分、偏微分和微分規則。
- 微分和偏微分是用來描述函式的變化率，微分規則包括鏈式法則和和法則。
- 神經網路的實際應用包括影像識別、語音辨識和自然語言處理。
- 圖中每個節點代表一個概念，箭頭代表這些概念之間的關係。
- 圖表清晰地呈現了神經網路的基礎概念和實際應用之間的邏輯關係。
神經網路基礎
神經網路（Neural Networks，NNs）是一種用於訊息處理的數學模型。如前所述，這是描述任何機器學習（Machine Learning，ML）演算法的一種好方法，但是在本章中，它具有特定的含義。在本章中，NN是一種不固定的程式，而是一種模型，一種處理訊息或輸入的系統。NN的特點如下：
- 訊息處理以最簡單的形式在稱為單元（units）的簡單元素上進行
- 單元之間相互連線，並透過連線鏈結（connection links）交換訊號
- 單元之間的連線鏈結可以更強或更弱，這決定了訊息如何被處理
- 每個單元都有一個由其狀態決定的內部狀態
- 每個單元都有一個不同的啟用函式（activation function），該函式計算其狀態並決定其輸出訊號
一個更一般的NN描述是作為一張計算圖（computational graph），其中包含數學運算，但我們稍後會學習更多關於這方面的知識。
神經網路的兩個主要特徵
我們可以確定NN的兩個主要特徵：
- 神經網路架構（Neural Network Architecture）：描述單元之間的連線，包括前向（feedforward）、迴圈（recurrent）、多層或單層等，以及每層的單元數量。
- 學習（Learning）：描述了什麼是常被定義為訓練（training）。訓練NN最常見但不唯一的方法是使用梯度下降（Gradient Descent，GD）和反向傳播（Backpropagation，BP）。我們將從NN中最小的構建塊——單元開始討論。
單元：NN中最小的構建塊
單元是可以被定義為以下數學函式的東西：
$$y = f\left(\sum_{i=1}^{n} x_i w_i + b\right)$$
以下是該過程的分解：
- 我們計算加權和 $\sum_{i=1}^{n} x_i w_i + b$（也稱為啟用值）。讓我們關注這個和的元件：
- 輸入 $x_i$ 是代表其他網路單元的輸出或輸入資料本身的數值。
- 權重 $w_i$ 是調整輸入重要性的係數。
- $b$ 是偏置項，影響單元的啟用閾值。
這個過程是NN中最基本的運算單元，理解它對於構建和訓練NN至關重要。
人工神經網路單元的運作原理
人工神經網路（NN）中的單元是指一種基本的計算單元，負責接收輸入、進行計算和產生輸出。這些單元通常被稱為「神經元」或「節點」。在本文中，我們將探討這些單元的運作原理。
單元的結構
一個典型的神經網路單元由以下幾個部分組成：
- 輸入：單元接收多個輸入，通常表示為 $x_1, x_2, …, x_n$。
- 權重：每個輸入都有一個對應的權重，表示為 $w_1, w_2, …, w_n$。
- 偏差：單元還有一個偏差項，表示為 $b$。
- 啟用函式：單元的輸出由啟用函式 $f$ 決定，該函式接收輸入、權重和偏差的加權和作為輸入。
單元的運作
單元的運作可以分為兩個步驟：
- 加權和：單元計算輸入、權重和偏差的加權和，表示為 $\sum x_i w_i + b$。
- 啟用函式：單元的輸出由啟用函式 $f$ 決定，該函式接收加權和作為輸入，產生單元的最終輸出。
啟用函式的性質
啟用函式 $f$ 應該具備以下性質：
- 非線性：啟用函式應該是非線性的，以便神經網路可以學習非線性關係。
- 可微分：啟用函式應該是可微分的，以便可以使用梯度下降法和反向傳播演算法進行訓練。
單元的幾何解釋
單元的輸入、權重和偏差可以被視為向量。當輸入向量和權重向量的點積為 0 時，表示輸入向量和權重向量之間的角度為 90 度。這意味著所有輸入向量的點積與權重向量為 0 的集合形成了一個超平面。
在二維空間中，這個超平面可以被視為一條線。這個概念可以被用於解釋感知器（或二元分類別器）的工作原理，感知器是一個具有閾值啟用函式的單元。
以下圖表（左）顯示了一個單元和其等效公式，右圖顯示了感知器的幾何解釋：
圖 2.8 – 左：單元和其等效公式，右：感知器的幾何解釋
在本文中，我們探討了人工神經網路單元的運作原理，包括單元的結構、運作和啟用函式的性質。同時，我們還討論了單元的幾何解釋和感知器的工作原理。這些概念是理解人工神經網路的基礎，將在後續章節中被進一步闡述。
神經網路基礎
神經網路（Neural Networks，NNs）是一種模仿人類大腦結構和功能的機器學習模型。它由多個神經元（Neurons）或單元（Units）組成，這些單元之間透過權重（Weights）和偏差（Biases）相互連線。每個單元都有一個啟用函式（Activation Function），用於將輸入訊號轉換為輸出訊號。
單元：神經網路的基本構建塊
單元是神經網路的基本構建塊。它接收多個輸入訊號，計算加權和，然後透過啟用函式將結果轉換為輸出訊號。單元的輸出可以用於預測、分類別或其他任務。
單元的輸出可以用以下公式表示：
y = f(∑(x_i * w_i) + b)
其中，y是單元的輸出，x_i是輸入訊號，w_i是權重，b是偏差，f是啟用函式。
層：神經網路的組織結構
層是神經網路的組織結構。每個層都有一組單元，這些單元之間透過權重和偏差相互連線。層可以是全連線（Fully Connected，FC）層，也可以是卷積（Convolutional）層或其他型別的層。
全連線層是最常見的層型別。每個單元都接收所有輸入訊號，並計算加權和，然後透過啟用函式將結果轉換為輸出訊號。
多層神經網路
多層神經網路（Multi-Layer Neural Networks，MLNNs）是指具有多個層的神經網路。這些層可以是全連線層，也可以是其他型別的層。多層神經網路可以學習更複雜的模式和關係，因此被廣泛應用於各種領域。
多層神經網路的輸出可以用於預測、分類別或其他任務。輸出層的啟用函式通常是softmax函式，用於多類別分類別任務。
啟用函式
啟用函式是單元的核心部分。它將輸入訊號轉換為輸出訊號，從而實作非線性對映。常見的啟用函式包括sigmoid、tanh和ReLU。
訓練神經網路
訓練神經網路涉及調整權重和偏差，以最小化損失函式。損失函式是用於衡量預測值與實際值之間的差異的指標。常見的損失函式包括均方差和交叉熵。
訓練神經網路的過程包括前向傳播、反向傳播和權重更新。前向傳播涉及將輸入訊號傳遞透過網路，計算每個單元的輸出。反向傳播涉及計算每個單元的誤差梯度，然後更新權重和偏差。
應用
神經網路在各種領域中有廣泛的應用，包括：
- 分類別：神經網路可以用於分類別任務，例如影像分類別、語音分類別等。
- 預測：神經網路可以用於預測任務，例如時間序列預測、推薦系統等。
- 自然語言處理：神經網路可以用於自然語言處理任務，例如語言模型、文字分類別等。
神經網路基礎
神經網路（Neural Networks，NNs）是一種模仿人類大腦結構的機器學習模型。它由多層神經元（或稱為單位）組成，每個神經元都會對輸入的資料進行處理和轉換。神經網路可以用來解決各種複雜的問題，包括影像識別、語音識別、自然語言處理等。
神經網路的基本結構
一個神經網路通常由多層神經元組成，每層神經元都會對輸入的資料進行處理和轉換。最基本的神經網路結構包括：
- 輸入層（Input Layer）：負責接收輸入的資料。
- 隱藏層（Hidden Layer）：負責對輸入的資料進行處理和轉換。
- 輸出層（Output Layer）：負責產生最終的輸出結果。
啟用函式
啟用函式（Activation Function）是用來對神經元的輸出進行轉換的。它可以將神經元的輸出轉換為非線性的結果，這樣可以使神經網路能夠學習到更複雜的模式。
常見的啟用函式包括：
- Sigmoid函式：其輸出範圍在0到1之間，可以用來模擬機率分佈。
- Hyperbolic Tangent（tanh）函式：其輸出範圍在-1到1之間，可以用來模擬對稱分佈。
- Rectified Linear Unit（ReLU）函式：其輸出範圍在0到正無窮大，可以用來模擬非線性分佈。
全連線神經網路
全連線神經網路（Fully Connected Neural Network）是一種最基本的神經網路結構。在這種結構中，每個神經元都會與所有其他神經元相連。
迴圈神經網路
迴圈神經網路（Recurrent Neural Network，RNN）是一種特殊的神經網路結構。在這種結構中，神經元之間的連線會形成迴圈，這樣可以使神經網路能夠學習到序列資料的模式。
神經網路的訓練
神經網路的訓練是指透過調整神經網路的引數來使其能夠學習到特定的模式。常見的訓練方法包括：
- 反向傳播（Backpropagation）演算法：是一種用來計算神經網路的梯度的演算法。
- 隨機梯度下降（Stochastic Gradient Descent）演算法：是一種用來更新神經網路的引數的演算法。
神經網路的應用
神經網路的應用非常廣泛，包括：
- 影像識別：可以用來識別影像中的物體。
- 語音識別：可以用來識別語音中的單詞和句子。
- 自然語言處理：可以用來分析和生成自然語言文字。
神經網路的通用近似定理
神經網路的通用近似定理（Universal Approximation Theorem）指出，任何連續函式在緊集上的近似都可以由具有至少一個隱藏層和有限單元數的神經網路實作。這個定理對於理解神經網路的能力具有重要意義，因為它告訴我們，神經網路在理論上可以近似任何連續函式。
通用近似定理的意義
通用近約定理意味著神經網路可以學習任意複雜的函式，這使得它們在許多領域中具有廣泛的應用價值。然而，在實踐中，具有單個隱藏層的神經網路可能在許多工中表現不佳。但是，至少我們可以朝著更強大的神經網路的方向努力。
直觀例子
為了更好地理解通用近似定理，我們可以考慮一個直觀的例子。假設我們想要近似一個盒函式（boxcar function），這是一種在某個區間內為常數，而在其他區間內為零的函式。透過設計一個具有單個隱藏層的神經網路，我們可以近似這個函式。
設計近似盒函式的神經網路
首先，我們設計一個具有單個單元的神經網路，該單元具有單個輸入和sigmoid啟用函式。然後，我們可以觀察到單元的輸出對不同的權重和偏差值的變化。
單元輸出和權重、偏差的關係
單元的輸出受權重和偏差的影響。權重決定了sigmoid函式的陡度，而偏差則決定了函式沿著x軸的平移。透過調整這些引數，我們可以實作不同的啟用函式。
組合單元近似盒函式
透過組合多個單元，我們可以近似盒函式。具體來說，我們可以設計一個具有兩個隱藏單元的神經網路，每個單元具有不同的權重和偏差。透過調整這些引數，我們可以實作一個近似盒函式的神經網路。
訓練神經網路
神經網路的訓練目的是找到最佳的引數，使得神經網路可以最好地近似目標函式。這個過程通常使用梯度下降（Gradient Descent）和反向傳播（Backpropagation）演算法來實作。
神經網路訓練：梯度下降法
梯度下降法（Gradient Descent, GD）是一種用於訓練神經網路的最佳化演算法。它的目的是找到一組最佳的網路權重，使得網路的輸出能夠最小化成本函式（Cost Function）。在這個例子中，我們使用均方差（Mean Square Error, MSE）作為成本函式。
均方差成本函式
MSE 成本函式的公式如下：
$$J(\theta) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} (f_{\theta}(x^{(i)}) - t^{(i)})^2$$
其中，$f_{\theta}(x^{(i)})$ 是網路的輸出，$\theta$ 是網路的權重，$n$ 是訓練集的大小，$x^{(i)}$ 是第 $i$ 個訓練樣本，$t^{(i)}$ 是第 $i$ 個訓練樣本的標籤。
梯度下降法的步驟
梯度下降法的步驟如下：
- 初始化網路權重 $\theta$ 為隨機值。
- 重複以下步驟，直到成本函式 $J(\theta)$ 小於某個閾值：
- 前向傳遞（Forward Pass）：計算 MSE 成本函式 $J(\theta)$。
- 後向傳遞（Backward Pass）：計算成本函式 $J(\theta)$ 對於所有網路權重 $\theta_j$ 的偏導數（梯度）。
- 更新網路權重 $\theta_j$：使用梯度下降法的更新公式更新網路權重。
梯度下降法的更新公式
梯度下降法的更新公式如下：
$$\theta_j \leftarrow \theta_j - \eta \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$$
其中，$\eta$ 是學習率，$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$ 是成本函式 $J(\theta)$ 對於網路權重 $\theta_j$ 的偏導數。
偏導數的計算
偏導數的計算如下：
$$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{\theta}(x^{(i)})}{\partial \theta_j} (f_{\theta}(x^{(i)}) - t^{(i)})$$
這個公式可以使用鏈式法則（Chain Rule）來計算。
梯度下降法的工作原理
梯度下降法（Gradient Descent）是一種用於訓練神經網路的最佳化演算法。其目的是找到一組最佳的模型引數，使得模型在訓練資料上的損失函式最小化。梯度下降法的核心思想是沿著損失函式的負梯度方向更新模型引數，以達到損失函式的最小值。
學習率的作用
在梯度下降法中，學習率（Learning Rate）是一個重要的超引數，它控制著模型引數在每次更新中的步長。學習率越大，模型引數更新的步長就越大，反之，學習率越小，模型引數更新的步長就越小。學習率的選擇對模型的收斂速度和準確度有著重要的影響。
線性迴歸的例子
為了更好地理解梯度下降法的工作原理，我們以線性迴歸為例。線性迴歸是一種簡單的神經網路模型，它的輸出是輸入的線性組合。線性迴歸的模型可以表示為：
$$f(x) = \sum_{j=1}^{m} x_j \theta_j$$
其中，$x_j$是輸入的第$j$個特徵，$\theta_j$是模型的第$j$個引數，$m$是輸入的維度。
線性迴歸的損失函式通常是均方誤差（Mean Squared Error，MSE），它可以表示為：
$$J(\theta) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \sum_{j=1}^{m} x_j(i) \theta_j \right) - t(i) \right)^2$$
其中，$n$是訓練資料的數量，$t(i)$是第$i$個樣本的真實標籤。
梯度下降法的更新規則
梯度下降法的更新規則可以表示為：
$$\theta_j = \theta_j - \eta \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$$
其中，$\eta$是學習率，$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$是損失函式對於模型引數$\theta_j$的偏導數。
對於線性迴歸的模型，損失函式對於模型引數$\theta_j$的偏導數可以表示為：
$$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \sum_{j=1}^{m} x_j(i) \theta_j \right) - t(i) \right) x_j(i)$$
從技術架構視角來看，理解神經網路的訓練過程，本質上是理解如何調整網路中的權重和偏差以最小化損失函式。文章清晰地闡述了梯度下降法及其變體，如隨機梯度下降和批次梯度下降，如何高效地實作這一目標。同時，也點出了學習率的重要性以及不同啟用函式的特性，這些都是構建和訓練有效神經網路的關鍵要素。然而，文章並未深入探討不同最佳化器（例如 Adam、RMSprop）的優劣比較，以及如何根據特定問題選擇合適的最佳化策略。
對於實務落地而言，選擇合適的損失函式、學習率和最佳化器至關重要。此外，正則化技術，例如 L1 和 L2 正則化，可以有效地防止過擬合，提高模型的泛化能力。文章雖提及啟用函式的選擇，但未深入討論不同啟用函式對模型訓練的影響，例如 ReLU 如何解決梯度消失問題。同時，也缺乏對模型調參技巧的深入分析，例如如何使用交叉驗證來選擇最佳的超參陣列合。
展望未來，神經網路架構的自動搜尋（Neural Architecture Search, NAS）和自動機器學習（AutoML）技術將持續發展，降低神經網路訓練的門檻，並提升模型的效能。此外，結合特定領域知識的神經網路模型設計，例如圖神經網路和 Transformer 模型，將在更多應用場景中展現其優勢。對於技術團隊而言，深入理解不同神經網路架構的特性和適用場景，以及掌握先進的訓練技巧和工具，將是未來保持競爭力的關鍵。玄貓認為，持續學習和實踐是掌握神經網路技術，並將其成功應用於實際問題的最佳途徑。
