深度學習模型的訓練是一個複雜的過程，涉及到許多超引數的調整和最佳化策略的選擇。損失函式的選用、啟用函式的設定、最佳化器的選擇以及學習率的調整都會顯著影響模型的效能。本文將深入探討這些關鍵要素，並著重分析學習率衰減策略的重要性。
在神經網路訓練中，學習率扮演著至關重要的角色，它決定了模型引數更新的幅度。學習率過大可能導致模型震盪，無法收斂到最佳解；學習率過小則可能導致訓練速度過慢，甚至陷入區域性最優解。因此，動態調整學習率，使其隨著訓練程式逐步減小，是提高模型效能的常用技巧。
import numpy as np
class SGDMomentum:
def __init__(self, learning_rate, momentum):
self.learning_rate = learning_rate
self.momentum = momentum
self.first = True # 初始化，用於第一次迭代時初始化速度
self.velocities = None # 儲存速度
def step(self, params, grads): # 更新引數
if self.first: # 第一次迭代時初始化速度為 0
self.velocities = [np.zeros_like(param) for param in params]
self.first = False
for param, grad, velocity in zip(params, grads, self.velocities):
self._update_rule(param, grad, velocity)
def _update_rule(self, param, grad, velocity): # 引數更新規則
velocity = self.momentum * velocity + (1 - self.momentum) * grad # 更新速度
param -= self.learning_rate * velocity # 更新引數
class Trainer:
def __init__(self, lr=0.01, final_lr=0, max_epochs=100, decay_type='exponential'):
self.lr = lr
self.final_lr = final_lr
self.decay_type = decay_type
self.max_epochs = max_epochs
self.decay_per_epoch = None
def _setup_decay(self):
if not self.decay_type:
return
elif self.decay_type == 'exponential':
self.decay_per_epoch = (self.final_lr / self.lr) ** (1 / (self.max_epochs - 1))
elif self.decay_type == 'linear':
self.decay_per_epoch = (self.lr - self.final_lr) / (self.max_epochs - 1)
def _decay_lr(self):
if not self.decay_type:
return
if self.decay_type == 'exponential':
self.lr *= self.decay_per_epoch
elif self.decay_type == 'linear':
self.lr -= self.decay_per_epoch
def fit(self, model, X_train, y_train, X_val, y_val):
self._setup_decay()
for epoch in range(self.max_epochs):
# 此處省略模型訓練程式碼，僅示範學習率衰減
self._decay_lr()
# 使用範例
trainer = Trainer(lr=0.1, final_lr=0.001, max_epochs=100, decay_type='exponential')
# 假設 model, X_train, y_train, X_val, y_val 已定義
trainer.fit(model, X_train, y_train, X_val, y_val)
內容解密：
此程式碼片段展示了帶動量的隨機梯度下降（SGDMomentum）最佳化器和學習率衰減的實作。SGDMomentum 類別利用動量項累積梯度資訊，以加速收斂並抑制震盪。Trainer 類別則實作了兩種學習率衰減策略：指數衰減和線性衰減。_setup_decay 方法根據設定的衰減型別計算衰減係數，_decay_lr 方法在每個訓練 epoch 後更新學習率。最後，fit 方法模擬了模型訓練過程，並在每個 epoch 後呼叫 _decay_lr 進行學習率衰減。
graph LR
A[初始化模型與最佳化器] --> B{設定學習率衰減策略}
B -- 指數衰減 --> C[計算指數衰減係數]
B -- 線性衰減 --> D[計算線性衰減係數]
C --> E{開始訓練}
D --> E
E --> F[計算梯度]
F --> G[使用 SGDMomentum 更新引數]
G --> H[更新學習率]
H --> I[檢查是否收斂]
I -- 是 --> J[結束訓練]
I -- 否 --> F
圖表翻譯：
此圖表說明瞭結合 SGDMomentum 最佳化器和學習率衰減的模型訓練流程。首先，初始化模型和最佳化器，並設定學習率衰減策略（指數衰減或線性衰減）。接著，計算對應的衰減係數。進入訓練迴圈後，計算梯度，使用 SGDMomentum 更新模型引數，然後根據設定的策略更新學習率。最後，檢查模型是否收斂，若收斂則結束訓練，否則繼續迭代。
選擇合適的最佳化器和學習率衰減策略對於深度學習模型的訓練至關重要。透過動量累積梯度資訊，可以有效地加速收斂並避免陷入區域性最優解。而學習率衰減策略則可以幫助模型在訓練後期微調引數，提高泛化能力。實驗結果顯示，指數衰減和線性衰減都能有效地提升模型效能，但最佳的衰減策略和引數需要根據具體的資料集和模型結構進行調整。
第四章：擴充套件
4.1 學習速率的設定
在神經網路的訓練中，學習速率的設定是一個非常重要的引數。學習速率太小，可能導致網路陷入區域性最小值；而學習速率太大，可能導致網路錯過最佳解。實際上，神經網路中的學習速率設定遠比這個複雜，因為網路中可能有成千上萬個引數需要最佳化，每次迭代都需要更新這些引數的值。此外，隨著每次迭代，網路的輸出也會發生變化，這使得找到最佳解的問題更加複雜。
4.2 多變數邏輯函式與交叉熵損失
在分類別任務中，我們需要將神經網路的輸出轉換為機率分佈，以便於解釋結果。多變數邏輯函式（softmax）與交叉熵損失是一種常用的方法，可以實作這個目標。softmax函式可以將輸出轉換為機率分佈，而交叉熵損失可以衡量預測結果與真實標籤之間的差異。
4.2.1 softmax函式
softmax函式是一種常用的啟用函式，可以將輸出轉換為機率分佈。其公式為：
$$\text{softmax}(x) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{n} e^{x_j}}$$
其中，$x_i$是第$i$個輸出，$n$是輸出的維度。
4.2.2 交叉熵損失
交叉熵損失是一種常用的損失函式，可以衡量預測結果與真實標籤之間的差異。其公式為：
$$L(y, \hat{y}) = -\sum_{i=1}^{n} y_i \log(\hat{y}_i)$$
其中，$y_i$是真實標籤，$\hat{y}_i$是預測結果。
4.3 實作多變數邏輯函式與交叉熵損失
在實作多變數邏輯函式與交叉熵損失時，我們需要注意一些細節。首先，softmax函式需要將輸出轉換為機率分佈；其次，交叉熵損失需要計算預測結果與真實標籤之間的差異。
import numpy as np
def softmax(x):
e_x = np.exp(x - np.max(x))
return e_x / e_x.sum(axis=0)
def cross_entropy_loss(y, y_hat):
return -np.sum(y * np.log(y_hat))
# 測試
x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([0, 0, 1])
y_hat = softmax(x)
loss = cross_entropy_loss(y, y_hat)
print(loss)
softmax_cross_entropy_loss 函式的實作
在神經網路中，softmax_cross_entropy_loss 函式是一種常用的損失函式，尤其是在多分類別問題中。以下是其實作的步驟：
- 計算 softmax 預測：首先，計算 softmax 函式對每個輸出的應用結果。這可以使用以下公式實作：
softmax_preds = np.exp(self.prediction) / np.sum(np.exp(self.prediction), axis=1, keepdims=True)
這裡，`self.prediction` 是神經網路的輸出，`axis=1` 表示沿著每一行（即每個樣本）計算softmax。
2. **防止不穩定性**：為了防止數值不穩定性，通常會對softmax的輸出進行裁剪（clip）。這可以使用以下公式實作：
```python
self.softmax_preds = np.clip(softmax_preds, self.eps, 1 - self.eps)
這裡，self.eps 是一個小的正值，用於防止除以零或對數函式的輸入為零。
- 計算交叉熵損失：然後，計算交叉熵損失。這可以使用以下公式實作：
softmax_cross_entropy_loss = -1.0 * self.target * np.log(self.softmax_preds) - (1.0 - self.target) * np.log(1 - self.softmax_preds)
這裡，`self.target` 是真實標籤。
4. **計算總損失**：最後，計算總損失。這可以使用以下公式實作：
```python
return np.sum(softmax_cross_entropy_loss)
_input_grad 函式的實作
_input_grad 函式用於計算輸入的梯度。這可以使用以下公式實作：
def _input_grad(self) -> ndarray:
return self.softmax_preds - self.target
這裡，self.softmax_preds 是softmax的輸出，self.target 是真實標籤。
函式啟用選擇
在神經網路中，函式啟用（activation function）是一個非常重要的部分。不同的函式啟用有不同的優缺點。
- sigmoid：sigmoid函式是一種常用的啟用函式，但它有個缺點，就是它的梯度在某些區域可能很小，這可能會導致訓練過程中梯度消失。
- ReLU：ReLU（Rectified Linear Unit）是一種常用的啟用函式，它的優點是計算簡單，梯度大。但是，它也有個缺點，就是它可能會導致死神經元（dead neuron）。
- tanh：tanh函式是一種常用的啟用函式，它的優點是梯度大，且不容易出現死神經元。
實驗
在這個實驗中，我們使用MNIST資料集來訓練一個神經網路。MNIST資料集是一個手寫字型資料集，它包含60000個訓練樣本和10000個測試樣本。
首先，我們需要將資料集載入並進行預處理。然後，我們可以建立一個神經網路模型並訓練它。
在這個實驗中，我們使用tanh函式作為啟用函式，並使用softmax_cross_entropy_loss函式作為損失函式。
結果
在這個實驗中，我們可以得到一個訓練好的神經網路模型，並可以使用它來進行手寫字型識別。
結果表明，使用tanh函式作為啟用函式和softmax_cross_entropy_loss函式作為損失函式，可以得到一個比較好的結果。
深度學習模型最佳化
在深度學習中，模型的最佳化是一個非常重要的步驟。最佳化的目的是找到最好的模型引數，使得模型在訓練資料上能夠得到最好的效能。在這裡，我們將介紹一些常用的最佳化技術。
1. Mean Squared Error (MSE) 和 Cross-Entropy Loss
MSE 和 Cross-Entropy Loss 是兩種常用的損失函式。MSE 用於迴歸問題，Cross-Entropy Loss 用於分類別問題。在上面的例子中，我們使用了 MSE 和 Cross-Entropy Loss 來比較兩種不同的損失函式。
2. Softmax 函式
Softmax 函式是一種常用的啟用函式，用於多分類別問題。它可以將輸入轉換為機率分佈。在上面的例子中，我們使用了 Softmax 函式來得到輸出的機率分佈。
3. Impulse
Impulse 是一種最佳化技術，用於加速梯度下降的收斂速度。它透過在梯度下降的更新規則中新增一個 momentum 項來實作。這個 momentum 項可以使得梯度下降的更新步伐更大，從而加速收斂速度。
4. Momentum
Momentum 是一種最佳化技術，用於加速梯度下降的收斂速度。它透過在梯度下降的更新規則中新增一個 momentum 項來實作。這個 momentum 項可以使得梯度下降的更新步伐更大，從而加速收斂速度。
實驗結果
在上面的例子中，我們使用了兩種不同的損失函式 (MSE 和 Cross-Entropy Loss) 來比較兩種不同的模型。我們發現，使用 Cross-Entropy Loss 的模型比使用 MSE 的模型有更好的效能。
圖表翻譯：
上面的流程圖展示了深度學習模型最佳化的流程。首先，我們需要選擇合適的損失函式和最佳化技術。然後，我們訓練模型並評估其效能。如果模型的效能不佳，我們可以調整引數並重新訓練模型。這個過程可以反覆進行，直到模型的效能達到我們的要求。
在最佳化演算法中，引入慣性（inertia）概念可以有效地改善模型的收斂速度和穩定性。慣性是指物體在運動中具有的慣性特性，即物體傾向於保持其原有的運動狀態。在最佳化問題中，我們可以透過引入慣性來模擬這種現象，從而提高最佳化過程的效率。
慣性的實作
要實作慣性，我們需要對最佳化器進行修改。具體來說，我們需要引入一個新的引數，稱為慣性係數（inertia coefficient），用於控制慣性的大小。然後，我們需要修改最佳化器的更新規則，以便在每次更新中考慮到慣性。
更新規則
假設我們的最佳化器的更新規則為：
$$ \text{update} = \nabla_t + \mu \times \nabla_{t-1} + \mu^2 \times \nabla_{t-2} + \cdots $$
其中，$\nabla_t$是當前的梯度，$\mu$是慣性係數。
實作
要實作這個更新規則，我們可以使用以下步驟：
- 初始化一個變數，稱為速度（velocity），用於儲存累積的梯度。
- 在每次更新中，將速度乘以慣性係數。
- 將當前的梯度新增到速度中。
- 更新引數使用新的速度。
程式碼
class Optimizer:
def __init__(self, mu):
self.mu = mu
self.velocity = 0
def update(self, gradient):
self.velocity = self.mu * self.velocity + gradient
return self.velocity
效果
引入慣性可以有效地改善模型的收斂速度和穩定性。透過控制慣性係數，可以調整最佳化過程的速度和穩定性。
圖表翻譯
下面是使用Mermaid語法繪製的最佳化過程圖表：
graph LR
A[初始化] --> B[計算梯度]
B --> C[更新速度]
C --> D[更新引數]
D --> E[檢查收斂]
E -->|收斂| F[輸出結果]
E -->|未收斂| B
這個圖表展示了最佳化過程的流程，包括初始化、計算梯度、更新速度、更新引數、檢查收斂等步驟。
動量最佳化器（SGDMomentum）
動量最佳化器是梯度下降法的一種變體，透過引入動量項來加速收斂。動量項代表了之前更新的方向和大小，能夠幫助最佳化器跳出區域性最小值。
動量最佳化器的實作
import numpy as np
class SGDMomentum:
def __init__(self, learning_rate, momentum):
self.learning_rate = learning_rate
self.momentum = momentum
self.first = True
self.velocities = None
def step(self, params, grads):
if self.first:
self.velocities = [np.zeros_like(param) for param in params]
self.first = False
for param, grad, velocity in zip(params, grads, self.velocities):
self._update_rule(param, grad, velocity)
def _update_rule(self, param, grad, velocity):
velocity = self.momentum * velocity + (1 - self.momentum) * grad
param -= self.learning_rate * velocity
動量最佳化器的工作原理
- 初始化動量項：在第一次迭代時，初始化動量項為零。
- 更新動量項：在每次迭代時，計算新的動量項，將之前的動量項乘以動量係數，然後加上當前的梯度乘以 (1 - 動量係數)。
- 更新引數：使用新的動量項和學習率更新引數。
動量最佳化器的優點
- 加速收斂：動量項可以幫助最佳化器跳出區域性最小值，加速收斂。
- 穩定收斂：動量項可以幫助最佳化器在收斂時保持穩定。
動量最佳化器的缺點
- 需要調整動量係數：動量係數需要調整，以達到最佳效果。
- 可能會發生震盪：如果動量係數太大，可能會發生震盪，影響收斂。
內容解密：
上述程式碼實作了動量最佳化器，包括 step 方法和 _update_rule 方法。step 方法負責更新引數，而 _update_rule 方法負責更新動量項和引數。動量最佳化器的工作原理是透過引入動量項來加速收斂，並且可以幫助最佳化器跳出區域性最小值。
圖表翻譯：
下圖示範了動量最佳化器的工作原理：
flowchart TD
A[初始化] --> B[計算梯度]
B --> C[更新動量項]
C --> D[更新引數]
D --> E[檢查收斂]
E -->|是| F[結束]
E -->|否| B
上述圖表顯示了動量最佳化器的工作流程，包括初始化、計算梯度、更新動量項、更新引數和檢查收斂。
速度更新
在最佳化器中，速度更新是一個關鍵的步驟。以下是使用動量的隨機梯度下降法（SGDMomentum）進行速度更新的示例：
kwargs['velocity'] *= self.momentum
kwargs['velocity'] += self.lr * kwargs['grad']
kwargs['param'] -= kwargs['velocity']
這裡，kwargs['velocity'] 代表了引數的速度，self.momentum 代表了動量的大小，self.lr 代表了學習率，kwargs['grad'] 代表了梯度。
實驗：帶動量的隨機梯度下降法
我們可以使用帶動量的隨機梯度下降法（SGDMomentum）來訓練一個具有單隱藏層的神經網路，使用MNIST資料集。結果如下：
Validation loss after 10 epochs is 0.441
Validation loss after 20 epochs is 0.351
Validation loss after 30 epochs is 0.345
Validation loss after 40 epochs is 0.338
Loss increased after epoch 50, final loss was 0.338, using the model from epoch 40
The model validation accuracy is: 95.51%
結果表明，帶動量的隨機梯度下降法可以得到更好的結果。
學習率
學習率是最重要的超引數之一，需要正確地調整。以下是學習率的簡介：
[學習率] 通常是最重要的超引數，需要正確地調整。
學習率可以根據不同的規則進行調整，例如線性衰減、指數衰減等。
線性衰減
線性衰減是一種簡單的學習率調整方法，根據以下公式進行調整：
,
其中，α_start 是初始學習率，α_end 是最終學習率，N 是總共的epoch數。
指數衰減
指數衰減是一種更常用的學習率調整方法，根據以下公式進行調整：
,
其中，γ 是衰減率。
實作
以下是實作學習率調整的示例：
def __init__(self, lr=0.01, final_lr=0, decay_type='exponential'):
self.lr = lr
self.final_lr = final_lr
self.decay_type = decay_type
def _setup_decay(self):
# 計算學習率的衰減
if self.decay_type == 'linear':
self.lr_decay = (self.lr - self.final_lr) / self.num_epochs
elif self.decay_type == 'exponential':
self.lr_decay = self.lr * (self.final_lr / self.lr) ** (1 / self.num_epochs)
這裡，self.lr 是初始學習率，self.final_lr 是最終學習率，self.decay_type 是衰減型別，self.num_epochs 是總共的epoch數。
學習率衰減機制
在深度學習中，學習率（learning rate）是一個至關重要的超引數，它控制著模型在每次迭代中更新引數的步伐大小。學習率衰減機制（learning rate decay）是指在訓練過程中，隨著迭代的進行，逐漸減小學習率，以避免模型過度擾動，從而提高模型的收斂速度和穩定性。
指數衰減（Exponential Decay）
指數衰減是一種常見的學習率衰減策略，其公式為：
$$ \text{decay_per_epoch} = \left( \frac{\text{final_lr}}{\text{lr}} \right)^{\frac{1}{\text{max_epochs}-1}} $$
其中，$\text{final_lr}$是最終的學習率，$\text{lr}$是初始學習率，$\text{max_epochs}$是最大訓練epoch數。
線性衰減（Linear Decay）
線性衰減則是按照線性的方式減少學習率，其公式為：
$$ \text{decay_per_epoch} = \frac{\text{lr} - \text{final_lr}}{\text{max_epochs}-1} $$
實作學習率衰減
以下是實作學習率衰減的Python程式碼：
import numpy as np
class Trainer:
def __init__(self, lr, final_lr, max_epochs, decay_type):
self.lr = lr
self.final_lr = final_lr
self.max_epochs = max_epochs
self.decay_type = decay_type
self.decay_per_epoch = None
def _setup_decay(self):
if not self.decay_type:
return
elif self.decay_type == 'exponential':
self.decay_per_epoch = np.power(self.final_lr / self.lr, 1.0 / (self.max_epochs-1))
elif self.decay_type == 'linear':
self.decay_per_epoch = (self.lr - self.final_lr) / (self.max_epochs-1)
def _decay_lr(self):
if not self.decay_type:
return
if self.decay_type == 'exponential':
self.lr *= self.decay_per_epoch
elif self.decay_type == 'linear':
self.lr -= self.decay_per_epoch
def fit(self):
#...
for epoch in range(self.max_epochs):
#...
self._decay_lr()
#...
在上述程式碼中，_setup_decay方法用於計算學習率衰減係數，_decay_lr方法用於更新學習率，而fit方法則是在每個epoch結束時呼叫_decay_lr方法以更新學習率。
線性與指數式學習率衰減實驗
在本文中，我們將探討學習率衰減對模型訓練的影響。為了達到這個目的，我們將使用兩種不同的學習率衰減策略：線性衰減和指數式衰減。
深度學習最佳化器和學習率調整策略
深度學習模型的訓練過程本質上是一個引數最佳化的過程，目標是找到最佳的引陣列合，使得模型在特定任務上的表現達到最佳。這個過程的核心環節之一就是最佳化器的選擇和學習率的調整。本文將深入探討幾種常見的最佳化器和學習率調整策略，並分析它們的優缺點以及適用場景。
動量最佳化器（Momentum Optimizer）
傳統的梯度下降法在最佳化過程中容易陷入區域性最小值，且收斂速度較慢。動量最佳化器透過引入「動量」的概念，有效地解決了這些問題。它就像一個滾動的小球，在向下滾動的過程中積累動量，使其能夠越過一些小的坑窪，並更快地到達谷底。
class MomentumOptimizer:
def __init__(self, learning_rate, momentum):
self.learning_rate = learning_rate
self.momentum = momentum
self.velocity = 0
def update(self, parameters, gradients):
self.velocity = self.momentum * self.velocity + self.learning_rate * gradients
parameters -= self.velocity
return parameters
內容解密：
此程式碼片段展示了動量最佳化器的核心邏輯。velocity 變數儲存了累積的動量，每次更新時，新的動量會結合之前的動量和當前的梯度計算得出。momentum 引數控制著之前動量的影響程度，通常設定在 0.9 左右。
graph LR
A[初始化引數] --> B{計算梯度};
B -- 梯度 --> C[計算速度];
C -- 速度 --> D[更新引數];
D --> E[檢查收斂];
E -- 未收斂 --> B;
E -- 收斂 --> F[結束];
圖表翻譯：
此圖示展示了動量最佳化器的更新流程。首先初始化模型引數，然後計算損失函式的梯度。接著，利用梯度和動量計算更新速度。最後，使用速度更新模型引數，並檢查是否達到收斂條件。如果未收斂，則重複上述步驟。
學習率衰減策略
學習率是另一個影響模型訓練的重要引數。設定過大的學習率可能導致模型震盪，無法收斂；設定過小的學習率則會導致訓練速度過慢。因此，在訓練過程中動態調整學習率至關重要。
指數衰減和線性衰減
指數衰減和線性衰減是兩種常用的學習率衰減策略。指數衰減按照指數曲線降低學習率，而線性衰減則按照線性方式降低學習率。
def exponential_decay(initial_lr, decay_rate, epoch):
return initial_lr * decay_rate ** epoch
def linear_decay(initial_lr, final_lr, total_epochs, epoch):
return initial_lr - (initial_lr - final_lr) * epoch / total_epochs
內容解密：
以上程式碼分別實作了指數衰減和線性衰減。指數衰減中，decay_rate 控制衰減速度，通常設定在 0.9 到 0.99 之間。線性衰減中，final_lr 設定了最終的學習率，total_epochs 設定了總的訓練輪數。
graph LR
A[設定初始學習率] --> B{選擇衰減策略};
B -- 指數衰減 --> C[計算衰減後的學習率];
B -- 線性衰減 --> C;
C --> D[更新學習率];
圖表翻譯：
此圖示說明瞭學習率衰減的過程。首先設定初始學習率，然後選擇衰減策略（指數衰減或線性衰減）。根據選擇的策略計算衰減後的學習率，並更新最佳化器中的學習率。
深度學習最佳化策略的選擇
選擇合適的最佳化器和學習率衰減策略需要根據具體的任務和資料集進行調整。動量最佳化器通常是比較穩定的選擇，而 Adam 最佳化器在許多情況下也能表現出色。學習率衰減策略的選擇則需要考慮訓練資料的規模和模型的複雜度。
在實務應用中，可以透過實驗比較不同最佳化器和學習率衰減策略的效果，選擇最優的組合。同時，也可以參考一些經驗性的設定，例如初始學習率設定為 0.01 或 0.001，動量設定為 0.9，衰減率設定為 0.95 等。
深度學習模型的最佳化是一個複雜的過程，需要考慮多個因素。選擇合適的最佳化器和學習率衰減策略，並根據具體情況進行調整，才能有效地提升模型的效能。隨著深度學習技術的發展，新的最佳化器和學習率調整策略也在不斷湧現，持續學習和探索這些新技術對於深度學習的進步至關重要。
