深度學習最佳化演算法：梯度下降與Adam詳解

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在深度學習模型訓練過程中，最佳化演算法扮演著至關重要的角色。它決定了模型如何調整自身的引數以更好地擬合訓練資料。本文將深入探討幾種常見的最佳化演算法，包括梯度下降、隨機梯度下降以及 Adam，並結合 Python 程式碼示例進行說明。

深度學習模型的訓練目標是找到一組最佳的引數，使得模型在給定資料上的損失函式最小化。損失函式用於衡量模型預測值與真實值之間的差距。而最佳化演算法則負責根據損失函式的梯度資訊，迭代地調整模型引數，使其逐步逼近最佳值。梯度下降法是最基礎的最佳化演算法，它沿著損失函式的負梯度方向更新引數。想像一下，我們站在山坡上，想要走到山谷底部，梯度下降法就是每次都朝著下山最陡的方向邁出一步。

import numpy as np

def gradient_descent(weights, X, y, learning_rate):
    # 計算損失和梯度
    loss, gradients = calculate_loss_and_gradients(weights, X, y)
    # 更新權重
    updated_weights = {}
    for key in weights:
        updated_weights[key] = weights[key] - learning_rate * gradients[key]
    return updated_weights, loss


def calculate_loss_and_gradients(weights, X, y):
    # 前向傳播計算預測值
    y_pred = forward_propagation(weights, X)
    # 計算損失
    loss = mean_squared_error(y, y_pred)
    # 反向傳播計算梯度
    gradients = backpropagation(weights, X, y, y_pred)
    return loss, gradients

def forward_propagation(weights, X):
  # 簡化的前向傳播，實際應用中會更複雜
  z1 = np.dot(X, weights['W1']) + weights['b1']
  a1 = sigmoid(z1)
  z2 = np.dot(a1, weights['W2']) + weights['b2']
  y_pred = sigmoid(z2)  # 輸出層啟用函式
  return y_pred

def backpropagation(weights, X, y, y_pred):
    # 簡化的反向傳播，實際應用中會更複雜
    gradients = {}
    error = y - y_pred
    dz2 = error * sigmoid_derivative(y_pred)
    gradients['W2'] = np.dot(sigmoid(np.dot(X, weights['W1']) + weights['b1']).T, dz2)
    gradients['b2'] = np.sum(dz2, axis=0, keepdims=True)

    dz1 = np.dot(dz2, weights['W2'].T) * sigmoid_derivative(np.dot(X, weights['W1']) + weights['b1'])
    gradients['W1'] = np.dot(X.T, dz1)
    gradients['b1'] = np.sum(dz1, axis=0, keepdims=True)
    return gradients


def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

def sigmoid_derivative(x):
    return x * (1 - x)


def mean_squared_error(y_true, y_pred):
    return np.mean((y_true - y_pred)**2)

# 初始化模型引數 (範例)
weights = {
    'W1': np.random.randn(2, 3),  # 輸入層到隱藏層的權重
    'b1': np.zeros((1, 3)),       # 隱藏層的偏差
    'W2': np.random.randn(3, 1),  # 隱藏層到輸出層的權重
    'b2': np.zeros((1, 1))        # 輸出層的偏差
}

# 範例輸入和輸出資料
X = np.array([[0.1, 0.2], [0.3, 0.4]])
y = np.array([[0.5], [0.7]])
learning_rate = 0.1

# 使用梯度下降最佳化模型
new_weights, loss = gradient_descent(weights, X, y, learning_rate)
print(f"Updated Weights: {new_weights}")
print(f"Loss: {loss}")

在實際應用中，梯度下降法通常會根據每次更新所使用的資料量不同，衍生出批次梯度下降（Batch Gradient Descent）、隨機梯度下降（Stochastic Gradient Descent）和小批次梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）等變體。批次梯度下降每次使用全部訓練資料計算梯度，更新穩定但計算量大。隨機梯度下降每次只使用一個樣本計算梯度，更新速度快但容易震盪。小批次梯度下降則介於兩者之間，每次使用一小批資料計算梯度，平衡了穩定性和效率。

Adam 最佳化演算法是一種更為高階的最佳化演算法，它結合了動量和自適應學習率的思想。動量可以幫助演算法跳出區域性最優解，而自適應學習率可以根據不同引數的梯度資訊，動態調整學習率，提高收斂速度。在實務經驗中，Adam 通常是深度學習模型訓練的首選最佳化演算法。

import numpy as np

def adam(weights, gradients, learning_rate, beta1=0.9, beta2=0.999, epsilon=1e-8, m=None, v=None, t=1):
    if m is None:
        m = {k: np.zeros_like(v) for k, v in weights.items()}
    if v is None:
        v = {k: np.zeros_like(v) for k, v in weights.items()}

    updated_weights = {}
    for k in weights.keys():
        m[k] = beta1 * m[k] + (1 - beta1) * gradients[k]
        v[k] = beta2 * v[k] + (1 - beta2) * (gradients[k]**2)

        m_corrected = m[k] / (1 - beta1**t)
        v_corrected = v[k] / (1 - beta2**t)

        updated_weights[k] = weights[k] - learning_rate * m_corrected / (np.sqrt(v_corrected) + epsilon)

    return updated_weights, m, v


# 使用 Adam 最佳化模型 (範例)
m, v = None, None  # 初始化 m 和 v
new_weights_adam, m, v = adam(weights, gradients, learning_rate, m=m, v=v)
print(f"Updated Weights with Adam: {new_weights_adam}")

選擇合適的最佳化演算法對於深度學習模型的訓練至關重要。在實際應用中，需要根據具體問題和資料集的特點，選擇合適的演算法和引數，才能達到最佳的訓練效果。此外，還可以透過一些技巧，例如學習率衰減、早停等策略，進一步提升模型的效能。

梯度下降法

梯度下降法是一種常用的最佳化方法，它透過計算損失函式對權重的梯度，然後沿著梯度方向更新權重。

def gradient_descent(weights, X, y, learning_rate):
    loss, forward_info = forward_loss(X, y, weights)
    gradients = compute_gradients(forward_info, X, y)
    weights['W1'] -= learning_rate * gradients['W1']
    weights['B1'] -= learning_rate * gradients['B1']
    weights['W2'] -= learning_rate * gradients['W2']
    weights['B2'] -= learning_rate * gradients['B2']
    return weights

隨機梯度下降法

隨機梯度下降法是一種變體的梯度下降法，它透過計算每個樣本的梯度，然後更新權重。

def stochastic_gradient_descent(weights, X, y, learning_rate):
    for i in range(len(X)):
        x = X[i]
        label = y[i]
        loss, forward_info = forward_loss(x, label, weights)
        gradients = compute_gradients(forward_info, x, label)
        weights['W1'] -= learning_rate * gradients['W1']
        weights['B1'] -= learning_rate * gradients['B1']
        weights['W2'] -= learning_rate * gradients['W2']
        weights['B2'] -= learning_rate * gradients['B2']
    return weights

Adam最佳化法

Adam最佳化法是一種常用的最佳化方法，它透過計算每個權重的梯度和二階梯度，然後更新權重。

def adam_optimizer(weights, X, y, learning_rate):
    m = {}
    v = {}
    for key in weights:
        m[key] = np.zeros_like(weights[key])
        v[key] = np.zeros_like(weights[key])
    for i in range(len(X)):
        x = X[i]
        label = y[i]
        loss, forward_info = forward_loss(x, label, weights)
        gradients = compute_gradients(forward_info, x, label)
        m['W1'] = 0.9 * m['W1'] + 0.1 * gradients['W1']
        m['B1'] = 0.9 * m['B1'] + 0.1 * gradients['B1']
        m['W2'] = 0.9 * m['W2'] + 0.1 * gradients['W2']
        m['B2'] = 0.9 * m['B2'] + 0.1 * gradients['B2']
        v['W1'] = 0.999 * v['W1'] + 0.001 * gradients['W1'] ** 2
        v['B1'] = 0.999 * v['B1'] + 0.001 * gradients['B1'] ** 2
        v['W2'] = 0.999 * v['W2'] + 0.001 * gradients['W2'] ** 2
        v['B2'] = 0.999 * v['B2'] + 0.001 * gradients['B2'] ** 2
        weights['W1'] -= learning_rate * m['W1'] / (np.sqrt(v['W1']) + 1e-8)
        weights['B1'] -= learning_rate * m['B1'] / (np.sqrt(v['B1']) + 1e-8)
        weights['W2'] -= learning_rate * m['W2'] / (np.sqrt(v['W2']) + 1e-8)
        weights['B2'] -= learning_rate * m['B2'] / (np.sqrt(v['B2']) + 1e-8)
    return weights

這些最佳化方法可以用來訓練神經網路模型，以最小化損失函式。

深度學習基礎

深度學習是一種人工智慧的分支，模仿人類大腦的結構和功能，進行資訊處理和學習。下面是深度學習中的一個簡單神經網路模型的前向傳遞過程：

首先，輸入層的輸入值 X 進行線性變換，得到 M1：

M1 = np.dot(X, weights['W1']) + weights['B1']

然後，M1 進行 sigmoid 啟用函式變換，得到 O1：

O1 = sigmoid(M1)

接下來，O1 進行線性變換，得到 M2：

M2 = np.dot(O1, weights['W2']) + weights['B2']

最後，計算輸出層的輸出值 P 和損失函式 loss：

P = M2
loss = np.mean(np.power(y - P, 2))

為了方便後向傳遞的計算，我們將前向傳遞過程中間的結果儲存在 forward_info 字典中：

forward_info: Dict[str, ndarray] = {}
forward_info['X'] = X
forward_info['M1'] = M1
forward_info['O1'] = O1
forward_info['M2'] = M2
forward_info['P'] = P
forward_info['y'] = y

傳回 forward_info 和 loss。

後向傳遞

後向傳遞的過程與簡單線性迴歸模型類別似，只是這次包含更多步驟。首先，計算輸出層的誤差梯度：

dP = 2 * (P - y)

然後，計算 M2 的誤差梯度：

dM2 = dP

接下來，計算 O1 的誤差梯度：

dO1 = np.dot(dM2, weights['W2'].T)

然後，計算 M1 的誤差梯度：

dM1 = dO1 * sigmoid_derivative(M1)

最後，計算輸入層的誤差梯度：

dX = np.dot(dM1, weights['W1'].T)

視覺化

根據上述步驟，我們可以視覺化神經網路的前向傳遞和後向傳遞過程，如下圖所示：

  graph LR
    X -->|線性變換|> M1
    M1 -->|sigmoid|> O1
    O1 -->|線性變換|> M2
    M2 -->|損失函式|> loss
    loss -->|後向傳遞|> dP
    dP -->|誤差梯度|> dM2
    dM2 -->|誤差梯度|> dO1
    dO1 -->|誤差梯度|> dM1
    dM1 -->|誤差梯度|> dX

圖表翻譯

上述圖表展示了神經網路的前向傳遞和後向傳遞過程。前向傳遞過程中，輸入層的輸入值 X 進行線性變換，得到 M1，然後進行 sigmoid 啟用函式變換，得到 O1。接下來，O1 進行線性變換，得到 M2，最後計算輸出層的輸出值 P 和損失函式 loss。後向傳遞過程中，計算輸出層的誤差梯度 dP，然後計算 M2 的誤差梯度 dM2，接下來計算 O1 的誤差梯度 dO1，然後計算 M1 的誤差梯度 dM1，最後計算輸入層的誤差梯度 dX。

深度學習模型的梯度計算與最佳化

在深度學習中，梯度計算是模型最佳化的關鍵步驟。透過計算損失函式對模型引數的梯度，可以使用最佳化演算法來更新模型引數，從而最小化損失函式。

梯度計算

給定一個深度學習模型，其輸入為 $X$，輸出為 $Y$，模型引數為 $W$ 和 $B$。損失函式為 $L$，其定義為預測輸出與真實輸出之間的差異。

$$L = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (Y_i - \hat{Y}_i)^2$$

其中，$\hat{Y}_i$ 是模型對第 $i$ 個樣本的預測輸出，$Y_i$ 是第 $i$ 個樣本的真實輸出。

為了計算損失函式對模型引數的梯度，我們需要使用鏈式法則（Chain Rule）。鏈式法則是一種用於計算複合函式梯度的方法。

假設我們有兩個函式 $f$ 和 $g$，其複合函式為 $h = f \circ g$。則 $h$ 對 $x$ 的梯度可以計算為：

$$\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial g} \cdot \frac{\partial g}{\partial x}$$

模型引數的梯度計算

現在，我們可以使用鏈式法則來計算損失函式對模型引數的梯度。

假設我們有兩個模型引數 $W_1$ 和 $W_2$，其輸入為 $X$，輸出為 $Y$。則損失函式對 $W_1$ 的梯度可以計算為：

$$\frac{\partial L}{\partial W_1} = \frac{\partial L}{\partial Y} \cdot \frac{\partial Y}{\partial W_1}$$

同樣，損失函式對 $W_2$ 的梯度可以計算為：

$$\frac{\partial L}{\partial W_2} = \frac{\partial L}{\partial Y} \cdot \frac{\partial Y}{\partial W_2}$$

最佳化演算法

有了梯度資訊後，我們可以使用最佳化演算法來更新模型引數。常見的最佳化演算法包括梯度下降法（Gradient Descent）、隨機梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）和 Adam 最佳化演算法等。

梯度下降法是一種基本的最佳化演算法，其更新模型引數的公式為：

$$W_{t+1} = W_t - \alpha \cdot \frac{\partial L}{\partial W}$$

其中，$\alpha$ 是學習率，$W_t$ 是當前時刻的模型引數，$\frac{\partial L}{\partial W}$ 是損失函式對模型引數的梯度。

內容解密：

在上面的公式中，我們使用了鏈式法則來計算損失函式對模型引數的梯度。這個過程需要對模型的輸入和輸出進行微分，並使用鏈式法則來計算梯度。

import numpy as np

# 定義模型引數
W1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
W2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 定義輸入和輸出
X = np.array([[1, 2], [3, 4]])
Y = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 定義損失函式
def loss(Y, Y_hat):
    return np.mean((Y - Y_hat) ** 2)

# 計算損失函式對模型引數的梯度
def gradient(W1, W2, X, Y):
    Y_hat = np.dot(np.dot(X, W1), W2)
    dL_dY = -2 * (Y - Y_hat)
    dL_dW2 = np.dot(np.dot(X, W1).T, dL_dY)
    dL_dW1 = np.dot(X.T, np.dot(dL_dY, W2.T))
    return dL_dW1, dL_dW2

# 更新模型引數
def update(W1, W2, dL_dW1, dL_dW2, alpha):
    W1 -= alpha * dL_dW1
    W2 -= alpha * dL_dW2
    return W1, W2

# 執行最佳化演算法
alpha = 0.01
for i in range(100):
    dL_dW1, dL_dW2 = gradient(W1, W2, X, Y)
    W1, W2 = update(W1, W2, dL_dW1, dL_dW2, alpha)

圖表翻譯：

下圖展示了梯度下降法的更新過程：

  flowchart TD
    A[初始化模型引數] --> B[計算損失函式]
    B --> C[計算梯度]
    C --> D[更新模型引數]
    D --> E[重複步驟]

在這個圖表中，我們可以看到梯度下降法的更新過程。首先，我們初始化模型引數。然後，我們計算損失函式和梯度。接下來，我們更新模型引數。最後，我們重複這個過程直到收斂。

神經網路反向傳遞的數學基礎

在神經網路中，反向傳遞（Backpropagation）是一種用於訓練神經網路的演算法。它的基本思想是透過計算損失函式對每個引數的偏導數，來更新網路中的引數。

損失函式的偏導數

給定一個神經網路，其輸入為 $x$，輸出為 $y$，引數為 $P$，我們可以定義一個損失函式 $L$，用於衡量網路的預測結果與真實結果之間的差異。損失函式的偏導數 $\frac{\partial L}{\partial P}$ 是用於更新引數 $P$ 的關鍵資訊。

反向傳遞的過程

在反向傳遞的過程中，我們需要計算損失函式對每個引數的偏導數。這些偏導數可以透過以下公式計算：

$$ \frac{\partial L}{\partial P} = - (y - \hat{y}) $$

其中，$y$ 是真實結果，$\hat{y}$ 是網路的預測結果。

中間變數的偏導數

在計算損失函式的偏導數時，我們需要計算中間變數的偏導數。例如，假設我們有一個中間變數 $M_2$，其計算公式為：

$$ M_2 = \sigma(N_1 \times W_2 + B_2) $$

其中，$\sigma$ 是啟用函式，$N_1$ 是前一層的輸出，$W_2$ 是權重，$B_2$ 是偏差。

那麼，中間變數 $M_2$ 對於權重 $W_2$ 的偏導數可以計算為：

$$ \frac{\partial M_2}{\partial W_2} = \frac{\partial \sigma(N_1 \times W_2 + B_2)}{\partial W_2} $$

Python 實作

以下是使用 Python 實作上述公式的示例程式碼：

import numpy as np

# 定義啟用函式
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

# 定義損失函式
def loss(y, y_hat):
    return - (y - y_hat)

# 定義中間變數 M2 的計算公式
def calculate_M2(N1, W2, B2):
    return sigmoid(N1 * W2 + B2)

# 定義中間變數 M2 對於權重 W2 的偏導數
def dM2dW2(N1, W2, B2):
    return np.transpose(sigmoid(N1 * W2 + B2) * (1 - sigmoid(N1 * W2 + B2)))

# 定義中間變數 M2 對於偏差 B2 的偏導數
def dM2dB2(N1, W2, B2):
    return np.ones_like(sigmoid(N1 * W2 + B2))

# 定義中間變數 O1 對於中間變數 N1 的偏導數
def dO1dN1(N1, W2, B2):
    return np.transpose(sigmoid(N1 * W2 + B2) * (1 - sigmoid(N1 * W2 + B2)))

# 定義中間變數 N1 對於中間變數 M1 的偏導數
def dN1dM1(M1):
    return np.ones_like(M1)

# 定義中間變數 N1 對於偏差 B1 的偏導數
def dN1dB1(B1):
    return np.ones_like(B1)

圖表說明

下圖示範了神經網路中各個變數之間的關係：

  graph LR
    A[輸入] -->|x|> B[中間變數 M1]
    B -->|M1|> C[中間變數 N1]
    C -->|N1|> D[中間變數 M2]
    D -->|M2|> E[輸出]
    E -->|y|> F[損失函式]
    F -->|L|> G[引數更新]

圖表翻譯：

上述圖表展示了神經網路中各個變數之間的關係。輸入 $x$ 進入中間變數 $M_1$，然後進入中間變數 $N_1$，接著進入中間變數 $M_2$，最後產生輸出 $y$。輸出 $y$ 與真實結果之間的差異被計算為損失函式 $L$，然後用於更新引數。

深度學習基礎

深度學習是一種機器學習的分支，模仿人類大腦的結構和功能，使用多層神經網路對資料進行分析和學習。在本章中，我們將探討深度學習的基礎知識，包括神經網路的結構、啟用函式、損失函式和最佳化演算法等。

神經網路結構

神經網路由多層神經元組成，每層神經元接收前一層的輸出作為輸入，並將自己的輸出傳遞給下一層。最常見的神經網路結構包括全連線網路、卷積網路和迴圈網路等。

全連線網路

全連線網路（Fully Connected Network）是一種最基本的神經網路結構，每個神經元都與前一層的所有神經元相連。全連線網路常用於分類別和迴歸任務。

卷積網路

卷積網路（Convolutional Neural Network）是一種特殊的神經網路結構，常用於影像和語音處理任務。卷積網路使用卷積核和池化層來提取資料的區域性特徵。

迴圈網路

迴圈網路（Recurrent Neural Network）是一種特殊的神經網路結構，常用於序列資料處理任務。迴圈網路使用反饋連線來記憶序列資料的歷史資訊。

啟用函式

啟用函式（Activation Function）是用於神經元輸出的非線性對映，常用於引入非線性因素以提高神經網路的表達能力。常見的啟用函式包括 sigmoid、tanh 和 ReLU 等。

Sigmoid

Sigmoid 函式是一種常見的啟用函式，將輸入對映到 (0, 1) 範圍內。

Tanh

Tanh 函式是一種常見的啟用函式，將輸入對映到 (-1, 1) 範圍內。

ReLU

ReLU 函式是一種常見的啟用函式，將輸入對映到 [0, +∞) 範圍內。

損失函式

損失函式（Loss Function）是用於衡量神經網路預測結果與真實結果之間的差異，常用於最佳化神經網路的引數。常見的損失函式包括均方差和交叉熵等。

均方差

均方差（Mean Squared Error）是一種常見的損失函式，計算預測結果與真實結果之間的平均平方差異。

交叉熵

交叉熵（Cross-Entropy）是一種常見的損失函式，計算預測結果與真實結果之間的交叉熵差異。

最佳化演算法

最佳化演算法（Optimization Algorithm）是用於更新神經網路引數以最小化損失函式，常用於梯度下降法和隨機梯度下降法等。

梯度下降法

梯度下降法（Gradient Descent）是一種常見的最佳化演算法，使用梯度下降法更新引數以最小化損失函式。

隨機梯度下降法

隨機梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）是一種常見的最佳化演算法，使用隨機梯度下降法更新引數以最小化損失函式。

神經網路訓練

神經網路訓練（Neural Network Training）是指使用最佳化演算法更新神經網路引數以最小化損失函式的過程。訓練過程包括前向傳播、反向傳播和權重更新等步驟。

前向傳播

前向傳播（Forward Propagation）是指將輸入資料傳遞給神經網路，每層神經元計算自己的輸出，並將輸出傳遞給下一層。

反向傳播

反向傳播（Backward Propagation）是指計算損失函式對每個神經元輸出的梯度，並將梯度反饋給前一層，以便更新引數。

權重更新

權重更新（Weight Update）是指使用最佳化演算法更新神經網路引數，以最小化損失函式。

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從底層實作到高階應用的全面檢視顯示，梯度下降法家族的最佳化演算法在深度學習模型訓練中扮演著至關重要的角色。透過多維度效能指標的實測分析，我們可以發現，簡單的梯度下降法雖然易於理解和實作，但在處理大規模資料集時，其計算成本相對較高。隨機梯度下降法透過逐樣本計算梯度，有效降低了計算複雜度，但也引入了梯度估計的噪聲，可能導致收斂速度波動。而Adam最佳化演算法，藉由整合動量與自適應學習率的機制，在收斂速度和穩定性方面取得了更佳的平衡。

技術堆疊的各層級協同運作中體現，選擇合適的最佳化演算法需要考量多重因素，例如資料集規模、模型複雜度、以及可用的計算資源等。對於小型資料集和簡單模型，梯度下降法可以快速收斂到最優解。而對於大規模資料集和複雜模型，Adam最佳化演算法通常是更佳的選擇。此外，學習率的調整策略也至關重要，它直接影響模型的收斂速度和最終效能。過小的學習率可能導致訓練時間過長，而過大的學習率則可能導致模型無法收斂。

觀察產業鏈上下游的技術選擇，Adam最佳化演算法已成為深度學習領域的主流最佳化演算法之一。它被廣泛應用於各種深度學習模型的訓練，例如影像識別、自然語言處理和強化學習等。然而，Adam演算法也存在一些侷限性，例如在某些特定場景下可能出現泛化效能不足的問題。

玄貓認為，隨著深度學習技術的持續發展，未來將出現更多高效且穩定的最佳化演算法。這些新演算法將進一步提升深度學習模型的訓練效率和效能，並推動人工智慧技術在更廣泛領域的應用。對於重視長期穩定性的企業，持續關注並評估新興最佳化演算法的發展，將有助於保持技術優勢。

玄貓

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技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。