深度學習是機器學習的一個子領域，其核心概念是利用多層神經網路模型來學習複雜的資料模式。在訓練深度學習模型之前，理解機器學習的基礎至關重要。監督式學習是機器學習的一種常見方法，它使用已標記的資料來訓練模型，使模型能夠對新資料進行預測。線性迴歸是一種基本的監督式學習演算法，它假設目標變數與輸入特徵之間存線上性關係。深度學習模型通常具有多個隱藏層，例如全連線神經網路、卷積神經網路和迴圈神經網路等。模型訓練的過程涉及損失函式的選擇、最佳化演算法的選擇以及超引數的調整。模型評估通常使用交叉驗證和一些測量指標，例如均方誤差或準確率。隨著深度學習技術的發展，它在各個領域的應用將會更加廣泛，但同時也面臨著一些挑戰，例如模型的可解釋性、安全性和公平性等問題。
2. 深度學習基礎
在深入探討深度學習模型之前，瞭解機器學習的基礎尤為重要。機器學習是一種人工智慧的分支，讓電腦系統可以在沒有明確程式指令的情況下學習和改善其效能。其中，監督式學習（Supervised Learning）是一種常見的機器學習方法，涉及使用已標記的資料來訓練模型，以便模型能夠對新資料進行預測。
2.1 監督式學習
監督式學習的目標是建立一個能夠從輸入資料中學習出模式或關係的模型，並利用這個模型對未知資料進行預測。這種學習方式需要一個已標記的資料集，其中每個樣本都有一個對應的目標變數。模型透過最小化損失函式（Loss Function）來最佳化其引數，從而提高預測的準確性。
2.1.1 線性迴歸
線性迴歸是一種基本的監督式學習演算法，用於預測連續值的目標變數。它假設目標變數與輸入特徵之間存線上性關係，並使用最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）來估計模型引數。
2.2 深度學習模型
深度學習模型是指具有多個隱藏層的神經網路，它們能夠學習和表示複雜的資料模式。這類別模型包括但不限於全連線神經網路（Fully Connected Neural Networks）、卷積神經網路（Convolutional Neural Networks, CNNs）和迴圈神經網路（Recurrent Neural Networks, RNNs）。
2.2.1 全連線神經網路
全連線神經網路是最基本的一種深度學習模型，每個層的神經元都與前一層的所有神經元相連。這種結構使得模型能夠學習到資料中的複雜關係，但也容易過度擬合，特別是在資料量較少的情況下。
2.3 模型訓練和評估
模型訓練的過程涉及到損失函式的選擇、最佳化演算法的選擇以及超引數的調整。評估模型的效能通常使用交叉驗證（Cross-Validation）和測量指標如均方誤差（Mean Squared Error, MSE）或準確率（Accuracy）。
2.3.1 損失函式
損失函式是用於衡量模型預測值與真實值之間差異的函式。不同的損失函式適用於不同的問題，如均方誤差適用於迴歸問題，交叉熵損失（Cross-Entropy Loss）適用於分類別問題。
2.4 未來展望
隨著深度學習技術的不斷發展，它在各個領域中的應用將會更加廣泛和深入。然而，如何解釋模型的決策過程、如何確保模型的安全性和公平性等問題仍需要進一步研究和解決。
graph LR
A[資料集] -->|訓練|> B[模型]
B -->|預測|> C[結果]
C -->|評估|> D[效能]
D -->|調整|> B
圖表翻譯：
上述流程圖描述了機器學習模型從資料集到最終預測結果的過程。首先，資料集被用於訓練模型，然後模型對新資料進行預測，得到結果。接著，結果被評估以衡量模型的效能，最後根據評估結果對模型進行調整，以期提高其效能。這個過程是迭代的，直到模型達到期望的效能為止。
線性迴歸：批次處理和損失計算
在深度學習中，線性迴歸是一種基本的模型，用於預測連續值的目標變數。給定一組輸入資料 $X$ 和對應的目標變數 $y$，我們的目標是找到一組最佳的權重 $W$ 和偏差項 $b$，使得預測值與實際值之間的差異最小。
線性迴歸模型
線性迴歸模型可以表示為：
$$y = XW + b$$
其中，$X$ 是輸入資料，$W$ 是權重，$b$ 是偏差項。
批次處理
在實際應用中，我們通常會將資料分成批次進行處理。給定一個批次的輸入資料 $X_{batch}$ 和對應的目標變數 $y_{batch}$，我們可以計算預測值和損失函式。
損失函式是一種度量預測值與實際值之間差異的指標。常用的損失函式包括均方差（Mean Squared Error, MSE）：
$$L = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$$
其中，$n$ 是批次大小，$y_i$ 是實際值，$\hat{y}_i$ 是預測值。
程式碼實作
以下是 Python 程式碼實作：
import numpy as np
def forward_linear_regression(X_batch, y_batch, weights):
"""
線性迴歸的前向傳播。
Parameters:
X_batch (ndarray): 輸入資料
y_batch (ndarray): 目標變數
weights (dict): 權重和偏差項
Returns:
loss (float): 損失函式值
cache (dict): 中間結果
"""
# 檢查輸入資料和目標變數的大小
assert X_batch.shape[0] == y_batch.shape[0]
# 檢查權重和輸入資料的大小
assert X_batch.shape[1] == weights['W'].shape[0]
# 檢查偏差項的大小
assert weights['B'].shape[0] == weights['B'].shape[1] == 1
# 計算預測值
predictions = np.dot(X_batch, weights['W']) + weights['B']
# 計算損失函式
loss = np.mean((y_batch - predictions) ** 2)
# 儲存中間結果
cache = {'predictions': predictions}
return loss, cache
計算圖
線性迴歸的計算圖可以表示為：
graph LR
X[輸入資料] -->|dot|> W[權重]
W -->|add|> B[偏差項]
B -->|output|> Y[預測值]
Y -->|loss|> L[損失函式]
圖表翻譯
上述計算圖表示了線性迴歸模型的前向傳播過程。輸入資料 $X$ 和權重 $W$ 進行點積運算，然後加上偏差項 $B$，得到預測值 $Y$。最後，計算預測值和實際值之間的差異，得到損失函式值 $L$。
神經網路計算
首先，我們需要計算神經網路的輸出。假設我們有輸入資料 X_batch、權重 weights['W'] 和偏差 weights['B']，我們可以計算網路的輸出 N 和 P。
import numpy as np
N = np.dot(X_batch, weights['W'])
P = N + weights['B']
接下來，我們需要計算損失函式 loss，它是預測值 P 和實際值 y_batch 之間的均方差。
loss = np.mean(np.power(y_batch - P, 2))
為了方便後續的計算，我們將中間結果儲存起來。
forward_info: Dict[str, ndarray] = {}
forward_info['X'] = X_batch
forward_info['N'] = N
forward_info['P'] = P
forward_info['y'] = y_batch
現在，我們已經完成了前向傳播的計算，接下來我們需要進行反向傳播，以計算梯度。
模型訓練
模型訓練的目的是要找到最佳的權重和偏差，使得損失函式最小。為了做到這一點，我們需要計算梯度，並使用最佳化演算法更新權重和偏差。
首先，我們需要計算損失函式對於權重和偏差的偏導數。
dL_dw = np.dot(X_batch.T, 2 * (P - y_batch))
dL_db = 2 * np.mean(P - y_batch)
接下來，我們可以使用最佳化演算法更新權重和偏差。
weights['W'] -= learning_rate * dL_dw
weights['B'] -= learning_rate * dL_db
這就是模型訓練的基本流程。透過不斷地迭代前向傳播和反向傳播，我們可以找到最佳的權重和偏差，使得損失函式最小。
梯度計算
梯度計算是模型訓練中非常重要的一部分。透過計算梯度，我們可以知道如何更新權重和偏差，以使得損失函式最小。
以下是梯度計算的公式：
dL_dw = np.dot(X_batch.T, 2 * (P - y_batch))
dL_db = 2 * np.mean(P - y_batch)
這兩個公式分別計算了損失函式對於權重和偏差的偏導數。
線性迴歸的反向傳播
線上性迴歸中，反向傳播是一個重要的過程，用於計算模型引數的梯度。這個過程涉及計算每個引數對損失函式的偏導數。
數學表示
根據圖 2.5，我們想要計算以下的乘積：
$$ \frac{\partial L}{\partial W} = \frac{\partial L}{\partial P} \cdot \frac{\partial P}{\partial N} \cdot \frac{\partial N}{\partial W} $$
第一步：計算 $\frac{\partial L}{\partial P}$
由於 $L = (Y - P)^2$，我們可以計算 $\frac{\partial L}{\partial P}$ 如下：
$$ \frac{\partial L}{\partial P} = -2 \cdot (Y - P) $$
這個表示式可以用以下程式碼實作：
dLdP = -2 * (Y - P)
第二步：計算 $\frac{\partial P}{\partial N}$
由於 $P = N + B$，我們可以計算 $\frac{\partial P}{\partial N}$ 如下：
$$ \frac{\partial P}{\partial N} = 1 $$
這個表示式可以用以下程式碼實作：
dPdN = np.ones_like(N)
第三步：計算 $\frac{\partial N}{\partial W}$
由於 $N = X \cdot W$，我們可以計算 $\frac{\partial N}{\partial W}$ 如下：
$$ \frac{\partial N}{\partial W} = X^T $$
這個表示式可以用以下程式碼實作：
dNdW = np.transpose(X, (1, 0))
第四步：計算 $\frac{\partial P}{\partial B}$
由於 $P = N + B$，我們可以計算 $\frac{\partial P}{\partial B}$ 如下：
$$ \frac{\partial P}{\partial B} = 1 $$
這個表示式可以用以下程式碼實作：
dPdB = np.ones_like(weights['B'])
最終結果
現在，我們可以計算模型引數的梯度了。以下是最終的程式碼：
def loss_gradients(forward_info, weights):
dLdP = -2 * (forward_info['y'] - forward_info['P'])
dPdN = np.ones_like(forward_info['N'])
dPdB = np.ones_like(weights['B'])
dNdW = np.transpose(forward_info['X'], (1, 0))
# 計算梯度
dLdW = dLdP * dPdN * dNdW
dLdB = dLdP * dPdB
return {'dLdW': dLdW, 'dLdB': dLdB}
這個函式計算了模型引數 $W$ 和 $B$ 的梯度，並傳回一個字典包含這兩個梯度。
基礎神經網路訓練過程
在神經網路的訓練過程中，我們需要計算損失函式對模型引數的梯度。這個過程涉及到鏈式法則（chain rule）的應用，以計算出損失函式對每個引數的梯度。
鏈式法則應用
給定損失函式 (L)、模型輸出 (P)、模型引數 (N) 和 (W)，我們可以使用鏈式法則計算出損失函式對模型引數的梯度：
[ \frac{\partial L}{\partial N} = \frac{\partial L}{\partial P} \cdot \frac{\partial P}{\partial N} ]
[ \frac{\partial L}{\partial W} = \frac{\partial L}{\partial P} \cdot \frac{\partial P}{\partial W} ]
梯度計算
在實際計算中，我們需要計算出 (\frac{\partial L}{\partial P})、(\frac{\partial P}{\partial N}) 和 (\frac{\partial P}{\partial W})。
假設我們已經計算出了 (\frac{\partial L}{\partial P})，我們可以使用以下公式計算出 (\frac{\partial P}{\partial N}) 和 (\frac{\partial P}{\partial W})：
[ \frac{\partial P}{\partial N} = \text{forward_info[‘X’]}^T ]
[ \frac{\partial P}{\partial W} = \text{forward_info[‘X’]} \cdot \frac{\partial L}{\partial P} ]
更新模型引數
計算出梯度後，我們可以使用梯度下降法更新模型引數：
for key in weights.keys():
weights[key] -= learning_rate * loss_grads[key]
訓練過程
整個訓練過程可以分為以下幾個步驟：
- 選擇一批資料。
- 進行前向傳播（forward pass）。
- 進行反向傳播（backward pass），計算出梯度。
- 更新模型引數。
程式碼實作
以下是訓練過程的程式碼實作：
def train(X, y, weights, learning_rate, num_epochs):
for epoch in range(num_epochs):
# 打亂資料順序
X, y = shuffle(X, y)
# 分批次訓練
for batch in range(0, len(X), batch_size):
X_batch = X[batch:batch+batch_size]
y_batch = y[batch:batch+batch_size]
# 前向傳播
forward_info, loss = forward_loss(X_batch, y_batch, weights)
# 反向傳播
loss_grads = loss_gradients(forward_info, weights)
# 更新模型引數
for key in weights.keys():
weights[key] -= learning_rate * loss_grads[key]
注意，這裡的 forward_loss 和 loss_gradients 是兩個函式，分別用於計算前向傳播和反向傳播的結果。
線性迴歸模型的訓練與評估
在深度學習中，線性迴歸是一種基本的模型，用於預測連續值的目標變數。給定輸入特徵 $X$ 和權重 $w$，線性迴歸模型的輸出可以表示為 $y = w^T X + b$，其中 $b$ 是偏差項。
訓練過程
訓練線性迴歸模型的目的是找到最佳的權重 $w$ 和偏差項 $b$，使得模型在訓練資料上的預測誤差最小。這通常是透過最小化損失函式（loss function）來實作的，例如均方誤差（mean squared error, MSE）。
給定訓練資料 $(X, y)$，我們可以使用梯度下降法（gradient descent）來更新權重 $w$ 和偏差項 $b$。具體來說，權重 $w$ 的更新規則為：
$$ w -= \alpha \cdot \frac{\partial L}{\partial w} $$
其中，$\alpha$ 是學習率（learning rate），$L$ 是損失函式，$\frac{\partial L}{\partial w}$ 是損失函式對於權重 $w$ 的偏導數。
評估模型
訓練完成後，我們需要評估模型在測試資料上的效能。常用的評估指標包括平均絕對誤差（mean absolute error, MAE）和均方根誤差（root mean squared error, RMSE）。
MAE
MAE 是預測值和實際值之間的絕對差值的平均值。它可以表示為：
$$ MAE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \hat{y}_i| $$
其中，$y_i$ 是實際值，$\hat{y}_i$ 是預測值，$n$ 是樣本數。
RMSE
RMSE 是預測值和實際值之間的平方差值的平均值的平方根。它可以表示為：
$$ RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2} $$
RMSE 和 MAE 都可以用於評估模型的效能，但是 RMSE 更加敏感於異常值。
實作
以下是使用 Python 實作線性迴歸模型的簡單示例：
import numpy as np
def predict(X, weights):
"""
預測函式。
Parameters:
X (ndarray): 輸入特徵。
weights (dict): 權重和偏差項。
Returns:
ndarray: 預測值。
"""
N = np.dot(X, weights['W'])
return N + weights['B']
def mae(preds, actuals):
"""
計算平均絕對誤差。
Parameters:
preds (ndarray): 預測值。
actuals (ndarray): 實際值。
Returns:
float: 平均絕對誤差。
"""
return np.mean(np.abs(preds - actuals))
def rmse(preds, actuals):
"""
計算均方根誤差。
Parameters:
preds (ndarray): 預測值。
actuals (ndarray): 實際值。
Returns:
float: 均方根誤差。
"""
return np.sqrt(np.mean((preds - actuals) ** 2))
基礎神經網路模型
在瞭解基礎神經網路模型之前，我們需要先了解一些基本概念。神經網路是一種由多層神經元組成的結構，每一層都會對輸入的資料進行特定的運算。最基本的神經網路模型包括輸入層、隱藏層和輸出層。
輸入層
輸入層負責接收外部資料，例如圖片、文字或資料。這些資料會被轉換成數值型式，以便神經網路進行處理。
隱藏層
隱藏層是神經網路的核心部分，它們負責對輸入的資料進行特定的運算，以提取有用的特徵。隱藏層可以有多個，每一層都會對前一層的輸出進行運算。
輸出層
輸出層負責產生最終的預測結果。根據不同的任務，輸出層可能會產生不同的結果，例如分類別結果或迴歸結果。
基礎神經網路模型的實作
下面是一個基礎神經網路模型的實作範例：
import numpy as np
def sigmoid(x):
return 1 / (1 + np.exp(-x))
def forward_loss(X, y, weights):
M1 = np.dot(X, weights['W1'])
N1 = M1 + weights['B1']
P = sigmoid(N1)
M2 = np.dot(P, weights['W2'])
N2 = M2 + weights['B2']
loss = np.mean((N2 - y) ** 2)
return loss, {'M1': M1, 'N1': N1, 'P': P, 'M2': M2, 'N2': N2}
# 定義權重
weights = {
'W1': np.random.rand(13, 13),
'B1': np.zeros((13,)),
'W2': np.random.rand(13, 1),
'B2': np.zeros((1,))
}
# 定義輸入和輸出
X = np.random.rand(100, 13)
y = np.random.rand(100, 1)
# 執行前向傳播
loss, forward_info = forward_loss(X, y, weights)
print(loss)
這個範例實作了一個簡單的神經網路模型，包含兩個隱藏層和一個輸出層。模型使用sigmoid啟用函式和均方差損失函式。
神經網路的訓練
神經網路的訓練目的是調整模型的權重，以最小化損失函式。常用的訓練方法包括梯度下降法、隨機梯度下降法和Adam最佳化法等。
從技術架構視角來看，本文循序漸進地介紹了深度學習的基礎知識，涵蓋監督式學習、線性迴歸、深度學習模型、模型訓練和評估以及未來展望等關鍵導向。透過線性迴歸的批次處理、損失計算、計算圖解說以及Python程式碼範例，深入淺出地闡述了模型運作的原理。此外，文章也探討了神經網路的計算過程、梯度計算、反向傳播機制以及基礎神經網路的訓練流程，並提供了具體的程式碼範例，有助於讀者理解並實作。然而，目前僅以線性迴歸和基礎神經網路模型為例，尚未涵蓋其他重要的深度學習模型，例如卷積神經網路（CNN）和迴圈神經網路（RNN）。展望未來，深度學習技術的發展將持續精進模型的效能和效率，並拓展至更多元的應用領域。對於想要深入研究深度學習的開發者而言，建議進一步探索不同模型的架構、特性和應用場景，並持續關注最新的技術發展趨勢。
