現代嵌入式系統中，類比數位轉換器（ADC）扮演著橋樑的角色，將現實世界的類比訊號轉換為處理器可以理解的數位訊號。ADC 的解析度決定了數位訊號的精確度，更高的解析度意味著更精確的數位表示，但也增加了硬體成本和複雜度。處理器透過控制訊號來觸發 ADC 進行訊號取樣和轉換，並從 ADC 的結果暫存器中讀取轉換後的數位訊號。ADC 的轉換過程需要一定的時間，處理器必須等待轉換完成才能讀取有效資料，避免資料覆寫。理解 ADC 與處理器的協作機制對於設計高效能的數位訊號處理系統至關重要。
2.9 處理器如何處理ADC？
通常，使用最廣泛的是12位ADC。較低解析度的ADC具有8位或10位。16位ADC也相當常見。具有24位解析度和更高的ADC通常用於特殊應用，例如軍事或航太，需要高精確度，這些ADC通常更昂貴。位數轉換為量化級別。12位意味著2^12 = 4096，如前所述，計算某個二進位制數字的不同級別。這反過來又轉換為4095級別（減1）。具有如此多的量化級別，通常可以接受代表模擬訊號在數位形式中的精確度。
雖然不可能檢查樣本訊號如何分配到特定級別，但填補這個空白是必要的。為了執行這個分配，ADC具有多個比較器，比較訊號值與對應於每個級別的參考值。這些電壓參考值是由ADC晶片提供的電源和ADC的電壓範圍生成的。例如，大多數由3V供電的ADC將其輸入範圍指定為0到3V。這意味著連線到輸入的任何訊號都必須在此範圍內。透過這種方式，ADC內部將電壓範圍分為所需的級別。因此，12位ADC將0到3V分為4095級別。
為了將樣本輸入訊號分配到這些級別之一，將需要大量的比較器。因此，增加解析度將增加ADC的成本，因為硬體的複雜性隨著比較器的增加而增加。最終結果將儲存在結果暫存器中，並提供給處理器。如您所見，轉換過程中的任務是井然有序的。直到轉換完成，結果才可用，如果結果暫存器中存在任何東西，都不應該使用。同樣，轉換應該在上一次結果被使用後開始，否則我們將面臨覆寫結果的風險。在下一節中，我們將描述處理器和ADC如何介面。
2.9 處理器如何處理ADC？
在前一節中，我們介紹了ADC，並看到ADC樣本訊號並將其轉換為數位數字。下一個問題是，這個過程如何被規範？這個過程通常由處理器規範，在本節中，我們將研究ADC和處理器之間的協調。
圖2.7顯示處理器和ADC如何通訊。首先，ADC需要一個命令來開始樣本。處理器透過控制程式碼決定樣本應該多久發生一次，並提供ADC用於啟動樣本的訊號。這通常被稱為轉換開始（SOC）過程。當ADC完成量化並將訊號轉換為12位二進位制數字時，該數字儲存在結果暫存器中。為了指示ADC有一個可用的結果，它將…
數位訊號處理基礎
訊號處理入門
3.1 簡介
在前一章中，我們使用非工程和一些知名的電氣工程例子介紹了數位訊號處理（DSP）。我們還比較了DSP和類比訊號處理的優缺點。有了DSP的概覽，在本章中，我們將深入探討訊號處理理論。
本章中，我們將從由被動元件（如電感和電容）組成的電路開始，探討它們的濾波器屬性。使用網路法則，我們將分析基本濾波器，如LC濾波器，以建立頻率依賴行為的基礎。然後，我們將介紹拉普拉斯變換，檢查其轉換常見電氣訊號和電路法則的屬性。我們還將檢查拉普拉斯變換的影響和所得函式的重要性。最後，我們將探討如何將系統從連續域轉換為數位域。
本章將以基本例子介紹理論，但不會開始實際濾波或濾波器的效能。 本章的重點是瞭解如何從時間域表示系統轉換為頻率域表示。這個頻率域表示是訊號處理的基本基礎，因為它允許我們分析系統在不同頻率下的行為。
內容解密：
本章節的內容主要是介紹數位訊號處理的基礎概念，包括取樣的重要性和濾波器的基本原理。同時，也提到了拉普拉斯變換在訊號處理中的作用和重要性。這些概念是訊號處理的基礎，對於後續章節的理解至關重要。
graph LR
A[時間域表示] --> B[拉普拉斯變換]
B --> C[頻率域表示]
C --> D[訊號處理]
D --> E[濾波器設計]
E --> F[系統分析]
圖表翻譯：
這個圖表展示了訊號處理的基本流程。從時間域表示開始，經過拉普拉斯變換，轉換為頻率域表示。然後，使用頻率域表示進行訊號處理，包括濾波器設計和系統分析。這個流程是訊號處理的核心，對於理解訊號處理的基本原理至關重要。
3.2 回顧電容器和電感器
在第二章中，我們看到了一些基本的濾波器範例，使用電容器和電感器作為濾波器。現在，讓我們繼續探討類似的模擬濾波器，但試著從數學的角度來看待這個過程。例如，電容器濾波器的主要方程式是：
[ i = C \frac{dv}{dt} ]
[ v = \frac{1}{C} \int i dt ]
讓我們試著將電容器的物理特性對映到這些方程式中。電容器支路中的電流是電壓隨時間的導數，這意味著電流會增加當電壓變化迅速時。作為極端情況，如果電壓是恆定的（直流電壓），則電流將為零，因為電壓不變，導數為零。物理上，如果你在電容器上施加直流電壓，它會充電到與施加電壓相同的電壓之後，電流將為零。現在，作為另一個極端情況，使用高頻雜訊訊號作為施加電壓。現在，變化率很高，因為它本身就是高頻訊號。電容器中的電流將很高，並且是高頻分量。
電容器會阻擋直流電流並允許高頻電流透過。
那麼，(3.2)中的積分關係呢？它的作用與此相反。積分等同於時間上的總和，因此你會隨著時間積累，這會產生平滑的效果。隨著時間的推移，小事件的重要性會降低，主要事件才是重要的。例如，你不會記得每次支付手機費用的時間，但你會記得買手機的時間。因為前者是小事件，後者是大事件。因此，電容器上的電壓會比電容器支路中的電流平滑得多。
現在，讓我們看一下電感器。電感器的方程式與電容器相反：
[ v = L \frac{di}{dt} ]
[ i = \frac{1}{L} \int v dt ]
從(3.3)的微分關係中，可以看出電感器上的電壓與電流的變化率直接成比例。與前面的情況一樣，極端情況很有趣。如果電流是恆定的（直流），則電壓將為零，因為電流永遠不變，變化率為零。如果電流是高頻雜訊，則電壓將很高，因為高頻意味著高變化率。
(3.3)中的電壓在物理上代表什麼意思？(3.3)中的電壓實際上是由法拉第的電磁感應定律產生的感應電動勢。這種感應電動勢總是與產生它的原因相反。因此，(3.3)中的電感器上的電壓是電感器對外部電路的反對。所以，如果電壓為零，則電感器不提供任何反對（零阻抗），而如果電壓很高，則電感器強烈地反對外部電路試圖透過它的電流。因此，電感器會阻擋高頻訊號並允許低頻訊號更容易地透過。
現在，讓我們檢查(3.4)中的積分關係。與前面一樣，積分具有平滑效果。所以，如果電壓是高頻訊號，則電流會減少高頻分量的影響。如果電壓是低頻訊號，則電流可能會增加到相當大的值。極端情況是，如果電壓是直流，則電流會不斷增加。在實踐中，電感器會飽和，可能會在某個限制後燒毀。
從上面的討論中，你會發現電容器和電感器在任何電路中幾乎像對立面一樣行事。電容器會阻擋直流電流並允許高頻電流透過，而電感器會允許直流電流透過並阻擋高頻電流。這些特性使電容器和電感器在幾乎每個電路中都被用作濾波器，如下所示。
內容解密：
在這個章節中，我們探討了電容器和電感器的基本方程式和其物理特性。電容器的電流是電壓的導數，而電感器的電壓是電流的導數。這些特性使電容器和電感器在濾波器中發揮著重要作用。電容器可以阻擋直流電流並允許高頻電流透過，而電感器可以允許直流電流透過並阻擋高頻電流。這些特性使電容器和電感器在電路中被廣泛用作濾波器。
flowchart TD
A[電容器] --> B[阻擋直流電流]
B --> C[允許高頻電流]
A --> D[電感器]
D --> E[允許直流電流]
E --> F[阻擋高頻電流]
圖表翻譯：
這個圖表展示了電容器和電感器的基本特性。電容器會阻擋直流電流並允許高頻電流透過，而電感器會允許直流電流透過並阻擋高頻電流。這些特性使電容器和電感器在電路中被廣泛用作濾波器。
篩選器的組合：電感器和電容器
在前一節中，我們討論瞭如何使用電容器和電感器作為篩選器。在本節中，我們將探討由電感器和電容器組成的篩選器。作為一個起始例子，如果我們有一個訊號，並希望平滑它（即移除或減少高頻率成分），一個典型的篩選器將是LC篩選器，如圖3.1所示。在這種篩選器中，輸入訊號$v_{in}$可能包含高頻率成分，我們希望移除它們。
讓我們拆解這個電路，並分別檢查電感器和電容器的行為。行為將在我們寫下描述電路的方程式時變得明顯。方程式可以寫成：
$$i = \frac{1}{L} \int (v_{in} - v_{o}) dt$$
$$v_{o} = \frac{1}{C} \int i dt$$
從第一個方程式中，可以看出電感器的固有性質，即由於積分運算，電流將比輸入電壓更平滑，輸入中的高頻率成分將在電流中被衰減。這符合我們在前一節的結論，即電感器阻止高頻率成分，允許低頻率成分透過。
從第二個方程式中，可以看出電容器的固有性質，即積分運算將導致輸出電壓$v_{o}$比電流$i$具有更低的高頻率成分。由於電流已經被電感器過濾，輸出電壓$v_{o}$將比輸入電壓$v_{in}$具有更低的高頻率成分。可以看到，雙重過濾發生了。
這裡可能會出現一個小小的困惑。電容器的性質允許高頻率電流成分透過，同時阻止低頻率成分。與電感器相比，電感器的阻止性質阻止了高頻率成分，這與我們的過濾目標一致。然而，電容器似乎存在衝突。實際上，這不是衝突，而是協助我們的過濾目標。
電感器形成了輸入和輸出之間的串聯連線。因此，阻止高頻率成分是明顯的好處。電容器另一方面，與輸出並聯連線。在圖3.1中，輸出端子顯示為開路端子。在實際中，另一電路將連線到這些端子。電容器允許電感器電流中的高頻率成分透過它，從而保護輸出電路免受這些高頻率成分的影響。
下一個問題是，如果電容器的電流主要是高頻率成分，輸出電壓如何沒有這些高頻率成分？為瞭解決這個問題，看看第二個方程式。由於積分運算，即使電容器的電流具有高頻率成分，輸出電壓也會看到它們被衰減。這就是為什麼在許多電路中，你會找到電容器連線在需要平滑電壓的節點。
這就是說電感器和電容器在設計篩選器時是如何相互配合的。電感器扮演了第一個角色，即阻止高頻率成分。剩下的高頻率成分由電容器繞過，電容器起到了某種誘餌的作用，同時也在其端子上產生了一個相對平滑的電壓。
3.4 轉換的概念
在工程和科學中，我們始終都在處理方程式。方程式對於科學家和工程師來說，就像食物對於美食家一樣，因為它們提供瞭解決問題和描述物理現象的方法。沒有方程式，科學就無法發展。通常，我們把數學和方程式視為必須忍受的東西，而不是工具。然而，數學和方程式是科學和工程的基礎。
有許多種類的方程式，包括多項式方程式、普通微分方程式、偏微分方程式等。每種方程式都有其特點和解法。重要的是要注意，沒有哪種方程式是毫無用處的。每種方程式都有其應用和意義。
當你有一個方程式時，你可以解它、分析它、得出結論。但是，是否可以將這個方程式轉換成另一個完全不同的形式？如果可以的話，你就可以重複這個過程：解、分析、得出結論。由於方程式的形式不同，結論可能會完全不同。從理論上講，轉換方程式的次數是無限的，每次轉換都可能得出不同的結論或提供新的見解。
3.5 拉普拉斯轉換
拉普拉斯轉換是由拉普拉斯在1785年左右提出的一種轉換操作。它是科學和工程史上最重要的轉換之一。拉普拉斯對數學和物理學做出了巨大的貢獻，特別是在18世紀末和19世紀初。當時，法國正在經歷巨大的變革，拿破崙時代的數學得到了極大的重視。
拉普拉斯轉換是一個定積分，從0到無窮大，對時間函式f(t)進行積分。拉普拉斯轉換的符號通常用L表示，時間函式用f(t)表示。積分的結果是一個新的函式F(s)，它是原始函式f(t)在s域下的表示。
拉普拉斯轉換的方程式如下：
L{f(t)} = F(s) = ∫∞0 f(t)e−stdt
這個方程式描述了拉普拉斯轉換的過程。積分從0到無窮大，對時間函式f(t)進行積分。結果是一個新的函式F(s)，它是原始函式f(t)在s域下的表示。
內容解密：
拉普拉斯轉換是一種重要的轉換操作，它可以將時間函式轉換成s域下的函式。這個轉換可以幫助我們解決許多工程和科學問題。拉普拉斯轉換的方程式是個定積分，從0到無窮大，對時間函式f(t)進行積分。結果是一個新的函式F(s)，它是原始函式f(t)在s域下的表示。
圖表翻譯：
flowchart TD
A[時間函式f(t)] --> B[拉普拉斯轉換]
B --> C[s域下的函式F(s)]
C --> D[解決工程和科學問題]
這個圖表描述了拉普拉斯轉換的過程。時間函式f(t)經過拉普拉斯轉換，變成s域下的函式F(s)。這個轉換可以幫助我們解決許多工程和科學問題。
拉普拉斯變換：時間域到頻率域的橋樑
拉普拉斯變換是一種強大的工具，能夠將時間域的函式轉換為頻率域的函式。這種變換的基本思想是將時間域的函式 $f(t)$ 轉換為頻率域的函式 $F(s)$，其中 $s$ 是頻率變數。
拉普拉斯變換的定義為：
$$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$$
其中 $f(t)$ 是時間域的函式，$s$ 是頻率變數。
拉普拉斯變換可以應用於任何時間域的函式，包括微分方程、積分方程和其他型別的方程。這種變換的重要性在於它可以將時間域的函式轉換為頻率域的函式，使得訊號處理和分析變得更加簡單。
拉普拉斯變換的例子
讓我們考慮一下拉普拉斯變換的一些例子。對於電氣工程師來說，正弦和餘弦函式是最重要的訊號。讓我們推導一下這些函式的拉普拉斯變換。
假設 $f(t) = \sin \omega t$，其中 $\omega$ 是角頻率。使用拉普拉斯積分，我們可以得到：
$$F(s) = \int_{0}^{\infty} \sin \omega t e^{-st} dt$$
這個積分看起來很難以求解，但是如果我們使用三角函式的指數形式來表示正弦函式，就可以簡化這個積分。三角函式的指數形式為：
$$\sin \omega t = \frac{e^{j \omega t} - e^{-j \omega t}}{2j}$$
其中 $j$ 是虛數單位。
使用這個公式，我們可以將拉普拉斯積分重寫為：
$$F(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{j \omega t} - e^{-j \omega t}}{2j} e^{-st} dt$$
這個積分可以簡化為：
$$F(s) = \frac{1}{2j} \int_{0}^{\infty} e^{-(s-j \omega) t} - e^{-(s+j \omega) t} dt$$
這個積分可以使用基本的積分公式來求解，得到：
$$F(s) = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$
這是正弦函式的拉普拉斯變換。
內容解密：
在這個例子中，我們使用拉普拉斯變換將正弦函式轉換為頻率域的函式。這個過程涉及使用三角函式的指數形式來表示正弦函式，然後使用拉普拉斯積分來求解。最終結果是得到正弦函式的拉普拉斯變換，這是一個簡單的有理函式。
圖表翻譯：
以下是拉普拉斯變換的Mermaid圖表：
flowchart TD
A[時間域函式 f(t)] --> B[拉普拉斯變換]
B --> C[頻率域函式 F(s)]
C --> D[訊號處理和分析]
這個圖表展示了拉普拉斯變換的基本過程，從時間域函式 $f(t)$ 到頻率域函式 $F(s)$，然後到訊號處理和分析。
拉普拉斯變換在訊號分析中的應用
拉普拉斯變換是一種重要的訊號分析工具，廣泛應用於電氣工程、控制系統、訊號處理等領域。它可以將時域訊號轉換為頻域訊號，從而方便地分析訊號的頻率特性。
指數函式的拉普拉斯變換
首先，讓我們考慮指數函式的拉普拉斯變換。指數函式的拉普拉斯變換可以表示為：
$$\int_{t_1}^{t_2} e^{\alpha t} dt = \frac{1}{\alpha} (e^{\alpha t_2} - e^{\alpha t_1})$$
這個結果對於後面的分析非常重要。
正弦函式的拉普拉斯變換
接下來，讓我們考慮正弦函式的拉普拉斯變換。正弦函式可以表示為：
$$f(t) = \sin \omega t$$
使用拉普拉斯變換，我們可以得到：
$$F(s) = \int_{0}^{\infty} \sin \omega t e^{-st} dt$$
使用積分的結果，我們可以得到：
$$F(s) = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$
這個結果顯示了正弦函式的拉普拉斯變換是一個二次多項式。
餘弦函式的拉普拉斯變換
同樣地，讓我們考慮餘弦函式的拉普拉斯變換。餘弦函式可以表示為：
$$f(t) = \cos \omega t$$
使用拉普拉斯變換，我們可以得到：
$$F(s) = \int_{0}^{\infty} \cos \omega t e^{-st} dt$$
使用積分的結果，我們可以得到：
$$F(s) = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$$
這個結果顯示了餘弦函式的拉普拉斯變換是一個二次多項式。
內容解密：
拉普拉斯變換是一種將時域訊號轉換為頻域訊號的工具。它可以用於分析訊號的頻率特性。在本文中，我們介紹了指數函式、正弦函式和餘弦函式的拉普拉斯變換。這些結果對於訊號分析和控制系統設計非常重要。
import numpy as np
# 定義指數函式
def exp_func(t, alpha):
return np.exp(alpha * t)
# 定義正弦函式
def sin_func(t, omega):
return np.sin(omega * t)
# 定義餘弦函式
def cos_func(t, omega):
return np.cos(omega * t)
# 定義拉普拉斯變換函式
def laplace_transform(f, s):
return np.integral(f, 0, np.inf, lambda t: np.exp(-s * t))
# 測試拉普拉斯變換
alpha = 1.0
omega = 2.0
s = 3.0
exp_result = laplace_transform(lambda t: exp_func(t, alpha), s)
sin_result = laplace_transform(lambda t: sin_func(t, omega), s)
cos_result = laplace_transform(lambda t: cos_func(t, omega), s)
print("指數函式的拉普拉斯變換：", exp_result)
print("正弦函式的拉普拉斯變換：", sin_result)
print("餘弦函式的拉普拉斯變換：", cos_result)
圖表翻譯：
拉普拉斯變換可以用於分析訊號的頻率特性。下圖顯示了指數函式、正弦函式和餘弦函式的拉普拉斯變換結果。
flowchart TD
A[指數函式] --> B[拉普拉斯變換]
B --> C[頻域訊號]
D[正弦函式] --> B
E[餘弦函式] --> B
B --> F[頻率特性分析]
這個圖表顯示了拉普拉斯變換的過程和結果。指數函式、正弦函式和餘弦函式都可以透過拉普拉斯變換轉換為頻域訊號。然後，可以對頻域訊號進行頻率特性分析。
複習電感和電容的拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種強大的工具，能夠將時間域的訊號轉換為複頻域的訊號。在前面的章節中，我們已經學習了拉普拉斯變換的基本概念和應用。在本節中，我們將重新審視電感和電容的拉普拉斯變換，探討它們在電路中的應用。
電感的拉普拉斯變換
電感是電路中的基本元件，它的拉普拉斯變換可以用以下公式表示：
F(s) = ∫∞0 e^(-st) * f(t) dt
其中，F(s)是電感的拉普拉斯變換，f(t)是電感的時間域訊號。
對於一個簡單的電感電路，拉普拉斯變換可以簡化為：
F(s) = 1 / (s + jω)
其中，ω是電感的角頻率。
電容的拉普拉斯變換
電容也是電路中的基本元件，它的拉普拉斯變換可以用以下公式表示：
F(s) = ∫∞0 e^(-st) * f(t) dt
其中，F(s)是電容的拉普拉斯變換，f(t)是電容的時間域訊號。
對於一個簡單的電容電路，拉普拉斯變換可以簡化為：
F(s) = 1 / (s - jω)
其中，ω是電容的角頻率。
拉普拉斯變換在電路中的應用
拉普拉斯變換可以用來分析電路中的訊號和元件。透過拉普拉斯變換，可以將電路中的時間域訊號轉換為複頻域的訊號，從而更容易地分析電路的行為。
在下一節中，我們將探討拉普拉斯變換在電路中的具體應用，包括電路的分析和設計。
內容解密：
拉普拉斯變換是一種強大的工具，能夠將時間域的訊號轉換為複頻域的訊號。電感和電容的拉普拉斯變換可以用來分析電路中的訊號和元件。透過拉普拉斯變換，可以將電路中的時間域訊號轉換為複頻域的訊號，從而更容易地分析電路的行為。
flowchart TD
A[時間域訊號] --> B[拉普拉斯變換]
B --> C[複頻域訊號]
C --> D[電路分析]
D --> E[電路設計]
圖表翻譯：
此圖表示了拉普拉斯變換在電路中的應用。時間域訊號透過拉普拉斯變換轉換為複頻域訊號，然後用於電路分析和設計。拉普拉斯變換是一種強大的工具，能夠幫助我們更好地理解電路的行為。
Laplace Transform 在電路分析中的應用
Laplace Transform 是一種強大的工具，幫助我們轉換電路的分析方式。電路中的基本元件，例如電感和電容，是電路設計的基礎。讓我們從電容和電感的基本方程式開始。
電容的電壓-電流關係可以表示為：
v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt
電流-電壓關係可以表示為：
i(t) = C dv(t)/dt
電感的電壓-電流關係可以表示為：
i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt
電壓-電流關係可以表示為：
v(t) = L di(t)/dt
現在，如果我們想要對這些方程式進行 Laplace Transform，我們會得到兩個微積分運算子。例如：
V(s) = ∫∞ 0 (1/C) ∫ i(t) e^(-st) dt dt
或
I(s) = ∫∞ 0 C dv(t)/dt e^(-st) dt
內容解密：
上述方程式展示了 Laplace Transform 如何應用於電容和電感的分析中。Laplace Transform 幫助我們將時間域的方程式轉換為 s 域的方程式，從而簡化電路的分析和設計。
import sympy as sp
# 定義變數
t, s = sp.symbols('t s')
C, L = sp.symbols('C L', positive=True)
i, v = sp.symbols('i v', cls=sp.Function)
# 電容的電壓-電流關係
v_expr = (1/C) * sp.integrate(i(t), t)
# 電流-電壓關係
i_expr = C * sp.diff(v(t), t)
# 電感的電壓-電流關係
i_expr_L = (1/L) * sp.integrate(v(t), t)
# 電壓-電流關係
v_expr_L = L * sp.diff(i(t), t)
# Laplace Transform
V_s = sp.integrate((1/C) * sp.integrate(i(t), t) * sp.exp(-s*t), (t, 0, sp.oo))
I_s = sp.integrate(C * sp.diff(v(t), t) * sp.exp(-s*t), (t, 0, sp.oo))
print("V(s) =", V_s)
print("I(s) =", I_s)
圖表翻譯：
graph LR
A[時間域] -->|Laplace Transform|> B[s 域]
B -->|電容分析|> C[電壓-電流關係]
B -->|電感分析|> D[電壓-電流關係]
C -->|簡化|> E[電路設計]
D -->|簡化|> E
此圖表展示了 Laplace Transform 如何幫助我們將時間域的方程式轉換為 s 域的方程式，從而簡化電路的分析和設計。
訊號處理入門
讓我們先探討雙重積分的普遍情況：
f(t) = ∫∞ -∞ g(t) dt (3.29)
那麼，拉普拉斯變換 F(s) 就是：
F(s) = ∫∞ 0 ∫∞ -∞ g(t) e^(-st) dt dt (3.30)
首先，我們需要區分兩個積分中的變數。給它們相同的時間 t 會令人混淆：
F(s) = ∫∞ 0 ∫∞ -∞ g(τ) dτ e^(-st) dt (3.31)
這裡我們做了什麼？內部積分對於變數 τ 產生了一個關於 t 的方程，而外部積分則對這個關於 t 的方程進行積分，從 0 到 ∞。最終，我們是在從 0 到 ∞ 進行積分，這是最重要的部分。只要我們這樣做，我們就可以稍微改變積分的順序。假設，我們先對內部積分從 t 到 ∞ 進行積分，而外部積分仍然從 0 到 ∞。這會是一樣的。
F(s) = ∫∞ 0 ∫∞ t g(τ) dτ e^(-st) dt (3.32)
內容解密：
在這個例子中，我們使用拉普拉斯變換來處理訊號。拉普拉斯變換是一種用於分析和處理訊號的數學工具。它可以將時域訊號轉換為頻域訊號，使我們可以更容易地分析和處理訊號。上面的方程式展示瞭如何使用拉普拉斯變換來處理一個訊號。
圖表翻譯：
flowchart TD
A[訊號處理] --> B[拉普拉斯變換]
B --> C[時域訊號]
C --> D[頻域訊號]
D --> E[訊號分析]
這個流程圖展示了訊號處理的流程。首先，我們有訊號處理的步驟。然後，我們使用拉普拉斯變換來將時域訊號轉換為頻域訊號。最後，我們可以對頻域訊號進行分析和處理。這個流程圖幫助我們瞭解訊號處理的基本流程。
隨著物聯網和邊緣計算的蓬勃發展，對高效能、低功耗的ADC的需求日益增長。本文深入探討了處理器如何處理ADC轉換的數位訊號，並分析了不同解析度ADC的特性及其在各種應用中的優劣。處理器透過控制ADC的SOC訊號來觸發取樣，並從ADC的結果暫存器讀取轉換後的數位資料。精確的時序控制和資料讀取對於確保資料完整性和系統效能至關重要。然而，ADC的解析度、轉換速度和功耗之間存在權衡，系統設計者需要根據具體應用需求做出最佳選擇。玄貓認為，未來ADC技術將持續朝更高解析度、更低功耗和更智慧化的方向發展，以滿足日益增長的資料採集和處理需求。對於嵌入式系統開發者而言，深入理解處理器與ADC的互動機制，並掌握不同ADC的特性，將有助於打造更高效、更可靠的應用系統。
