核函式在機器學習中扮演著關鍵角色，尤其在處理非線性資料時，能有效提升模型效能。常見的核函式包含多項式核、Sigmoid 核、拉普拉斯核、有理二次核、冪核、對數核以及多重二次核，各有其適用場景和特性。支援向量機（SVM）是核函式應用的典型案例，它利用核函式將資料對映至高維空間，使其線性可分，進而提升分類別和迴歸的準確性。SVM 的核心在於尋找最佳超平面，最大化資料間的間隔，這個過程涉及到定義最佳化問題，並使用拉格朗日乘數法和 KKT 條件求解。實務上，SVM 可應用於神經形態學研究，藉由分析神經元形態進行分類別；在模型訓練流程中，資料分割和預處理步驟也至關重要，標準化能確保特徵在相同尺度，提升模型泛化能力。除了 SVM，人工神經網路（ANN）也是機器學習的重要分支，其架構受人類大腦啟發，透過多層神經元組成的網路進行學習。人工神經元包含權重、偏差和啟用函式，常見的啟用函式有 Sigmoid、ReLU、Tanh 等，它們影響著神經網路的學習效果和輸出。
核心核函式介紹
在機器學習和資料分析中，核函式（Kernel Function）扮演著一個非常重要的角色。它們使得高維度空間中的資料能夠被有效地處理和分析。今天，我們將深入探討幾種常見的核函式，包括多項式核、sigmoid核、拉普拉斯核、有理二次核、冪核、對數核和多重二次核。
多項式核
多項式核函式的定義為 (K(x_i, x_j) = (x_i \cdot x_j + a)^b)，其中 (a) 和 (b) 是超引數。這種核函式可以用於捕捉資料之間的非線性關係，並且可以根據資料的特點選擇適當的 (a) 和 (b) 值。
內容解密：
多項式核函式的優點在於它可以處理高維度的資料，並且可以根據需要選擇不同的多項式次數。然而，選擇合適的超引數對於模型的效能有著重要影響，因此需要進行仔細的調整。
flowchart TD
A[資料輸入] --> B[多項式核函式]
B --> C[高維度空間對映]
C --> D[模型訓練]
D --> E[預測輸出]
圖表翻譯：
上述流程圖展示了多項式核函式在機器學習模型中的應用過程。首先，輸入資料被送入多項式核函式中進行高維度空間對映，然後對映後的資料被用於模型訓練，最後，訓練好的模型可以用於預測新的輸入資料。
Sigmoidal 核
Sigmoidal 核函式定義為 (K(x_i, x_j) = \tanh(ax_i \cdot x_j - b))，其中 (a) 和 (b) 是超引數。這種核函式類別似於神經網路中的啟用函式，可以用於捕捉資料之間的非線性關係。
內容解密：
Sigmoidal 核函式的優點在於它可以處理高維度的資料，並且可以根據需要選擇不同的超引數。然而，由於它的非線性特性，可能會導致模型過度複雜，因此需要謹慎選擇超引數。
flowchart TD
A[資料輸入] --> B[Sigmoidal 核函式]
B --> C[非線性對映]
C --> D[模型訓練]
D --> E[預測輸出]
圖表翻譯：
上述流程圖展示了 Sigmoidal 核函式在機器學習模型中的應用過程。首先，輸入資料被送入 Sigmoidal 核函式中進行非線性對映，然後對映後的資料被用於模型訓練，最後，訓練好的模型可以用於預測新的輸入資料。
拉普拉斯核
拉普拉斯核函式定義為 (K(x_i, x_j) = e^{-\frac{|x_i - x_j|}{\sigma}})，其中 (\sigma) 是超引數。這種核函式可以用於捕捉資料之間的區域性相似性。
內容解密：
拉普拉斯核函式的優點在於它可以有效地處理高維度的資料，並且可以根據需要選擇不同的超引數。然而，由於它的區域性性質，可能會導致模型過度專注於區域性特徵，因此需要謹慎選擇超引數。
flowchart TD
A[資料輸入] --> B[拉普拉斯核函式]
B --> C[區域性相似性對映]
C --> D[模型訓練]
D --> E[預測輸出]
圖表翻譯：
上述流程圖展示了拉普拉斯核函式在機器學習模型中的應用過程。首先，輸入資料被送入拉普拉斯核函式中進行區域性相似性對映，然後對映後的資料被用於模型訓練，最後，訓練好的模型可以用於預測新的輸入資料。
有理二次核
有理二次核函式定義為 (K(x_i, x_j) = 1 - \frac{|x_i - x_j|^2}{|x_i - x_j|^2 + c})，其中 (c) 是超引數。這種核函式可以用於捕捉資料之間的非線性關係。
內容解密：
有理二次核函式的優點在於它可以有效地處理高維度的資料，並且可以根據需要選擇不同的超引數。然而，由於它的非線性特性，可能會導致模型過度複雜，因此需要謹慎選擇超引數。
flowchart TD
A[資料輸入] --> B[有理二次核函式]
B --> C[非線性對映]
C --> D[模型訓練]
D --> E[預測輸出]
圖表翻譯：
上述流程圖展示了有理二次核函式在機器學習模型中的應用過程。首先，輸入資料被送入有理二次核函式中進行非線性對映，然後對映後的資料被用於模型訓練，最後，訓練好的模型可以用於預測新的輸入資料。
冪核
冪核函式定義為 (K(x_i, x_j) = |x_i - x_j|^d)，其中 (d) 是超引數。這種核函式可以用於捕捉資料之間的非線性關係。
內容解密：
冪核函式的優點在於它可以有效地處理高維度的資料，並且可以根據需要選擇不同的超引數。然而，由於它的非線性特性，可能會導致模型過度複雜，因此需要謹慎選擇超引數。
flowchart TD
A[資料輸入] --> B[冪核函式]
B --> C[非線性對映]
C --> D[模型訓練]
D --> E[預測輸出]
圖表翻譯：
上述流程圖展示了冪核函式在機器學習模型中的應用過程。首先，輸入資料被送入冪核函式中進行非線性對映，然後對映後的資料被用於模型訓練，最後，訓練好的模型可以用於預測新的輸入資料。
對數核
對數核函式定義為 (K(x_i, x_j) = -\log|x_i - x_j|^d + 1)，其中 (d) 是超引數。這種核函式可以用於捕捉資料之間的非線性關係。
內容解密：
對數核函式的優點在於它可以有效地處理高維度的資料，並且可以根據需要選擇不同的超引數。然而，由於它的非線性特性，可能會導致模型過度複雜，因此需要謹慎選擇超引數。
flowchart TD
A[資料輸入] --> B[對數核函式]
B --> C[非線性對映]
C --> D[模型訓練]
D --> E[預測輸出]
圖表翻譯：
上述流程圖展示了對數核函式在機器學習模型中的應用過程。首先，輸入資料被送入對數核函式中進行非線性對映，然後對映後的資料被用於模型訓練，最後，訓練好的模型可以用於預測新的輸入資料。
多重二次核
多重二次核函式定義為 (K(x_i, x_j) = \sqrt{|x_i - x_j|^2 + c^2})，其中 (c) 是超引數。這種核函式可以用於捕捉資料之間的非線性關係。
內容解密：
多重二次核函式的優點在於它可以有效地處理高維度的資料，並且可以根據需要選擇不同的超引數。然而，由於它的非線性特性，可能會導致模型過度複雜，因此需要謹慎選擇超引數。
flowchart TD
A[資料輸入] --> B[多重二次核函式]
B --> C[非線性對映]
C --> D[模型訓練]
D --> E[預測輸出]
圖表翻譯：
上述流程圖展示了多重二次核函式在機器學習模型中的應用過程。首先，輸入資料被送入多重二次核函式中進行非線性對映，然後對映後的資料被用於模型訓練，最後，訓練好的模型可以用於預測新的輸入資料。
總之，不同的核函式適合不同的應用場景和資料特徵。選擇合適的核函式和調整其超引數是獲得良好模型效能的關鍵步驟。
支援向量機（SVM）與核函式
在機器學習中，支援向量機（SVM）是一種強大的分類別和迴歸演算法。然而，當資料集在原始空間中線性不可分時，SVM就需要使用核函式（Kernel Function）來將資料對映到高維空間，使其變得線性可分。
核函式的定義
核函式是一種將原始空間中的資料對映到高維空間的方法。給定兩個輸入向量 $x_i$ 和 $x_j$，核函式 $K(x_i, x_j)$ 定義為：
$$ K(x_i, x_j) = \phi(x_i) \cdot \phi(x_j) $$
其中 $\phi(x)$ 是將原始空間中的資料對映到高維空間的函式。
常見的核函式
- 線性核函式：$K(x_i, x_j) = x_i \cdot x_j$
- 多項式核函式：$K(x_i, x_j) = (x_i \cdot x_j + c)^d$
- 徑向基函式（RBF）核函式：$K(x_i, x_j) = \exp(-\gamma ||x_i - x_j||^2)$
- sigmoid 核函式：$K(x_i, x_j) = \tanh(\alpha x_i \cdot x_j + \beta)$
SVM 的分類別和迴歸
SVM 可以用於分類別和迴歸任務。在分類別任務中，SVM 嘗試找到一個超平面將資料分成兩類別。在迴歸任務中，SVM 嘗試找到一個超平面使得資料點到該超平面的距離最小。
分類別
給定一個輸入向量 $x$，SVM 的分類別器可以定義為：
$$ y = \text{sign}(w \cdot \phi(x) + b) $$
其中 $w$ 和 $b$ 是超平面的引數，$\phi(x)$ 是將原始空間中的資料對映到高維空間的函式。
迴歸
在迴歸任務中，SVM 嘗試找到一個超平面使得資料點到該超平面的距離最小。給定一個輸入向量 $x$，SVM 的迴歸器可以定義為：
$$ y = w \cdot \phi(x) + b $$
其中 $w$ 和 $b$ 是超平面的引數，$\phi(x)$ 是將原始空間中的資料對映到高維空間的函式。
內容解密：
上述內容介紹了支援向量機（SVM）和核函式的基本概念。透過使用核函式，SVM 可以將資料對映到高維空間，使其變得線性可分。SVM 的分類別和迴歸器可以用於解決各種機器學習問題。
flowchart TD
A[輸入資料] --> B[對映到高維空間]
B --> C[訓練SVM模型]
C --> D[分類別或迴歸]
D --> E[輸出結果]
圖表翻譯：
上述流程圖描述了使用SVM進行分類別或迴歸的基本流程。首先，輸入資料被對映到高維空間，然後訓練SVM模型，最後進行分類別或迴歸並輸出結果。
支援向量機（SVM）在迴歸分析中的應用
在進行迴歸分析時，支援向量機（SVM）是一種強大的工具，能夠有效地處理複雜的資料關係。為了實作這一點，SVM使用了一種特殊的損失函式，稱為ε-insensitive損失函式或ε-insensitive管道。這種函式的作用是，如果預測值與實際值之間的差異小於某個閾值ε，則忽略這個差異。
ε-insensitive損失函式
給定預測值(y_i)和實際值(y_i)，如果差異小於ε，即(y_i - y_i \leq \epsilon)，則不考慮這個差異。否則，會對超出ε範圍的預測值施加懲罰項。這些懲罰項由兩個鬆弛變數(\xi_i^+)和(\xi_i^-)表示，分別對應於預測值超出上界和下界的情況。
目標函式
SVM的目標是在滿足約束條件的情況下，盡量減少誤差並最大化分類別面的間隔。誤差函式可以寫成如下形式：
[P = \frac{1}{2}w^2 + C\sum_{i=1}^{n}(\xi_i^+ + \xi_i^-)]
其中，(w)是權重向量，(C)是正則化引數，(\xi_i^+)和(\xi_i^-)是鬆弛變數。
拉格朗日乘子法
為了找到最優解，我們引入拉格朗日乘子法，以滿足約束條件的情況下最小化目標函式。這涉及到計算拉格朗日函式，並使用適當的最佳化演算法尋找最優解。
內容解密：
上述過程中，我們使用了ε-insensitive損失函式來處理迴歸分析中的誤差。這種方法允許我們忽略小於某個閾值的誤差，從而提高模型的泛化能力。同時，透過引入拉格朗日乘子法，我們可以有效地求解最優解，並得到一個能夠很好地平衡誤差和複雜度的模型。
graph LR
A[資料輸入] -->|訓練資料|> B[支援向量機]
B -->|ε-insensitive損失函式|> C[目標函式]
C -->|拉格朗日乘子法|> D[最優解]
D -->|模型評估|> E[泛化能力]
圖表翻譯：
此圖示展示了支援向量機在迴歸分析中的應用過程。從資料輸入開始，經過支援向量機的處理，使用ε-insensitive損失函式計算目標函式，然後透過拉格朗日乘子法求解最優解，最終得到一個具有良好泛化能力的模型。這個過程強調了SVM在迴歸分析中的作用，以及如何使用適當的方法來提高模型的效能。
支援向量機的最佳化目標與拉格朗日函式
在支援向量機（Support Vector Machine, SVM）中，最佳化目標是找到最佳的超平面，以最大化類別間的間隔。這個過程涉及到拉格朗日函式的使用，來處理約束條件。
拉格朗日函式的介紹
拉格朗日函式是一種用於處理約束最佳化問題的數學工具。給定一個最佳化問題：
最小化 $f(x)$，其中 $x$ 是變數，且滿足約束條件 $g_i(x) \leq 0$，其中 $i = 1, 2,…, n$。
拉格朗日函式可以被定義為：
$L(x, \lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^{n} \lambda_i g_i(x)$
其中 $\lambda_i$ 是拉格朗日乘子。
支援向量機的最佳化目標
在支援向量機中，最佳化目標是找到最佳的超平面，以最大化類別間的間隔。這個過程可以被形式化為一個最佳化問題：
最小化 $P(w, b) = \frac{1}{2}w^T w$
其中 $w$ 是權重向量，$b$ 是偏差項。
約束條件為：
$y_i (w^T x_i + b) \geq 1 - \xi_i$
其中 $y_i$ 是類別標籤，$x_i$ 是輸入向量，$\xi_i$ 是鬆弛變數。
拉格朗日函式的應用
使用拉格朗日函式，可以將支援向量機的最佳化問題轉換為一個無約束最佳化問題：
$L(w, b, \alpha, \xi) = \frac{1}{2}w^T w - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i (y_i (w^T x_i + b) - 1 + \xi_i)$
其中 $\alpha_i$ 是拉格朗日乘子。
KKT 條件
根據 KKT 條件，最佳化問題的解必須滿足以下條件：
$\frac{\partial L}{\partial w} = 0$
$\frac{\partial L}{\partial b} = 0$
$\alpha_i (y_i (w^T x_i + b) - 1 + \xi_i) = 0$
其中 $i = 1, 2,…, n$。
內容解密：
上述內容介紹了支援向量機的最佳化目標和拉格朗日函式的應用。拉格朗日函式是一種用於處理約束最佳化問題的數學工具。支援向量機的最佳化目標是找到最佳的超平面，以最大化類別間的間隔。KKT 條件提供了一個方法來求解最佳化問題的解。
圖表翻譯：
graph LR
A[支援向量機] --> B[最佳化目標]
B --> C[拉格朗日函式]
C --> D[KKT 條件]
D --> E[解]
上述圖表展示了支援向量機的最佳化目標、拉格朗日函式和 KKT 條件之間的關係。
支援向量機（SVM）最佳化問題
在支援向量機（SVM）中，最佳化問題是核心的一部分。給定訓練資料集，SVM 的目標是找到最佳的超平面，以便將資料分成不同的類別。這個過程涉及到最大化間隔（margin），也就是說，找到能夠將不同類別的資料點分開的最寬的「街區」。
最佳化問題的定義
SVM 的最佳化問題可以定義為一個凸二次規劃（Quadratic Programming）問題。假設我們有 $n$ 個訓練資料點， 每個資料點 $x_i$ 都有一個對應的標籤 $y_i$，其中 $y_i \in {-1, +1}$。我們想要找到最佳的權重向量 $w$ 和偏差項 $b$，使得超平面 $w^T x + b = 0$ 能夠將資料分成兩類別。
Lagrange 乘數法
為瞭解這個最佳化問題，我們可以使用 Lagrange 乘數法。這個方法引入了 Lagrange 乘數 $\lambda_i$，其中 $i = 1, 2, \ldots, n$，來處理不等式約束。
最佳化問題的形式
最佳化問題可以寫成以下形式：
$$ \max_{\lambda} \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \lambda_i \lambda_j y_i y_j x_i^T x_j $$
subject to：
$$ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i = 0 $$
以及
$$ 0 \leq \lambda_i \leq C, \quad i = 1, 2, \ldots, n $$
其中，$C$ 是一個正則化引數，用於控制模型的複雜度。
KKT 條件
為了確保解的最優性，我們需要檢查 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件。KKT 條件提供了一個方法來檢查是否滿足了最優性條件。
支援向量
支援向量是那些距離超平面最近的資料點。這些資料點對於決定超平面位置至關重要。在 SVM 中，支援向量對應於非零的 Lagrange 乘數 $\lambda_i$。
內容解密：
上述內容介紹了支援向量機（SVM）的最佳化問題，包括問題的定義、Lagrange 乘數法、最佳化問題的形式、KKT 條件以及支援向量的概念。這些內容對於理解 SVM 的工作原理和實際應用至關重要。
圖表翻譯：
graph LR
A[訓練資料集] -->|輸入|> B[支援向量機]
B -->|處理|> C[最佳超平面]
C -->|輸出|> D[分類別結果]
style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:4px
這個圖表展示了支援向量機的基本工作流程，從訓練資料集到輸出分類別結果。其中，支援向量機是核心元件，負責找到最佳超平面以實作分類別。
支援向量機（SVM）在神經形態學研究中的應用
在神經科學研究中，瞭解神經元的形態學對於研究大腦功能和行為至關重要。然而，神經元的形態學型別眾多，且其分類別仍然是一個挑戰。為瞭解決這個問題，研究人員使用了支援向量機（SVM）來進行神經元形態學的分類別。
資料介紹
本研究使用了一個包含29,321個標記的鼠神經元資料集。這個資料集包含兩個主要類別（主神經元和介神經元）和14個子類別，包括六種主神經元型別（ganglion、granule、medium spiny、parachromaffin、Purkinje和pyramidal cell）和六種介神經元型別（basket、chandelier、martinotti、double bouquet、bitufted和nitrergic）。
支援向量機（SVM）介紹
SVM是一種機器學習演算法，旨在找到最優的超平面以分隔不同類別的資料。SVM可以用於二元分類別和多元分類別。在本研究中，我們使用SVM進行多元分類別。
實驗設計
我們使用scikit-learn函式庫來實作SVM演算法。首先，我們將資料分割為訓練集和測試集。然後，我們使用線性核函式建立SVM模型，並計算準確度指標。最後，我們進行五折交叉驗證，以評估模型的效能。
程式碼實作
import pandas as pd
from sklearn import preprocessing
from sklearn import metrics
from sklearn import svm
from sklearn.model_selection import cross_val_score
# 載入資料
csv_data = '../data/datasets/neurons.csv'
df = pd.read_csv(csv_data, delimiter=';')
# 移除含有缺失值的行
df = df.dropna()
# 將資料分割為訓練集和測試集
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(df.drop('label', axis=1), df['label'], test_size=0.2, random_state=42)
# 標準化資料
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)
# 建立SVM模型
svm_model = svm.SVC(kernel='linear')
# 訓練模型
svm_model.fit(X_train_scaled, y_train)
# 評估模型效能
accuracy = metrics.accuracy_score(y_test, svm_model.predict(X_test_scaled))
print(f'準確度：{accuracy:.3f}')
# 五折交叉驗證
scores = cross_val_score(svm_model, X_train_scaled, y_train, cv=5)
print(f'五折交叉驗證平均準確度：{scores.mean():.3f}')
結果分析
本研究使用SVM演算法對鼠神經元形態學進行分類別，取得了較高的準確度。結果表明，SVM是一種有效的方法，可以用於神經元形態學的分類別。未來研究可以嘗試使用不同的核函式和引數設定，以進一步提高模型的效能。
圖表翻譯：
此圖示為SVM模型的訓練過程，展示了模型的準確度和五折交叉驗證的結果。圖中顯示了模型的效能隨著訓練集的大小而改善，表明模型具有良好的泛化能力。
資料分割與預處理
首先，我們需要將資料分割成兩部分：一部分用於訓練模型，另一部分用於測試模型的效能。這裡，我們使用 train_test_split 函式從 Scikit-learn 函式庫中，將資料分割成訓練集和測試集，測試集佔總資料的 20%。
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
接下來，為了確保模型的泛化能力，我們對資料進行標準化處理。這裡，我們使用 StandardScaler 類別從 Scikit-learn 的 preprocessing 模組中，對訓練集和測試集進行標準化。
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)
支援向量機（SVM）模型
現在，我們開始建立支援向量機（SVM）模型。這裡，我們選擇使用線性核函式的 SVM 模型。
from sklearn import svm
model = svm.SVC(kernel='linear')
模型訓練與預測
接下來，我們使用訓練集對模型進行訓練，然後使用訓練好的模型對測試集進行預測。
model.fit(X_train, y_train)
y_pred = model.predict(X_test)
效能評估
最後，我們評估模型的效能，包括準確率、精確率、召回率、F1 分數，以及使用交叉驗證的平均分數和標準差。
from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score, f1_score, cross_val_score
results = [
accuracy_score(y_test, y_pred),
precision_score(y_test, y_pred, average='micro'),
recall_score(y_test, y_pred, average='micro'),
f1_score(y_test, y_pred, average='micro'),
cross_val_score(model, X_train, y_train, cv=5).mean(),
cross_val_score(model, X_train, y_train, cv=5).std()
]
metrics_dataframe = pd.DataFrame(results, index=["Accuracy", "Precision", "Recall", "F1 Score", "Cross-validation mean", "Cross-validation std"], columns={'SVM_linear'})
print(metrics_dataframe)
內容解密：
train_test_split函式用於將資料分割成訓練集和測試集。StandardScaler類別用於標準化資料，確保所有特徵都在相同的尺度上。svm.SVC類別用於建立支援向量機（SVM）模型，選擇線性核函式。fit方法用於訓練模型，predict方法用於對測試集進行預測。accuracy_score、precision_score、recall_score、f1_score函式用於計算模型的效能指標。cross_val_score函式用於計算交叉驗證的平均分數和標準差。
圖表翻譯：
flowchart TD
A[資料分割] --> B[標準化]
B --> C[模型訓練]
C --> D[模型預測]
D --> E[效能評估]
此圖表展示了整個過程的流程：從資料分割開始，接著是標準化，然後是模型訓練和預測，最後是效能評估。每一步驟都對應到上述程式碼中的特定部分。
支援向量機（SVM）模型最佳化
支援向量機（SVM）是一種強大的機器學習演算法，適用於分類別和迴歸問題。在最佳化SVM模型時，選擇合適的kernel函式至關重要。Kernel函式決定了如何將原始資料對映到高維空間，以便更好地分隔不同類別的資料。
Kernel函式選擇
SVM提供了多種kernel函式選擇，包括線性（linear）、多項式（poly）、徑向基函式（rbf）、sigmoid等。每種kernel函式都有其特點和適用情況。例如，線性kernel適合於線性可分的資料，而rbf kernel則更適合於非線性可分的資料。
# 範例：選擇線性kernel
from sklearn import svm
model = svm.SVC(kernel='linear')
# 範例：選擇sigmoid kernel
model = svm.SVC(kernel='sigmoid')
資料預處理
除了kernel函式選擇外，資料預處理也是影響SVM模型效能的重要因素。資料預處理包括資料標準化、歸一化等步驟。不同的預處理方法可能會對模型的效能產生不同的影響。
支援向量迴歸（SVR）
支援向量迴歸（SVR）是SVM的一種變體，適用於迴歸問題。SVR的使用方法與SVM相似，但需要指定迴歸的kernel函式。
# 範例：使用線性kernel進行支援向量迴歸
from sklearn import svm
model = svm.SVR(kernel='linear')
效能評估
評估SVM模型的效能可以使用精確度（Precision）、召回率（Recall）、F1分數等指標。同時，也可以使用交叉驗證（Cross-validation）來評估模型的穩定性和泛化能力。
| 指標 | 數值 |
| --- | --- |
| 精確度 | 0.801471 |
| 召回率 | 0.934126 |
| F1分數 | 0.002855 |
| 交叉驗證均值 | |
| 交叉驗證標準差 | |
3.4 人工神經網路
人工神經網路（Artificial Neural Networks, ANNs）已成為現代機器學習領域的核心概念，能夠解決分類別、迴歸、影像處理、預測、語音辨識、自然語言處理等複雜問題。它們的靈感來自於人類大腦的結構和功能。
人工神經網路的基本思想是構建一個由多個神經元組成的網路，每個神經元都可以接收輸入、進行計算和產生輸出。不同的神經網路架構可以用於不同的應用。最早和最簡單的模型是多層感知器（MLP），而卷積神經網路（CNN）則特別適合於影像處理。還有一種著名的神經網路架構是迴圈神經網路（RNN），可用於時間序列或文字等序列資料。
在人工神經網路中，我們有輸入 (x) 和輸出 (y = f(x, \theta))，其中引數 (\theta) 是從學習樣本中估計出來的。與統計學習一樣，我們需要最小化一個非凸函式，這意味著會有區域性最小值。Cybenko（1989）和Hornik（1991）提出了通用方法，而Le Cun（1989）引入了反向傳播演算法來計算神經網路的梯度。
讓我們考慮一個簡單的人工神經元：
[y_j = f_j(x) = \phi\left(\sum_{i=1}^{d} w_{ji}x_i + b_j\right)]
這個人工神經元可以被視為一個具有輸入 (x = (x_1, \ldots, x_d)) 的函式，輸入被權重 (w_{ji}) 所加權，並且具有偏差 (b_j)。總和 (\sum_{i=1}^{d} w_{ji}x_i + b_j) 被稱為累加。另外，我們還有一個啟用函式 (\phi)，它對總和進行轉換。常用的啟用函式包括恆等函式 (\phi(x) = x) 和sigmoid函式 (\phi(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}})。
圖 3.10 顯示了人工神經元的示意圖。
如上所述，還有其他啟用函式可以被考慮（圖 3.11）：
- 恆等函式
- Sigmoid 函式
- ReLU 函式
- Tanh 函式
每種啟用函式都有其特點和適用場景，選擇合適的啟用函式對於神經網路的效能有著重要影響。
內容解密：
在上述公式中，(y_j) 代表了第 (j) 個神經元的輸出，(f_j(x)) 是該神經元的啟用函式，(\phi) 是啟用函式，(w_{ji}) 是從第 (i) 個輸入到第 (j) 個神經元的權重，(x_i) 是第 (i) 個輸入，(b_j) 是第 (j) 個神經元的偏差。這個過程可以被視為對輸入進行加權累加後，再透過啟用函式進行轉換，以產生最終的輸出。
圖表翻譯：
圖 3.10 和圖 3.11 分別展示了人工神經元的結構和不同啟用函式的曲線。圖 3.10 顯示了人工神經元如何接收輸入、進行加權累加和啟用函式轉換以產生輸出。圖 3.11 則展示了不同啟用函式的特性，包括其曲線形狀和輸出範圍，這對於理解神經網路如何處理輸入和產生有意義的輸出至關重要。
從技術架構視角來看，核函式作為機器學習的根本，賦予演算法處理高維非線性資料的能力，其應用場景涵蓋分類別、迴歸、甚至神經形態學研究。本文深入剖析了多種核函式，包含多項式核、Sigmoid 核、拉普拉斯核等，並以支援向量機（SVM）為例，闡明瞭核函式如何將資料對映至高維空間，使其線性可分，進而實作最佳分類別或迴歸效果。然而，核函式的選擇並非一成不變，需根據資料特性和應用場景謹慎選取。同時，超引數的調整也至關重要，例如 SVM 中的正則化引數 C 和核函式自身的引數。此外，資料預處理步驟，例如標準化，也對模型效能有顯著影響。展望未來，隨著研究的深入，預期會有更多新型核函式出現，並與深度學習等技術融合，進一步提升機器學習模型的效能和應用範圍。玄貓認為，深入理解核函式的原理和特性，並掌握其應用技巧，對於機器學習的實踐至關重要。
