平滑法是時序預測中一類別重要的技術，主要用於消除資料中的噪音並揭示潛在的趨勢和模式。常見的平滑法包括移動平均法和指數平滑法，它們的核心思想都是利用過去一段時間的資料來估計當前或未來的值。移動平均法計算過去一段時間資料的平均值作為預測值，而指數平滑法則根據設定的平滑係數，對過去的資料進行加權平均，以得到預測值。這些方法在處理沒有明顯趨勢或季節性的資料時效果較佳，但在面對複雜的時序資料時，則需要結合其他技術，例如去趨勢和去季節化，才能獲得更準確的預測結果。選擇合適的視窗大小或平滑係數也是平滑法應用的關鍵，需要根據資料的特性和預測目標進行調整。
時系列預測中的平滑法
在本章中，我們將介紹一系列流行且靈活的時系列預測方法，該方法根據平滑。平滑是透過對多個時期進行平均來減少噪音。首先，我們介紹兩種簡單的平滑器：移動平均和簡單指數平滑器，適合於預測不包含趨勢或季節性的時間序列。在這兩種情況下，預測值都是該系列過去值的平均值（考慮的系列歷史長度和使用的權重在方法之間有所不同）。我們還展示瞭如何使用移動平均（經過輕微調整）進行資料視覺化。
然後，我們將描述適合於預測具有趨勢和/或季節性的時間序列的平滑方法。平滑方法是資料驅動的，可以隨著時間的推移適應時間序列的變化。雖然高度自動化，但使用者必須指定平滑常數，這些常數決定了方法適應新資料的速度。我們將討論選擇這些常數的問題及其含義。使用Amtrak乘客資料系列來演示不同的方法。
移動平均法
移動平均法是一種簡單的平滑方法，透過計算時間序列中連續值的平均值來實作平滑。移動平均法可以用於預測不包含趨勢或季節性的時間序列。移動平均法的預測值是該系列過去值的平均值，考慮的系列歷史長度和使用的權重在方法之間有所不同。
簡單指數平滑法
簡單指數平滑法是另一種簡單的平滑方法，透過對時間序列中連續值進行加權平均來實作平滑。簡單指數平滑法可以用於預測不包含趨勢或季節性的時間序列。簡單指數平滑法的預測值是該系列過去值的加權平均值，考慮的系列歷史長度和使用的權重在方法之間有所不同。
平滑常數的選擇
平滑常數是平滑方法中的一個重要引數，它決定了方法適應新資料的速度。選擇適當的平滑常數對於獲得準確的預測結果至關重要。平滑常數太小，可能導致預測結果過度平滑，忽略了時間序列中的重要變化；平滑常數太大，可能導致預測結果過度敏感，對噪音產生過大的反應。
時間序列視覺化
移動平均法可以用於時間序列視覺化，透過計算時間序列中連續值的平均值來實作平滑。這樣可以更好地展示時間序列中的趨勢和季節性。
內容解密：
import pandas as pd
import numpy as np
# 載入時間序列資料
data = pd.read_csv('data.csv', index_col='date', parse_dates=['date'])
# 計算移動平均值
data['moving_average'] = data['value'].rolling(window=3).mean()
# 簡單指數平滑法
data['simple_exponential_smoothing'] = data['value'].ewm(alpha=0.1, adjust=False).mean()
# 視覺化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(data['value'], label='原始資料')
plt.plot(data['moving_average'], label='移動平均')
plt.plot(data['simple_exponential_smoothing'], label='簡單指數平滑')
plt.legend()
plt.show()
圖表翻譯：
flowchart TD
A[原始資料] --> B[移動平均]
A --> C[簡單指數平滑]
B --> D[視覺化]
C --> D
在這個例子中，我們使用移動平均法和簡單指數平滑法對時間序列進行平滑，並將結果視覺化。移動平均法可以幫助我們更好地展示時間序列中的趨勢和季節性，而簡單指數平滑法可以幫助我們更好地捕捉時間序列中的變化。
時序預測的平滑方法
時序預測中有一類別方法被稱為平滑方法。與迴歸模型不同，平滑方法不依賴於時間序列的底層理論模型（例如線性趨勢或乘法季節性），而是直接從資料中估計時間序列的成分。這些方法尤其適合於時間序列模式隨時間變化的情況。
移動平均法
移動平均法是一種簡單的平滑方法，透過對連續觀察值的視窗進行平均來「平滑」時間序列中的噪音，嘗試揭示其中的模式。移動平均法的不同之處在於如何計算平均值、平均的次數等。移動平均法有兩種常見的型別：中心移動平均和尾隨移動平均。
中心移動平均
中心移動平均對於視覺化趨勢非常有用，因為平均操作可以抑制季節性和噪音。中心移動平均的計算方法是取連續觀察值的視窗，並計算視窗內所有值的平均值。例如，若視窗寬度為5，則在時間點t處的移動平均值是視窗內所有值的平均值。
尾隨移動平均
尾隨移動平均則對於預測非常有用，因為它能夠捕捉時間序列中最近的趨勢。尾隨移動平均的計算方法與中心移動平均類別似，但視窗的位置不同。
指數平滑法
指數平滑法是另一種常見的平滑方法，它透過給予最近觀察值更大的權重來平滑時間序列。指數平滑法的優點在於它能夠快速適應時間序列中的變化。
內容解密：
上述內容介紹了時序預測中的平滑方法，包括移動平均法和指數平滑法。移動平均法透過對連續觀察值的視窗進行平均來平滑時間序列，而指數平滑法則透過給予最近觀察值更大的權重來平滑時間序列。這些方法尤其適合於時間序列模式隨時間變化的情況。
flowchart TD
A[時間序列預測] --> B[平滑方法]
B --> C[移動平均法]
B --> D[指數平滑法]
C --> E[中心移動平均]
C --> F[尾隨移動平均]
D --> G[單一指數平滑]
D --> H[霍爾特-Winters方法]
圖表翻譯：
上述Mermaid圖表展示了時序預測中的平滑方法的流程。首先，時間序列預測可以使用平滑方法來進行預測。平滑方法包括移動平均法和指數平滑法。移動平均法可以進一步分為中心移動平均和尾隨移動平均，而指數平滑法可以分為單一指數平滑和霍爾特-Winters方法。這些方法都可以用於平滑時間序列中的噪音，揭示其中的模式。
移動平均法的視覺化呈現
在時間序列分析中，移動平均法是一種常用的技術，用於平滑資料並突出趨勢。移動平均法的基本思想是，對資料進行視窗化處理，計算每個視窗內的平均值，以此來平滑原始資料。
集中移動平均法
集中移動平均法（Centered Moving Average）是一種移動平均法，它計算每個視窗內的平均值，並將其作為該視窗的代表值。這種方法可以有效地平滑資料，減少噪音的影響。
集中移動平均法的優點
- 能夠有效地平滑資料，減少噪音的影響
- 可以保留原始資料的趨勢資訊
集中移動平均法的缺點
- 當視窗寬度過大時，可能會導致重要細節的丟失
- 當視窗寬度過小時，可能會導致平滑效果不佳
鏈結移動平均法
鏈結移動平均法（Trailing Moving Average）是一種移動平均法，它計算每個視窗內的平均值，並將其作為該視窗的代表值。與集中移動平均法不同，鏈結移動平均法只考慮當前視窗之前的資料。
鏈結移動平均法的優點
- 能夠有效地平滑資料，減少噪音的影響
- 可以保留原始資料的趨勢資訊
鏈結移動平均法的缺點
- 當視窗寬度過大時，可能會導致重要細節的丟失
- 當視窗寬度過小時，可能會導致平滑效果不佳
兩種移動平均法的比較
兩種移動平均法都能夠有效地平滑資料，減少噪音的影響。但是，集中移動平均法更適合於需要保留原始資料趨勢資訊的情況，而鏈結移動平均法更適合於需要考慮當前視窗之前的資料的情況。
flowchart TD
A[原始資料] --> B[集中移動平均法]
B --> C[平滑資料]
A --> D[鏈結移動平均法]
D --> E[平滑資料]
圖表翻譯：
上述Mermaid圖表展示了兩種移動平均法的流程。原始資料首先被輸入到集中移動平均法和鏈結移動平均法中。然後，兩種方法分別計算每個視窗內的平均值，並將其作為該視窗的代表值。最後，兩種方法都能夠產生平滑資料。
import numpy as np
def centered_moving_average(data, window_width):
"""
集中移動平均法
:param data: 原始資料
:param window_width: 視窗寬度
:return: 平滑資料
"""
smoothed_data = np.zeros(len(data))
for i in range(len(data)):
if i < window_width // 2:
smoothed_data[i] = np.mean(data[:i + window_width // 2 + 1])
elif i >= len(data) - window_width // 2:
smoothed_data[i] = np.mean(data[i - window_width // 2:])
else:
smoothed_data[i] = np.mean(data[i - window_width // 2:i + window_width // 2 + 1])
return smoothed_data
def trailing_moving_average(data, window_width):
"""
鏈結移動平均法
:param data: 原始資料
:param window_width: 視窗寬度
:return: 平滑資料
"""
smoothed_data = np.zeros(len(data))
for i in range(len(data)):
if i < window_width:
smoothed_data[i] = np.mean(data[:i + 1])
else:
smoothed_data[i] = np.mean(data[i - window_width + 1:i + 1])
return smoothed_data
內容解密：
上述Python程式碼實作了集中移動平均法和鏈結移動平均法。兩種方法都使用了NumPy函式庫來進行陣列操作。集中移動平均法計算每個視窗內的平均值，並將其作為該視窗的代表值。鏈結移動平均法只考慮當前視窗之前的資料。兩種方法都能夠有效地平滑資料，減少噪音的影響。
時序資料平滑化方法
在時序資料分析中，平滑化是一種重要的技術，用於去除資料中的雜訊，展現出資料的趨勢和模式。其中，移動平均法是一種常用的平滑化方法。
移動平均法
移動平均法是透過計算資料中某一段時間的平均值來平滑化資料。根據計算平均值的方式不同，移動平均法可以分為兩種：中心移動平均和尾隨移動平均。
中心移動平均
中心移動平均是透過計算資料中某一段時間的平均值，並將其作為該段時間的中心點。這種方法可以用於展示資料的趨勢和模式，但不適合用於預測，因為它需要未來的資料。
例如，若要計算某個時序資料的12個月的中心移動平均，可以使用以下公式：
F_t = (Y_t + Y_{t-1} +… + Y_{t-11}) / 12
其中，F_t是第t個月的中心移動平均，Y_t是第t個月的實際值。
尾隨移動平均
尾隨移動平均是透過計算資料中最近一段時間的平均值，並將其作為預測值。這種方法適合用於預測，因為它只需要已知的資料。
例如，若要計算某個時序資料的12個月的尾隨移動平均，可以使用以下公式：
F_{t+k} = (Y_t + Y_{t-1} +… + Y_{t-11}) / 12
其中，F_{t+k}是第t+k個月的預測值，Y_t是第t個月的實際值。
實際應用
移動平均法可以用於各種時序資料的平滑化和預測。例如，若要預測某個公司的未來銷售額，可以使用移動平均法計算最近一段時間的銷售額平均值，並將其作為預測值。
Mermaid 圖表
flowchart TD
A[時序資料] --> B[移動平均法]
B --> C[中心移動平均]
B --> D[尾隨移動平均]
C --> E[展示趨勢和模式]
D --> F[預測]
圖表翻譯
此圖表展示了時序資料平滑化方法中的移動平均法。移動平均法可以分為中心移動平均和尾隨移動平均兩種。中心移動平均用於展示資料的趨勢和模式，而尾隨移動平均用於預測。圖表中，A代表時序資料，B代表移動平均法，C代表中心移動平均，D代表尾隨移動平均，E代表展示趨勢和模式，F代表預測。
程式碼實作示例
import pandas as pd
# 載入時序資料
data = pd.read_csv('data.csv', index_col='date', parse_dates=['date'])
# 計算12個月的中心移動平均
data['center_ma'] = data['value'].rolling(window=12).mean()
# 計算12個月的尾隨移動平均
data['trail_ma'] = data['value'].rolling(window=12).mean().shift(12)
print(data)
內容解密
此程式碼實作示例展示瞭如何使用Python計算時序資料的12個月的中心移動平均和尾隨移動平均。首先，載入時序資料並設定日期欄位為索引。然後，使用rolling()函式計算12個月的中心移動平均和尾隨移動平均。最後，列印預出結果。
時間序列分析與預測
時間序列分析是一種統計方法，用於分析和預測時間序列資料。在這個例子中，我們有一個月度乘客資料集，從1991年1月到2002年6月。目的是使用這個資料集建立一個模型，以預測未來的乘客資料。
資料描述
原始資料集包含從1991年1月到2002年6月的月度乘客資料。資料集可以分為兩部分：訓練資料（1991年1月至2001年12月）和測試資料（2002年1月至2002年6月）。
模型建立
使用訓練資料建立了一個時間序列模型。模型的目的是捕捉時間序列資料中的趨勢和季節性變化。
預測結果
使用建立的模型對未來的乘客資料進行了預測。預測結果如表所示：
| 月份 | 預測乘客數 |
|---|---|
| 2002年4月 | 2023.792 |
| 2002年5月 | 2047.008 |
| 2002年6月 | 2072.913 |
| … | … |
結果分析
預測結果顯示，未來的乘客資料將繼續呈現上升趨勢。然而，需要注意的是，時間序列預測存在一定的不確定性，實際結果可能會與預測結果有所不同。
時間序列圖
時間序列圖是展示時間序列資料的一種有效方式。下圖展示了實際乘客資料與預測乘客資料的對比：
graph TD
A[實際乘客數] --> B[預測乘客數]
B --> C[時間序列圖]
C --> D[趨勢分析]
D --> E[季節性分析]
圖表翻譯：
時間序列圖顯示了實際乘客資料與預測乘客資料之間的關係。圖中可以看到，預測乘客資料基本上跟隨了實際乘客資料的趨勢，但也存在一些差異。
時序預測：移動平均法
在時間序列預測中，移動平均法是一種常用的方法，尤其是在處理具有趨勢或季節性的資料時。移動平均法的基本思想是使用過去一段時間的資料平均值作為未來的預測值。
移動平均法的計算
移動平均法的計算公式如下：
[ F_t = \frac{1}{W} \sum_{i=t-W+1}^{t} Y_i ]
其中，( F_t ) 是時間 ( t ) 的預測值，( W ) 是移動平均視窗的大小，( Y_i ) 是時間 ( i ) 的實際值。
案例：Amtrak 乘客資料
以 Amtrak 乘客資料為例，假設我們想要使用移動平均法預測未來 36 個月的乘客數。首先，我們需要選擇一個合適的視窗大小 ( W )。在這個例子中，我們選擇 ( W = 12 )，即使用最近 12 個月的資料計算預測值。
預測結果
使用移動平均法計算出的預測結果如下：
| 時間 | 實際值 | 預測值 |
|---|---|---|
| 1600 | 1900 | 2000 |
| 1700 | 1800 | 1900 |
| … | … | … |
時序圖
下圖展示了實際值和預測值的時序圖：
flowchart TD
A[實際值] --> B[預測值]
B --> C[時序圖]
C --> D[移動平均法]
D --> E[預測結果]
圖表翻譯：
此圖表展示了使用移動平均法預測 Amtrak 乘客資料的結果。圖中實際值和預測值的時序圖可以清晰地看到預測值與實際值之間的差異。
移動平均法的侷限性和應用
移動平均法是一種簡單的預測方法，透過計算過去一段時間的平均值來預測未來的值。然而，這種方法有其侷限性，尤其是在處理具有季節性和趨勢的時間序列資料時。
季節性和趨勢的問題
移動平均法無法捕捉時間序列資料中的季節性和趨勢。例如，在具有高季節性波動的資料中，移動平均法可能會低估高峰期的值，而高估低谷期的值。同樣，在具有趨勢的資料中，移動平均法可能會落後於趨勢，導致預測值過低或過高。
解決方案：去趨勢和去季節化
為瞭解決這些問題，可以使用去趨勢和去季節化的方法來處理時間序列資料。例如，可以使用迴歸模型來去趨勢和去季節化資料，然後使用移動平均法來預測去趨勢和去季節化後的資料。最後，可以將趨勢和季節性增加回預測值中。
選擇視窗寬度
在使用移動平均法時，需要選擇視窗寬度（w）。視窗寬度的選擇是一個平衡問題，需要在過度平滑和不足平滑之間找到一個合適的點。較寬的視窗可以暴露更多的全域性趨勢，而較窄的視窗可以暴露更多的區域性特徵。
實際應用
移動平均法可以應用於各種時間序列資料，包括金融資料、氣象資料等。然而，需要注意其侷限性，並根據具體情況選擇合適的視窗寬度和去趨勢、去季節化方法。
內容解密：
移動平均法是一種簡單的預測方法，透過計算過去一段時間的平均值來預測未來的值。其侷限性在於無法捕捉時間序列資料中的季節性和趨勢。為瞭解決這些問題，可以使用去趨勢和去季節化的方法來處理時間序列資料。視窗寬度的選擇是一個平衡問題，需要在過度平滑和不足平滑之間找到一個合適的點。
flowchart TD
A[時間序列資料] --> B[去趨勢和去季節化]
B --> C[移動平均法]
C --> D[預測值]
D --> E[新增趨勢和季節性]
E --> F[最終預測值]
圖表翻譯：
此圖表示了移動平均法的應用流程。首先，對時間序列資料進行去趨勢和去季節化處理，然後使用移動平均法來預測去趨勢和去季節化後的資料。最後，將趨勢和季節性增加回預測值中，以得到最終的預測值。
時序分析與預測模型應用
在進行時間序列分析時，瞭解資料的趨勢、季節性和殘差是非常重要的。這些元素可以幫助我們建立更準確的預測模型。以下將探討如何應用移動平均法對來自迴歸模型的殘差進行處理，並進一步瞭解其在時間序列分析中的作用。
時間序列分析的基本步驟
- 資料收集與清理：收集時間序列資料，並確保資料的完整性和正確性。
- 視覺化分析：使用時間序列圖來視覺化資料，從而瞭解其趨勢、季節性和隨機波動。
- 模型選擇：根據資料的特性選擇適合的時間序列模型，例如自迴歸（AR）、移動平均（MA）、季節性自迴歸（SARIMA）等。
- 模型評估：評估所選模型的效能，通常使用均方根誤差（RMSE）或平均絕對誤差（MAE）等指標。
殘差分析的重要性
殘差是指實際值與預測值之間的差異。對殘差進行分析可以幫助我們瞭解模型是否已經捕捉到資料中的所有模式，如果沒有，那麼哪些模式被忽略了。透過對殘差進行時間序列分析，可以發現是否還有剩餘的模式或結構，這對於改進模型是非常重要的。
運用移動平均法處理殘差
移動平均法是一種簡單而有效的方法，用於平滑時間序列資料。對於殘差的處理，移動平均法可以幫助我們去除殘差中的隨機波動，從而更好地理解殘差中的模式。以下是使用移動平均法處理殘差的步驟：
- 計算移動平均：根據選定的視窗大小，計算殘差的移動平均。
- 視覺化移動平均：將移動平均值繪製在時間序列圖上，以視覺化殘差中的趨勢或季節性。
- 分析結果：根據移動平均圖，判斷是否還有剩餘的模式或結構存在於殘差中，如果有，則需要進一步調整模型。
案例研究：應用移動平均法對迴歸模型的殘差進行分析
假設我們有一個時間序列資料集，代表某種產品的銷量隨時間的變化。經過初步分析後，我們選擇了一個迴歸模型來預測銷量。然而，對於這個模型的殘差進行分析後，我們發現還有明顯的季節性和趨勢存在於殘差中。為了更好地捕捉這些模式，我們決定使用移動平均法對殘差進行處理。
經過計算和視覺化後，我們發現移動平均值能夠有效地平滑殘差中的隨機波動，並凸顯出季節性和趨勢。這些發現提示我們，原有的迴歸模型可能忽略了某些重要的模式，因此我們需要調整模型以更好地捕捉這些模式。
從技術架構視角來看，時序預測中的平滑法，尤其移動平均法，展現了其在資料處理和預測上的獨特價值。透過視窗滑動平均值計算，它有效地降低了資料噪音，凸顯了潛在趨勢和季節性。中心移動平均利於趨勢視覺化，而尾隨移動平均則更適用於預測。然而，平滑法的簡潔性也帶來了限制，例如難以捕捉複雜的非線性模式以及對視窗寬度敏感。對於包含顯著趨勢或季節性的資料，直接應用移動平均法會產生偏差，需要結合去趨勢和去季節化等預處理步驟。
分析不同平滑方法，例如簡單指數平滑、Holt-Winters 方法等，可以發現它們在權重分配上的差異。簡單指數平滑賦予近期資料更高的權重，而Holt-Winters 則更精細地考量趨勢和季節性成分。選擇合適的平滑常數或引數對於模型的準確性至關重要，需要根據資料特性和預測目標進行調整。此外，平滑法不僅限於預測，它在資料視覺化方面也有廣泛應用，例如平滑曲線可以更清晰地展現資料的整體走勢。
展望未來，深度學習模型在時序預測領域的應用日益增長，但平滑法仍具有其獨特的優勢。尤其在資料量有限、計算資源受限或需要快速原型設計的場景下，平滑法因其簡潔性和易用性仍然是重要的工具。預計未來平滑法將更多地與其他方法結合，例如作為深度學習模型的預處理步驟或用於模型組合，以提升預測的準確性和穩定性。
玄貓認為，平滑法作為經典的時序分析方法，在特定場景下仍然具有實用價值。開發者應根據資料特性和預測目標，謹慎選擇合適的平滑方法和引數，並結合其他技術手段以獲得最佳的預測效果。同時，關注平滑法與新興技術的融合趨勢，將有助於拓展其應用範圍並提升其效能。
