斐波那契數列的計算在程式設計中是一個經典問題，其計算效率的提升一直是演算法最佳化的重點。傳統的遞迴或迭代方法，時間複雜度較高，尤其在計算較大項數時，效率明顯下降。本文介紹的矩陣乘法結合二進位制分解的演算法，能有效降低時間複雜度至 O(log n)，顯著提升計算效率。同時，文章也探討了不同實作版本的效能差異，例如使用查表法、記憶化技術等最佳化技巧，並分析了各種最佳化策略的優缺點，讓讀者對斐波那契數列的計算有更全面的理解。
使用矩陣乘法高效計算斐波那契數列
斐波那契數列是一種經典的數學序列，其定義為：每個數字都是前兩個數字的和（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …）。在電腦科學中，計算斐波那契數列是一個常見的問題，尤其是在探討演算法效率時。
矩陣表示與斐波那契數列
我們可以使用矩陣乘法來高效地計算斐波那契數列。定義一個2x2的矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$，則有： [ A^n = \begin{bmatrix} F(n+1) & F(n) \ F(n) & F(n-1) \end{bmatrix} ] 其中，$F(n)$ 表示第 $n$ 個斐波那契數。
內容解密：
- 矩陣 $A$ 的定義使得其 $n$ 次方的右上角元素恰好是第 $n$ 個斐波那契數。
- 這種表示方法允許我們利用矩陣乘法的性質來計算斐波那契數列。
二進位制分解與快速計算
為了高效計算 $A^n$，我們採用二進位制分解的方法。這種方法的核心思想是將 $n$ 表示為二進位制數，然後利用矩陣乘法的結合律來減少計算次數。
例如，要計算 $A^{23}$，首先將 23 表示為二進位制：$23 = 10111_2$。然後，反轉這個二進位制數得到 11101。接著，計算 $A^{2^0}, A^{2^1}, A^{2^2}, A^{2^3}, A^{2^4}$，並將對應於 1 的矩陣相乘：$A^{2^0} \times A^{2^2} \times A^{2^3} \times A^{2^4}$。
def mul(A, B):
a, b, c, d = A
e, f, g, h = B
return a*e+b*g, a*f+b*h, c*e+d*g, c*f+d*h
def fibIII(n):
A = [1,1,1,0] # 斐波那契矩陣
X = [1,0,0,1] # 單位矩陣
s = str(bin(n))[2:][::-1] # 將 n 轉換為二進位制並反轉
for i in range(len(s)):
if s[i] == '1':
X = mul(X, A)
A = mul(A, A)
return X[1]
內容解密：
mul(A, B)函式用於計算兩個 2x2 矩陣的乘積。fibIII(n)函式透過二進位制分解的方法計算第 $n$ 個斐波那契數。- 將
n轉換為二進位制並反轉，以便根據二進位制位的值決定是否將對應的 $A^{2^i}$ 累乘到結果矩陣X中。 - 在每次迭代中，將
A自乘以計算下一個冪次。
為什麼這種方法更高效？
這種方法的時間複雜度遠低於直接遞迴或迭代計算斐波那契數列。對於計算第 $n$ 個斐波那契數，主要的開銷在於計算 $A^n$。透過二進位制分解，我們將計算次數從 $O(n)$ 降低到 $O(\log n)$，因為我們只需要進行 $\log_2 n$ 次矩陣乘法。
不同實作版本的比較
文中提供了多個版本的 fib 函式實作，包括 fibIII、fibII 和 fibI。這些實作在基本思路上是一致的，但具體實作細節有所不同。比較這些實作的執行效率，可以發現 fibI 的效能最佳。
內容解密：
fibIII、fibII和fibI的主要區別在於矩陣乘法的實作方式和變數的使用。fibI直接展開了矩陣乘法的運算，避免了函式呼叫的開銷，因此效率最高。
斐波那契數列的計算最佳化
斐波那契數列是一種廣泛應用於數學、電腦科學和物理學等領域的數列。它的計算方法有很多種，但不同的實作方式會對效能產生巨大的影響。本篇文章將探討幾種不同的斐波那契數列計算方法，並分析其優缺點。
初始實作與最佳化需求
最初的斐波那契數列計算函式 fibI 和 fibII 展示了遞迴和迭代兩種基本方法。然而，這些方法存在效率問題，尤其是當 n 很大時。為瞭解決這個問題，我們需要對演算法進行最佳化。
矩陣運算與公式推導
透過分析斐波那契矩陣，可以推匯出兩個重要的公式：
fib(2*k) = fib(k)*(2*fib(k+1)-fib(k))fib(2*k+1) = fib(k+1)**2 + fib(k)**2
這些公式為最佳化斐波那契數列的計算提供了理論基礎。
最佳化實作：fibJJ 與 fibJ
利用上述公式，我們可以實作更高效的斐波那契數列計算函式 fibJJ 和 fibJ。其中，fibJ 透過使用查表法（lookup table）將計算時間從3158秒降低到5秒。
程式碼解析：fibJ
def fibJ(n):
if n < 18:
return [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597][n]
if (n%2) == 0:
k = n//2
f = fibJ(k)
g = fibJ(k+1)
return f*(2*g-f)
k = (n-1)//2
f = fibJ(k)
g = fibJ(k+1)
return g*g + f*f
內容解密：
- 使用查表法處理小於18的
n值，以避免不必要的遞迴計算。 - 根據
n的奇偶性，使用不同的公式計算斐波那契數。 - 遞迴呼叫
fibJ來計算f和g，然後根據公式傳回結果。
進一步最佳化：fibK 與記憶化技術
為了進一步提高效能，我們引入了記憶化技術（memoization），實作了 fibK 函式。記憶化技術透過儲存已經計算過的值，避免了重複計算，從而大幅提高了計算效率。
程式碼解析：fibK
def fibK(n, dict = {}):
if n < 18:
return [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597][n]
if (n%2) == 0:
k = n//2
if k not in dict:
dict[k] = fibK(k, dict)
A = dict[k]
if (k+1) not in dict:
dict[k+1] = fibK(k+1, dict)
B = dict[k+1]
return 2*A*B-A*A
else:
k = (n-1)//2
if (k+1) not in dict:
dict[k+1] = fibK(k+1, dict)
A = dict[k+1]
if k not in dict:
dict[k] = fibK(k, dict)
B = dict[k]
return A*A + B*B
內容解密：
- 使用字典
dict儲存已經計算過的斐波那契數，以避免重複計算。 - 根據
n的奇偶性，使用不同的公式計算斐波那契數，並利用儲存的值進行計算。
函式設計的藝術：單一任務與多功能函式的取捨
在程式設計中，如何有效地使用函式是一門藝術。大部分時候，我們希望建立的函式能夠專注於完成單一任務，避免過於複雜的多功能函式。然而，在某些情況下，將多個相關任務合併到一個函式中也可能是合理的。
多功能函式的例子：影像處理
以下是一個將彩色影像和灰階影像處理合併為一個函式的例子：
WIDTH = 512
HEIGHT = 512
class ImageFrame:
def __init__(self, colors, wd=WIDTH, ht=HEIGHT, colorFlag=False):
self.img = PhotoImage(width=wd, height=ht)
for row in range(ht):
for col in range(wd):
num = colors[row*wd + col]
if colorFlag:
kolor = '#%02x%02x%02x' % (num[0], num[1], num[2]) # 彩色
else:
kolor = '#%02x%02x%02x' % (num, num, num) # 灰階
self.img.put(kolor, (col, row))
c = Canvas(root, width=wd, height=ht); c.pack()
c.create_image(0, 0, image=self.img, anchor=NW)
printElapsedTime('displayed image')
內容解密：
colorFlag引數用於控制是否處理為彩色或灰階影像。- 當
colorFlag為True時，影像被處理為彩色；否則，被處理為灰階。 - 這種設計提高了程式碼的複用性，但也增加了理解和維護的複雜度。
單一任務與多功能函式的取捨
在上述例子中，將彩色和灰階處理合併為一個函式雖然減少了程式碼的重複，但也引入了一個額外的引數 colorFlag，使得函式的理解和除錯變得更加困難。
優缺點分析：
合併為一個函式：
- 優點：減少了程式碼的重複，符合 DRY（Don’t Repeat Yourself）原則。
- 缺點：引入額外的引數，增加了理解和除錯的難度。
分開為多個函式：
- 優點：每個函式功能單一，易於理解和除錯。
- 缺點：可能導致程式碼重複，需要在多個地方進行相同的修改。
最佳實踐
Ward Cunningham 的一句名言精闢地總結了這個問題：「If you don’t have a good understanding of the code, you’re not going to be able to make it better.」這意味著，無論選擇哪種方案，開發者都需要對程式碼有深刻的理解。
在實際開發中，我們應該根據具體情況進行權衡：
- 如果程式碼足夠簡單，並且合併後不會顯著增加複雜度，那麼合併為一個函式是合理的。
- 如果程式碼較為複雜，或者未來可能需要對不同功能進行不同的修改，那麼分開為多個函式會更有利於維護。
函式設計的藝術：長度、簡潔性與可讀性
在程式設計的世界裡，函式（Function）是建構程式的基本單立。一個好的函式設計不僅能提高程式碼的可讀性，也能讓維護和擴充變得更加容易。那麼，到底該如何設計一個好的函式呢？
函式的長度：越短越好？
Brian Kernigham 和 P.J. Plauger 曾經提到，他們所寫的函式中位數是 15 行，平均值是 19 行。這個數字告訴我們，函式的長度並不是越短越好，而是應該根據實際需求來設計。一般來說，一個函式不應該超過螢幕所能顯示的行數（約 38 行），但更重要的是追求可讀性，而不是簡單地追求短小。
以 Sudoku 解題為例
以下是一個檢查 Sudoku 解是否正確的函式範例，共 34 行：
def solutionIsCorrect(matrix):
#
---
Build lists of rows and columns.
rows = [[]] * MAX
cols = [[]] * MAX
for r in range(MAX):
for c in range(MAX):
rows[r].append(matrix[r][c].value)
cols[c].append(matrix[r][c].value)
#
---
Build list of blocks.
block = []
for n in range(MAX):
block.append([])
for n in range(MAX):
for r in range(blockHeight):
for c in range(blockWidth):
row = (n//blockWidth)*blockHeight+r
col = (n%blockHeight*blockWidth) +c
block[n].append(matrix[row][col].value)
#
---
Check all rows for all n digits.
for r in rows:
for n in range(1, MAX+1):
if {n,} not in r:
return False
#
---
Check all columns for all n digits.
for c in cols:
for n in range(1, MAX+1):
if {n,} not in c:
return False
#
---
Check all blocks for all n digits.
for b in block:
for n in range(1, MAX+1):
if {n,} not in b:
return False
return True
內容解密：
- 初始化行與列的列表：使用
rows和cols來儲存 Sudoku 矩陣中的每一行和每一列的值。 - 建立區塊列表：將 Sudoku 矩陣劃分為多個區塊，並將每個區塊的值儲存在
block列表中。 - 檢查每行、每列和每個區塊：遍歷
rows、cols和block，確保每個數字從 1 到MAX都出現一次。 - 傳回檢查結果：如果所有檢查都透過，則傳回
True，否則傳回False。
這個函式雖然稍長，但它的每個部分都相對簡單，且有清晰的註解說明。這種設計使得程式碼易於理解和維護。
為什麼不將小部分拆成獨立函式？
在這個範例中，每個部分都相對簡單，不太需要進一步拆分獨立的函式。將這些部分放在一起，有助於保持程式碼的連貫性和可讀性。這裡選擇了內聚（Cohesion）而非解耦（Decoupling），因為這樣可以減少複雜度。
一行函式的價值
有時候，我們會寫一些只有一行的函式，例如：
def triangleHasNotConverged(count, A, B, C):
return (count < MAX_TRIANGLE_COUNT and
SMALLEST_TRIANGLE_SIZE < max(B.dist(C), A.dist(B), A.dist(C)))
這類別函式雖然簡單，但它提供了更好的可讀性。相比於直接寫出複雜的布林表示式，使用一個具有描述性的函式名稱可以讓程式碼更容易理解。
如何選擇合適的函式設計？
考慮到計算兩點之間的距離，我們有三種不同的實作方法：
方法 1：兩個獨立函式
def distance2D(x,y):
assert len(x) == len(y) == 2
return sqrt( (x[0]-y[0])**2 + (x[1]-y[1])**2 )
def distance3D(x,y):
assert len(x) == len(y) == 3
return sqrt( (x[0]-y[0])**2 + (x[1]-y[1])**2 + (x[2]-y[2])**2 )
方法 2：使用迴圈的單一函式
def distance(x,y):
assert len(x) == len(y) and len(x) in {2,3}
total = 0
for n in range(len(x)):
total += (x[n]-y[n])**2
return sqrt( total )
方法 3：使用列表推導式的單一函式
def distance(x,y):
assert len(x) == len(y) and len(x) in {2,3}
return sqrt(sum([(x[n]-y[n])**2 for n in range(len(x))]))
方法 4：無迴圈的單一函式
def distance(x,y):
if len(x) == len(y) == 2:
return sqrt((x[0]-y[0])**2 + (x[1]-y[1])**2)
if len(x) == len(y) == 3:
return sqrt((x[0]-y[0])**2 + (x[1]-y[1])**2 + (x[2]-y[2])**2)
# 此處應新增錯誤處理，例如：
else:
raise ValueError("Unsupported dimension for distance calculation")
內容解密：
- 方法 1 明確區分了 2D 和 3D 距離計算，但需要維護兩個函式。
- 方法 2 和 方法 3 使用了迴圈或列表推導式，使函式更通用，但稍微犧牲了可讀性。
- 方法 4 直接展開計算，避免了迴圈，但需要手動處理不同維度的情況，並且需要適當的錯誤處理機制。
在實際應用中，我們應該根據具體需求選擇最合適的方法。如果預期不會擴充功能，使用簡單直接的方法即可；若需要更高的靈活性，則可以選擇更通用的實作方式。
