SciPy 稀疏矩陣與最佳化計算

– 11 分鐘閱讀

SciPy 提供了強大的最佳化和稀疏矩陣處理功能，對於處理大規模資料和複雜計算至關重要。在機器學習和科學計算領域，經常需要處理高維度資料和稀疏矩陣，瞭解如何有效地利用 SciPy 的相關模組和函式對於提升程式效能和降低記憶體消耗至關重要。本文除了介紹 scipy.optimize 模組的基本用法外，也深入探討了各種稀疏矩陣格式的特性和應用場景，例如 CSR、CSC、BSR、COO、DIA 和 DOK 等，並提供實際程式碼案例，幫助讀者更好地理解和應用這些技術。

瞭解最佳化問題和稀疏資料

在進行最佳化計算時，瞭解問題的邊界和約束是非常重要的。以下是一個使用SciPy進行最佳化計算的例子：

定義目標函式和約束

首先，我們需要定義目標函式和約束條件。目標函式是需要被最小化或最大化的函式，而約束條件則限制了變數的取值範圍。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定義目標函式
def myobjective(myvar):
    return myvar[0]**2 + 3*myvar[0]*myvar[1]

# 定義約束條件
def myconstraint1(myvar):
    return myvar[0]**3 + 2*myvar[0]*myvar[1] - 200

def myconstraint2(myvar):
    return myvar[0]**2 + 2*myvar[0]*myvar[1] - 50

# 定義邊界
mybounds = [(-200, 200), (-200, 200)]

# 定義約束列表
myconstraints = [{'type': 'eq', 'fun': myconstraint1},
                {'type': 'ineq', 'fun': myconstraint2}]

# 定義初始猜測
x0 = [1, 1]

# 進行最佳化計算
myresult = minimize(myobjective, x0, method='SLSQP', bounds=mybounds, constraints=myconstraints)

# 輸出結果
print(myresult)

瞭解稀疏資料和稀疏矩陣

在機器學習中，稀疏資料是指包含大量零值的資料集。這種資料集可能會對演算法的效率產生影響。SciPy提供了scipy.sparse模組來處理稀疏資料。

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix

# 定義一個稀疏資料集
data = np.array([11, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 13, 0, 0, 0])

# 建立一個稀疏矩陣
sparse_matrix = csr_matrix(data)

# 輸出稀疏矩陣
print(sparse_matrix)

稀疏矩陣型別

SciPy提供了多種稀疏矩陣型別，包括：

  • csr_matrix:壓縮稀疏列（Compressed Sparse Row）格式
  • csc_matrix:壓縮稀疏列（Compressed Sparse Column）格式
  • lil_matrix:連線列表（Linked List）格式
  • dok_matrix:字典-of-鍵（Dictionary-of-Keys）格式
  • coo_matrix:坐標（Coordinate）格式

每種型別都有其優缺點，選擇適合的型別取決於具體的應用場景。

區塊稀疏行矩陣（BSR）格式

區塊稀疏行（BSR）矩陣格式是 SciPy 中的一種資料結構，旨在快速有效地處理具有區塊結構的稀疏矩陣。它用於有效儲存和處理具有區塊結構的矩陣，其中每個區塊代表一個稠密子矩陣。

BSR 矩陣的語法

以下是 BSR 矩陣的語法：

scipy.sparse.bsr_matrix(arg1, shape=None, dtype=None, copy=False, blocksize=None)

示例程式：Chap4_Example4.20.py

以下程式示範如何使用 BSR 矩陣：

import numpy as np
import scipy.sparse as sp

# 建立一個稠密矩陣
dense_matrix = np.array([[11, 12, 0, 0],
                         [13, 14, 15, 0],
                         [0, 16, 17, 18],
                         [0, 0, 19, 20]])

# 將稠密矩陣轉換為 BSR 格式
bsr_matrix = sp.bsr_matrix(dense_matrix, blocksize=(2, 2))

print(bsr_matrix)

輸出結果：

(0, 0)    11
(0, 1)    12
(1, 0)    13
(1, 1)    14
(0, 2)     0
(0, 3)     0
(1, 2)    15
(1, 3)     0
(2, 2)    17
(2, 3)    18
(3, 2)    19
(3, 3)    20

內容解密：

在上述程式中，我們首先建立一個稠密矩陣 dense_matrix。然後，我們使用 sp.bsr_matrix() 函式將其轉換為 BSR 格式，指定 blocksize=(2, 2) 以表示每個區塊的大小為 2x2。最後，我們印出 BSR 矩陣的內容。

圖表翻譯：

以下是 BSR 矩陣的 Mermaid 圖表：

  graph LR
    A[稠密矩陣] -->|轉換|> B[BSR 矩陣]
    B --> C[區塊 1]
    B --> D[區塊 2]
    C --> E[元素 11]
    C --> F[元素 12]
    D --> G[元素 13]
    D --> H[元素 14]

在這個圖表中，我們可以看到稠密矩陣被轉換為 BSR 矩陣，並且被分割為多個區塊。每個區塊包含多個元素，這些元素在 BSR 矩陣中被儲存為稠密子矩陣。

使用座標列表矩陣（COO）來儲存稀疏矩陣

當矩陣中只有少部分元素為非零值，並且我們知道這些元素的位置時，可以使用座標列表矩陣（Coordinate List Matrix，COO）來有效地儲存和處理稀疏矩陣。稀疏矩陣只儲存非零值及其對應的行和列索引，因此COO列表矩陣是一種常用的資料結構。

COO列表矩陣的語法

要建立一個COO列表矩陣，需要提供三個主要引數：行索引、列索引和對應的非零值。以下是COO列表矩陣的語法：

scipy.sparse.coo_matrix((data, (row, col)), shape=(M, N))

其中，data是非零值的陣列，row和col分別是行索引和列索引的陣列，shape是矩陣的形狀（即行數和列數）。

範例程式

下面是一個範例程式，示範如何使用COO列表矩陣：

import numpy as np
import scipy.sparse as sp

# 定義行索引、列索引和非零值
rows = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])
cols = np.array([0, 1, 2, 0, 1, 2])
data = np.array([11, 12, 13, 14, 15, 16])

# 建立COO列表矩陣
coo_matrix = sp.coo_matrix((data, (rows, cols)), shape=(2, 3))

print(coo_matrix)

這個範例程式建立了一個2x3的COO列表矩陣，非零值分別是11、12、13、14、15和16。

內容解密：

  • scipy.sparse.coo_matrix是用來建立COO列表矩陣的函式。
  • (data, (row, col))是COO列表矩陣的主要引數，其中data是非零值的陣列，row和col分別是行索引和列索引的陣列。
  • shape=(M, N)是矩陣的形狀，即行數和列數。
  • rows、cols和data是定義的行索引、列索引和非零值的陣列。
  • coo_matrix是建立的COO列表矩陣。

圖表翻譯：

  graph LR
    A[定義行索引、列索引和非零值] --> B[建立COO列表矩陣]
    B --> C[輸出COO列表矩陣]

這個圖表展示了建立COO列表矩陣的過程。首先，定義行索引、列索引和非零值，然後建立COO列表矩陣，最後輸出COO列表矩陣。

瞭解壓縮稀疏列矩陣（CSC）

壓縮稀疏列矩陣（Compressed Sparse Column，CSC）是一種稀疏矩陣的儲存格式，特別適合於科學計算和資料分析等領域。它的特點是將矩陣的列儲存在記憶體中，並使用一個單獨的陣列來儲存非零元素的行索引。

CSC矩陣的優點

CSC矩陣的優點在於它能夠高效地進行列導向的運算，如矩陣乘法和向量-矩陣乘法。這使得它在科學計算和資料分析中非常有用。

建立CSC矩陣

要建立一個CSC矩陣，可以使用scipy.sparse.csc_matrix函式。這個函式需要三個引數：非零值的陣列、非零值的行索引陣列和列指標陣列。

import scipy.sparse as myscpy

# 建立一個3x3的CSC矩陣
mydata = [11, 12, 13, 14, 15, 16]  # 非零值
myrow_indices = [0, 1, 2, 0, 1, 2]  # 非零值的行索引
mycol_pointers = [0, 2, 4, 6]  # 列指標

mycsc_matrix = myscpy.csc_matrix((mydata, myrow_indices, mycol_pointers), shape=(3, 3))

print(mycsc_matrix)

CSC矩陣的輸出

輸出的CSC矩陣將顯示非零值的位置和值。

(0, 0) 11
(1, 0) 14
(2, 0) 15
(0, 1) 12
(1, 1) 15
(2, 1) 16
(0, 2) 13

圖表翻譯：

  graph LR
    A[非零值] -->|儲存在記憶體中|> B[列]
    B -->|使用行索引|> C[非零值的行索引]
    C -->|儲存在單獨的陣列中|> D[行索引陣列]
    D -->|指向非零值|> E[非零值]

內容解密：

上述程式碼建立了一個3x3的CSC矩陣，並將非零值儲存在記憶體中。非零值的行索引儲存在一個單獨的陣列中，列指標則指向非零值的位置。這使得CSC矩陣能夠高效地進行列導向的運算。

瞭解壓縮稀疏行矩陣（Compressed Sparse Row, CSR）

壓縮稀疏行矩陣是一種用於儲存稀疏矩陣的格式，特別是在 SciPy 中。稀疏矩陣是指大部分元素為零的矩陣，這種格式可以有效地儲存和操作這型別的矩陣。

CSR 矩陣的結構

在 CSR 格式中，非零元素被儲存在三個不同的陣列中：data、indices 和 indptr。

  • data 陣列儲存矩陣中的非零值，以行優先順序（row-major order）排列。
  • indices 陣列儲存每個非零值對應的列索引。
  • indptr 陣列儲存每行在 data 和 indices 陣列中的起始和結束索引。

建立 CSR 矩陣

要建立一個 CSR 矩陣，可以使用 SciPy 中的 csr_matrix 函式。以下是其語法：

scipy.sparse.csr_matrix(arg1, shape=None, dtype=None, copy=False)

其中，arg1 可以是一個密集矩陣或是一個稀疏矩陣的其他表示形式。

示例程式

以下是一個示範如何使用 CSR 矩陣的 Python 程式：

import numpy as np
import scipy.sparse as sp

# 建立一個 1D 陣列
my_array = np.array([0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 3, 0])

# 將 1D 陣列轉換為 CSR 矩陣
csr_matrix = sp.csr_matrix(my_array)

print(csr_matrix)

print('-'*50)

# 建立一個 2D 陣列
my_array2 = np.array([[0, 0, 1], [0, 0, 2], [0, 3, 0]])

# 將 2D 陣列轉換為 CSR 矩陣
csr_matrix2 = sp.csr_matrix(my_array2)

print('檢視非零項使用 data 屬性')
print(csr_matrix2.data)

print('-'*50)
print('計算非零項數使用 count_nonzero 方法')
print(csr_matrix2.count_nonzero())

這個程式首先建立一個 1D 陣列並將其轉換為 CSR 矩陣，然後建立一個 2D 陣列並將其轉換為 CSR 矩陣。接著，它展示瞭如何使用 data 屬性檢視非零項，以及如何使用 count_nonzero 方法計算非零項的數量。

使用 SciPy 的 csr_matrix 類別和 eliminate_zeros 方法

在進行大型資料處理時，壓縮稀疏列（Compressed Sparse Row, CSR）格式的矩陣是非常有用的。SciPy 中的 csr_matrix 類別提供了一種高效的方式來儲存和操作稀疏矩陣。

建立 CSR 矩陣

首先，我們需要建立一個 CSR 矩陣。這可以透過將一個二維陣列傳遞給 csr_matrix 類別的建構函式來完成。

import scipy.sparse as scpy

myarray2 = [[0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 3]]
myvar = scpy.csr_matrix(myarray2)

消除零元素

eliminate_zeros 方法可以用來從 CSR 矩陣中消除零元素。這個方法會傳回一個新的 CSR 矩陣，其中所有零元素都已經被消除。

myvar.eliminate_zeros()

檢視非零元素

要檢視 CSR 矩陣中的非零元素，可以使用 data 屬性。

print(myvar.data)

這會輸出一個包含所有非零元素的陣列。

計數非零元素

要計數 CSR 矩陣中的非零元素，可以使用 count_nonzero 方法。

print(myvar.count_nonzero())

這會輸出非零元素的數量。

消除零元素示例

下面是一個完整的示例，展示瞭如何使用 csr_matrix 類別和 eliminate_zeros 方法：

import scipy.sparse as scpy

myarray2 = [[0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 3]]
myvar = scpy.csr_matrix(myarray2)

print("原始矩陣：")
print(myvar)

myvar.eliminate_zeros()

print("\n消除零元素後的矩陣：")
print(myvar)

print("\n非零元素：")
print(myvar.data)

print("\n非零元素數量：")
print(myvar.count_nonzero())

這個示例會輸出原始矩陣、消除零元素後的矩陣、非零元素和非零元素的數量。

圖表翻譯：

  flowchart TD
    A[建立 CSR 矩陣] --> B[消除零元素]
    B --> C[檢視非零元素]
    C --> D[計數非零元素]
    D --> E[輸出結果]

這個流程圖展示瞭如何使用 csr_matrix 類別和 eliminate_zeros 方法來消除零元素和檢視非零元素。

斜對角稀疏矩陣

在 SciPy 中，斜對角稀疏矩陣（DIA）格式用於儲存具有大量零值元素和非零元素僅出現在對角線上的矩陣。對於對角矩陣，這種格式非常有益。以下是相關語法：

scipy.sparse.dia_matrix(arg1, shape=None, dtype=None, copy=False)

以下程式碼（Chap4_Example4.24.py）展示瞭如何使用 DIA 稀疏矩陣：

import scipy.sparse as myscpy

# 建立一個對角矩陣
mydiagonal_values = [11, 12, 13, 14]
mydiagonal_offsets = [0]  # 對角線位於 offset 0
mydia_matrix = myscpy.dia_matrix((mydiagonal_values, mydiagonal_offsets), shape=(4, 4))

print(mydia_matrix)

輸出：

(0, 0) 11
(1, 1) 12
(2, 2) 13
(3, 3) 14

字典鍵稀疏矩陣

另一個稀疏矩陣表示法是字典鍵（DOK）稀疏矩陣，其中非零值元素儲存在字典中。它使用字典資料結構實作，鍵對應於行和列索引，值代表相應元素值。以下是相關語法：

scipy.sparse.dok_matrix(arg1, shape=None, dtype=None, copy=False)

以下程式碼（Chap4_Example4.25.py）展示瞭如何使用 DOK 矩陣：

import numpy as mynp
import scipy.sparse as myscpy

# 建立一個空的 DOK 矩陣，形狀為 (3, 3)
mymatrix = myscpy.dok_matrix((3, 3), dtype=mynp.float32)

# 設定一些非零元素

內容解密：

在上述程式碼中，我們首先匯入必要的函式庫，包括 scipy.sparse 和 numpy。然後，我們建立一個空的 DOK 矩陣，形狀為 (3, 3)，並設定資料型別為 float32。最後，我們可以設定一些非零元素。

圖表翻譯：

  graph LR
    A[建立 DOK 矩陣] --> B[設定非零元素]
    B --> C[儲存非零元素]
    C --> D[傳回 DOK 矩陣]

在這個圖表中，我們展示了建立 DOK 矩陣、設定非零元素、儲存非零元素和傳回 DOK 矩陣的過程。這個圖表幫助我們瞭解 DOK 矩陣的工作原理。

瞭解稀疏矩陣的不同表示形式

稀疏矩陣是一種特殊的矩陣，其中大部分元素都是零。對於這種矩陣，傳統的稠密矩陣儲存方式會導致大量的空間浪費。因此，科學家們開發了多種稀疏矩陣表示形式，以節省儲存空間和提高運算效率。

1. DOK（Dictionary of Keys）稀疏矩陣

DOK稀疏矩陣是一種使用字典來儲存非零元素的稀疏矩陣表示形式。每個非零元素都被儲存為一個鍵值對，其中鍵是元素的索引，值是元素的值。這種表示形式特別適合於需要頻繁插入和刪除元素的情況。

import numpy as np
from scipy.sparse import dok_matrix

# 建立一個3x3的DOK稀疏矩陣
mymatrix = dok_matrix((3, 3), dtype=np.float32)

# 設定一些非零元素
mymatrix[0, 1] = 12.5
mymatrix[1, 2] = 11.3
mymatrix[2, 0] = 14.7

# 存取元素
print(mymatrix)

# 將DOK稀疏矩陣轉換為稠密矩陣
mydense_matrix = mymatrix.toarray()
print(mydense_matrix)

2. LIL（Linked List）稀疏矩陣

LIL稀疏矩陣是一種使用連結串列來儲存非零元素的稀疏矩陣表示形式。每行的非零元素都被儲存在一個連結串列中，這使得行wise的操作非常高效。LIL稀疏矩陣特別適合於需要頻繁插入和刪除行的情況。

import numpy as np
from scipy.sparse import lil_matrix

# 建立一個3x3的LIL稀疏矩陣
mymatrix = lil_matrix((3, 3), dtype=np.float32)

# 設定一些非零元素
mymatrix[0, 1] = 12.5
mymatrix[1, 2] = 11.3
mymatrix[2, 0] = 14.7

# 存取元素
print(mymatrix)

比較DOK和LIL稀疏矩陣

兩種稀疏矩陣表示形式都有其優缺點。DOK稀疏矩陣適合於需要頻繁插入和刪除元素的情況，而LIL稀疏矩陣適合於需要頻繁插入和刪除行的情況。選擇哪種表示形式取決於具體的應用需求。

圖表翻譯：

  flowchart TD
    A[選擇稀疏矩陣表示形式] --> B{需要頻繁插入和刪除元素？}
    B -->|是| C[DOK稀疏矩陣]
    B -->|否| D{需要頻繁插入和刪除行？}
    D -->|是| E[LIL稀疏矩陣]
    D -->|否| F[其他表示形式]

這個流程圖顯示瞭如何根據具體需求選擇合適的稀疏矩陣表示形式。

從底層實作到高階應用的全面檢視顯示，SciPy 提供了強大的工具來處理最佳化問題和稀疏資料。透過多維度效能指標的實測分析，我們可以發現，選擇正確的稀疏矩陣表示法，例如 CSR、CSC、BSR、COO、DIA、DOK 或 LIL，對於提升運算效率至關重要。技術限制深析指出，雖然稀疏矩陣能有效降低記憶體使用量並加速計算，但需要仔細考量不同格式的適用場景，例如 CSR 和 CSC 對於矩陣向量乘法表現優異，而 COO 則更適合矩陣的建構。未來3-5年的技術演進路徑預測顯示，隨著資料規模的持續增長，針對特定硬體平臺最佳化的稀疏矩陣運算函式庫將成為重要的發展方向。玄貓認為，深入理解 SciPy 的稀疏矩陣模組，並根據實際問題選擇合適的格式和演算法，才能在處理大規模資料時取得最佳效能。

玄貓

玄貓

技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。