感測器在精密儀器中扮演關鍵角色，但其輸出常受非線性、溫度飄移等因素影響。為確保量測準確性，多點校正和非線性補償函式至關重要。本文將探討線性校正方法，包含一次和多點迴歸，並深入研究非線性補償函式設計，如多項式迴歸、樣條插值、區段線性化和神經網路補償。此外，文章也涵蓋多變數校正，以應對溫度、時間等外部因素的影響，並闡述效能驗證指標，如誤差平方和、均方根誤差、動態校正速度和最大誤差，以及實作這些指標的具體步驟，以確保感測器系統達到預期效能。
多點校正與非線性補償函式
在高精確度量測裝置中，感測器的非線性、溫度飄移和機構誤差會導致輸出偏差。為了提高轉換精確度和一致性，多點校正和非線性補償函式是必要的。多點校正是藉由標準參考值建構對應函式，以提高量測的準確度和可靠性。
校正的必要性與應用場景
在精密儀器系統中，任何微小的偏差都會造成量測誤判。常見需校正的場景包括：
- 秤重裝置的線性誤差：Load Cell 輸出並非完全線性，須進行多點修正。
- 零點位移（Zero Drift）：開機初始位置偏移需重新歸零。
- 影像感測器的明暗度對映不均：須進行 Gamma 補正與畫素平衡。
- 多感測器系統的引數不一致：各感測元件需同步校正。
線性校正：一次與多點迴歸
假設輸出與真實值呈線性關係，可使用線性迴歸求解標準化公式：
$$ \text{Weight} = k \times D_{ADC} + b $$
其中，$k$ 和 $b$ 分別代表斜率和截距。
若為多點標定，則可進行最小平方法求解。令 $N$ 個已知標準砝碼 $(W_i, D_i)$，則損失函式為：
$$ L(k, b) = \sum_{i=1}^{N} (W_i - (kD_i + b))^2 $$
解得：
$$ k = \frac{N \sum_{i=1}^{N} (W_i D_i) - \sum_{i=1}^{N} W_i \sum_{i=1}^{N} D_i}{N \sum_{i=1}^{N} (D_i^2) - \left( \sum_{i=1}^{N} D_i \right)^2} $$
$$ b = \frac{\sum_{i=1}^{N} W_i - k \sum_{i=1}^{N} D_i}{N} $$
內容解密：
以上公式是根據線性迴歸的原理，目的是找出最佳的直線方程，以最小化預測值與實際值之間的差異。這個過程涉及到矩陣運算和最佳化技術，以求得最適合的引數 $k$ 和 $b$。
非線性補償函式
在實際應用中，感測器的輸出可能不完全遵循線性關係。這時，需要使用非線性補償函式來進行校正。非線性補償函式可以是多項式、邏輯函式或其他形式的函式，目的是盡量接近實際的非線性關係。
圖表翻譯：
flowchart TD
A[感測器輸出] --> B[線性迴歸]
B --> C[非線性補償]
C --> D[輸出校正]
D --> E[最終輸出]
圖表翻譯：
此圖表示了從感測器輸出到最終輸出的流程。首先，感測器的輸出會經過線性迴歸，以求得初步的校正值。然後，非線性補償函式會被應用，以進一步提高校正的準確度。最後，經過校正的輸出會被輸出為最終結果。
非線性補償函式設計
在許多感測器應用中，輸出與輸入之間的關係可能並非線性的。為了確保感測器的精確度和可靠性，需要設計非線性補償函式來糾正這些非線性關係。
多項式迴歸
多項式迴歸是一種常用的方法，用於建構非線性補償函式。其基本思想是使用多項式方程來近似感測器的輸出與輸入之間的關係。例如：
$$ Weight = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n $$
其中，$a_0, a_1, a_2, …, a_n$ 是多項式的係數，$x$ 是輸入物理量，$Weight$ 是感測器的輸出。
樣條插值
樣條插值是一種數值插值方法，用於對非線性關係進行平滑近似。其基本思想是將整個測量範圍劃分為若干小區間，並在每個區間中使用三次樣條函式進行近似。
區段線性化
區段線性化是一種簡單的方法，用於對非線性關係進行近似。其基本思想是將整個測量範圍劃分為若干區間，並在每個區間中使用線性函式進行近似。
神經網路補償
神經網路補償是一種使用人工神經網路來模擬非線性轉換的方法。其基本思想是使用一層或多層神經元來學習感測器的輸出與輸入之間的非線性關係。例如，可以使用一個 1 層 8 個神經元的多層感知器（MLP）來模擬非線性轉換。
多變數校正
在實際應用中，感測器的輸出不僅受輸入物理量的影響，也會受到溫度、時間老化、電源不穩等外部因子的影響。為了確保感測器的精確度和可靠性，需要對這些外部因子進行校正。可以使用多變數模型來描述感測器的輸出與輸入之間的關係，例如：
$$ Weight = f(D_{ADC}, Temp, Time) \approx b_0 + b_1x + b_2T + b_3x^2 + b_4T^2 + b_5xT $$
其中，$b_0, b_1, b_2, …, b_5$ 是多變數模型的係數，$D_{ADC}$ 是輸入物理量，$Temp$ 是溫度，$Time$ 是時間，$Weight$ 是感測器的輸出。
補償模型佈署與效能驗證
補償函式設計完成後，需要佈署至 MCU 端或雲端 API。可以使用查表（Lookup Table）+ 線性內插的方法來減少運算量。另外，可以使用 FastAPI + scikit-learn 來佈署模型推論服務。若使用神經網路，可以轉換為邊緣推論模型佈署於 ESP32-C3。
內容解密：
上述內容介紹了非線性補償函式設計的方法，包括多項式迴歸、樣條插值、區段線性化和神經網路補償。同時，還介紹了多變數校正的方法，包括使用多變數模型來描述感測器的輸出與輸入之間的關係。最後，介紹了補償模型佈署與效能驗證的方法，包括使用查表（Lookup Table）+ 線性內插、FastAPI + scikit-learn 和邊緣推論模型佈署於 ESP32-C3。
flowchart TD
A[感測器輸出] --> B[非線性補償函式]
B --> C[多項式迴歸]
B --> D[樣條插值]
B --> E[區段線性化]
B --> F[神經網路補償]
C --> G[係數求解]
D --> H[平滑近似]
E --> I[線性函式近似]
F --> J[神經網路訓練]
G --> K[補償模型佈署]
H --> K
I --> K
J --> K
K --> L[效能驗證]
圖表翻譯：
上述流程圖描述了非線性補償函式設計的流程，包括感測器輸出、非線性補償函式、多項式迴歸、樣條插值、區段線性化、神經網路補償、係數求解、平滑近似、線性函式近似、神經網路訓練、補償模型佈署和效能驗證。圖中每個步驟之間的箭頭表示了流程的順序和關係。
效能驗證指標
在評估系統的效能時，需要考慮多個指標以確保其能夠滿足實際應用的需求。以下是幾個重要的效能驗證指標：
1. 誤差平方和（SSE）/ 均方根誤差（RMSE）
這兩個指標用於評估系統的預測或估計值與真實值之間的差異。誤差平方和（SSE）是所有誤差的平方和，均方根誤差（RMSE）則是SSE的平方根。這兩個指標可以幫助我們瞭解系統的整體效能和準確度。
2. 動態輸入下之即時校正速度與準確率
在動態環境中，系統需要能夠快速地對輸入進行校正並提供準確的輸出。這個指標評估系統在動態條件下的反應速度和準確度，確保系統能夠即時地對變化的輸入做出反應。
3. 補償後與真實值間之最大誤差
這個指標關注的是系統在補償後與真實值之間的最大誤差。這個誤差需要控制在允收誤差的範圍內，例如 ±1g，以確保系統的輸出在可接受的誤差範圍內。這個指標對於需要高精確度的應用尤其重要。
實作效能驗證指標
要實作這些效能驗證指標，需要進行以下步驟：
步驟1：定義評估標準
首先，需要定義評估標準，包括誤差平方和（SSE）、均方根誤差（RMSE）、動態輸入下之即時校正速度與準確率、以及補償後與真實值間之最大誤差的允收範圍。
步驟2：收集資料
接下來，需要收集系統在不同輸入和條件下的資料，以計算上述指標。這些資料可以來自實驗、模擬或實際應用。
步驟3：計算效能指標
使用收集到的資料，計算每個效能指標的值。例如，計算SSE和RMSE需要將預測值和真實值進行比較，然後計算誤差的平方和和均方根。
步驟4：分析結果
分析計算出的效能指標，評估系統是否滿足預定的要求。如果某個指標未達到要求，需要進行系統的調整和最佳化。
步驟5：最佳化系統
根據分析結果，對系統進行最佳化，以改善其效能。這可能涉及調整系統的引數、改進演算法或增加硬體資源。
從效能最佳化視角來看，多點校正和非線性補償函式對於提升高精確度量測系統至關重要。藉由多項式迴歸、樣條插值或神經網路等方法擬合非線性特性，感測器系統能有效降低零點飄移、溫度效應等因素造成的誤差，提升量測精確度。然而，不同補償方法的計算複雜度和資源消耗也需納入考量。例如，根據查表法的線性內插適合資源有限的MCU，而複雜的神經網路模型則更適用於運算能力較強的平臺，如ESP32-C3或雲端API服務。此外，多變數校正模型能更精確地反映真實世界場景，但模型複雜度也會隨之提升，需權衡效能與資源消耗。對於追求極致效能的應用，建議採用結合多變數校正和高階非線性補償函式，並針對特定硬體平臺進行最佳化，例如使用TensorFlow Lite等框架將模型轉換為高效的邊緣推論模型。展望未來，隨著邊緣運算能力的提升和機器學習技術的發展，預期更複雜、更精確的感測器校正和補償方法將會普及，進一步提升各領域的量測精確度和可靠性。玄貓認為，開發者應關注演算法效率和硬體資源的平衡，並持續探索新的模型最佳化技術，才能在實際應用中最大化發揮這些技術的潛力。
