在資源受限的嵌入式系統中，數學運算效率是影響系統整體效能的關鍵因素。不同運算的執行速度差異顯著，例如加法和減法最快，乘法次之，而除法最慢，尤其在缺乏硬體除法指令的處理器上，更需謹慎使用。程式碼中隱藏的除法運算，例如模數運算，也可能成為效能瓶頸。針對此問題，可利用位元運算替代模數運算，以提升效率。此外，計算平均值時，累積平均值方法可以避免儲存所有樣本值，從而節省記憶體空間。善用現有的最佳化演算法函式庫，並根據實際需求調整演算法，也是提升效能的有效途徑。
數學運算效率分析
在嵌入式系統中，數學運算的效率對於系統的效能有著重要影響。不同數學運算的執行速度差異很大，瞭解這些差異可以幫助開發者最佳化系統的效能。
基本運算效率
- 加法和減法：這兩種運算通常是最快的，因為它們只需要執行基本的算術操作。
- 乘法：在DSP（數字訊號處理器）中，乘法運算通常很快，因為它們通常與加法合並成一個指令（MAC，乘積累加）。在非DSP處理器中，乘法運算的速度通常介於加法和除法之間。
- 除法：除法運算通常是最慢的，因為它們需要更多的計算步驟。有些處理器可能沒有硬體除法指令，需要呼叫函式庫函式來實作除法，這會使得除法運算變得更加耗時。
避免隱藏的除法運算
有些程式碼可能包含隱藏的除法運算，例如使用模數（%）運算子。這些運算子實際上是執行除法運算，因此應盡量避免使用它們，特別是在需要高效率的迴圈中。
// 隱藏的除法運算
for (i = 0; i < 100; i++) {
if ((i % 10) == 0) {
printf("%d percent done.", i);
}
}
可以使用位元操作來替代模數運算，從而提高效率：
// 使用位元操作替代模數運算
for (i = 0; i < 100; i++) {
if (!(i & 0x07)) { // 每8次迴圈列印一次
printf("%d percent done.", i);
}
}
使用累積平均值
在某些情況下，可以使用累積平均值來替代傳統的平均值計算。累積平均值只需記錄前一次的平均值和新樣本值，即可計算出新的平均值，不需要儲存所有樣本值。
int16_t UpdatedCumulativeAverage(int16_t prevAve, int16_t newSample, int16_t numSamples) {
int32_t sum = (numSamples - 1) * prevAve;
sum += newSample;
return (sum / numSamples);
}
使用現有的演算法
當需要實作某個演算法時，應該先查詢是否已經有現成的最佳化解決方案。網路上有許多資源提供了最佳化過的演算法實作，同時也應該注意版權問題。
變異數與標準差的計算
在進行資料分析時，瞭解變異數（Variance）和標準差（Standard Deviation）是非常重要的。這兩個指標可以幫助我們瞭解資料的分散程度。
變異數的計算
變異數是指資料與其平均值之間的差異的平方和的平均值。其計算公式為：
σ² = (1/N) * ∑(x_i - x_mean)²
其中，σ²代表變異數，N代表樣本數，x_i代表每個資料點，x_mean代表平均值。
標準差的計算
標準差是變異數的平方根，代表資料的分散程度。其計算公式為：
σ = √(σ²)
實作變異數與標準差的計算
在嵌入式系統中，計算變異數和標準差可以使用以下步驟：
- 首先，計算平均值。
- 然後，計算每個資料點與平均值之間的差異的平方和。
- 最後，計算變異數和標準差。
以下是一個簡單的範例程式碼：
float calculateVariance(int16_t* samples, uint16_t numSamples, int16_t mean) {
uint32_t sumSquares = 0;
int32_t tmp;
uint32_t i;
for (i = 0; i < numSamples; i++) {
tmp = samples[i] - mean;
sumSquares += tmp * tmp;
}
return ((float) sumSquares / numSamples);
}
在嵌入式系統中最佳化變異數與標準差的計算
在嵌入式系統中，計算變異數和標準差可以使用以下最佳化步驟：
- 使用一個結構體來儲存中間變數，例如平均值和平方和。
- 在每次新增資料點時，更新中間變數。
- 最後，計算變異數和標準差。
以下是一個最佳化的範例程式碼：
struct sVar {
int32_t sum;
uint64_t sumSquares;
uint16_t numSamples;
};
void addSampleToVariance(struct sVar* var, int16_t newSample) {
var->sum += newSample;
var->sumSquares += newSample * newSample;
var->numSamples++;
}
float getVariance(struct sVar* var, float* average) {
float variance;
*average = (float) var->sum / var->numSamples;
variance = (var->sumSquares - (var->sum * (*average))) / (var->numSamples - 1);
return variance;
}
使用 Welford 的演算法
Welford 的演算法是一種用於計算變異數和標準差的演算法，其優點是可以在單次遍歷資料中計算出變異數和標準差。以下是一個範例程式碼：
struct sVar {
int16_t mean;
int32_t M2;
uint16_t numSamples;
};
void addSampleToVariance(struct sVar* var, int16_t newSample) {
int16_t delta = newSample - var->mean;
var->numSamples++;
var->mean += delta / var->numSamples;
var->M2 += delta * (newSample - var->mean); // uses the new mean
}
uint16_t getVariance(struct sVar* var, int16_t* average) {
uint16_t variance = var->M2 / var->numSamples;
*average = var->mean; // running average already calculated
// get ready for the next block
var->numSamples = 0; var->mean = 0; var->M2 = 0;
return variance;
}
第12章：數學
在數學計算中，效率和簡潔是非常重要的。讓我們來看看如何使用Horner方案來簡化多項式計算。Horner方案是一種將多項式轉換為更高效形式的方法，減少了乘法和加法的次數。
例如，對於一個三次多項式：
Ax^3 + Bx^2 + C*x + D
我們可以使用Horner方案將其轉換為：
(((A*x + B)*x + C)*x + D)
這樣可以減少乘法和加法的次數，提高計算效率。
另一個重要的數學工具是Taylor級數。Taylor級數是一種將函式表示為無窮級數的方法，可以用於近似函式的值。Taylor級數對於許多函式都有效，包括三角函式（正弦、餘弦、正切等）、多項式和對數函式。
例如，正弦函式的Taylor級數展開式為：
sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +…
我們可以使用Horner方案將其轉換為更高效的形式：
sin(x) ≈ x = Ax^3 + Bx^5 - Cx^7
這樣可以減少乘法和加法的次數，提高計算效率。
內容解密：
在上面的例子中，我們使用Horner方案將多項式轉換為更高效的形式。這樣可以減少乘法和加法的次數，提高計算效率。同時，我們也使用Taylor級數來近似函式的值，這是一種非常有用的工具，可以用於許多不同的函式。
圖表翻譯：
下面是使用Mermaid語法繪製的Taylor級數展開式圖表：
flowchart TD
A[輸入x] --> B[計算x^3]
B --> C[計算x^5]
C --> D[計算x^7]
D --> E[計算sin(x)]
E --> F[輸出結果]
這個圖表展示瞭如何使用Taylor級數展開式來近似正弦函式的值。
圖表翻譯：
在上面的圖表中，我們可以看到如何使用Taylor級數展開式來近似正弦函式的值。首先，我們輸入x的值，然後計算x^3、x^5和x^7的值。最後，我們使用這些值來計算sin(x)的值，並輸出結果。
程式碼範例：
下面是使用Python語言實作Taylor級數展開式的程式碼範例：
import math
def sin(x, n=10):
result = 0
for i in range(n):
sign = (-1)**i
result += ((x**(2.0*i+1))/math.factorial(2*i+1))*sign
return result
x = 1.0
print(sin(x))
這個程式碼範例使用Taylor級數展開式來近似正弦函式的值，並輸出結果。
瞭解正弦函式的泰勒級數
正弦函式的泰勒級數是一種用於近似計算正弦函式值的方法。泰勒級數是一種將函式表示為無窮級數的方法，可以用來近似計算函式的值。正弦函式的泰勒級數如下：
$$\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$
其中，$x$ 是以弧度表示的角度。
減少計算複雜度
泰勒級數可以用來減少計算正弦函式的複雜度。例如，如果只需要計算小角度的正弦函式，可以使用以下近似：
$$\sin(x) \approx x$$
這個近似對於小角度（例如 $x < 0.2\pi$）是相當準確的。
增加精確度
如果需要更高的精確度，可以增加泰勒級數的項數。例如，使用四個項的泰勒級數：
$$\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}$$
這個近似對於大多數角度都是相當準確的。
實作泰勒級數
泰勒級數可以使用程式語言實作。以下是使用 C++ 實作四個項的泰勒級數的例子：
double sinX = x * (1 - x*x * (1/6.0 + x*x * (1/120.0 - x*x * (1/5040.0))));
或者，可以將計算拆分成多個步驟：
double tmp = -1/5040.0 * x*x;
tmp = x*x * (1/120.0 + tmp);
tmp = x*x * (-1/6.0 + tmp);
double sinX = x * (1 - tmp);
避免浮點數運算
在某些情況下，可能需要避免浮點數運算。可以使用整數運算和一些技巧來避免浮點數運算。
從效能最佳化視角來看，嵌入式系統的數學運算效率提升至關重要。本文探討了從基本運算的效能差異、隱藏的除法運算的避免，到變異數及標準差計算的最佳化策略，甚至是利用 Horner 方案簡化多項式計算和 Taylor 級數近似函式值等多層次最佳化技巧。分析顯示，儘管加法和減法運算速度最快，但除法和隱藏的除法運算（例如模數運算）會顯著拖慢系統效能。因此，採用位元運算、累積平均值等替代方案，並善用現有最佳化演算法或如 Welford 演算法這類別針對變異數與標準差計算的專用演算法，能有效提升計算效率。此外，文章提及 Horner 方案與 Taylor 級數的應用，展現了更深層次的數學最佳化思維。然而，這些方法的實際應用仍需考量系統資源和精確度需求。玄貓認為，開發者應重視數學運算效率對系統整體效能的影響，並根據實際應用場景選擇合適的最佳化策略，才能在資源有限的嵌入式系統中取得最佳效能平衡。未來，隨著嵌入式系統應用場景日益複雜，更高效的數學運算函式庫和硬體加速方案將成為重要的發展方向。
