主成分分析實作資料降維

在資料科學領域，高維資料的處理一直是一大挑戰。過多的變數不僅增加計算複雜度，也容易造成模型過擬合，降低泛化能力。因此，降維技術應運而生，旨在降低資料維度，同時保留重要的資訊。主成分分析（PCA）作為一種經典的線性降維方法，廣泛應用於各個領域。PCA 的核心思想是將原始資料投影到新的正交座標系中，選擇變異數最大的幾個座標軸作為主成分，從而實作資料降維。這個過程不僅可以去除冗餘資訊，還能有效降低噪音，提高模型效率。臺灣的資料科學家也經常使用 PCA 處理高維資料，例如在電商領域分析使用者行為、金融領域進行風險評估等。

降維技術

降維技術是一種用於降低資料維度的方法。它可以幫助我們篩選出冗餘的變數，同時保留重要的資訊。常用的降維技術包括：

主成分分析（PCA）
獨立成分分析（ICA）
t-分佈鄰域嵌入（t-SNE）

這些方法可以用於降低資料維度，同時保留重要的資訊。

主成分分析（PCA）

主成分分析是一種常用的降維技術。它可以幫助我們篩選出冗餘的變數，同時保留重要的資訊。透過PCA，可以將原始變數轉換為新的、無關的變數，這些新變數稱為主成分。

獨立成分分析（ICA）

獨立成分分析是一種用於分離混合訊號的方法。它可以幫助我們篩選出冗餘的變數，同時保留重要的資訊。透過ICA，可以將原始變數轉換為新的、獨立的變數，這些新變數稱為獨立成分。

t-分佈鄰域嵌入（t-SNE）

t-分佈鄰域嵌入是一種非線性降維技術。它可以幫助我們篩選出冗餘的變數，同時保留重要的資訊。透過t-SNE，可以將高維資料對映到低維空間中，同時保留資料的區域性結構。

時間序列分析中的類別變數處理

在時間序列分析中，類別變數的處理是一個重要的步驟。類別變數可以是指示季節（例如，月份或一天中的小時）的預測變數。在這種情況下，減少類別數量可以簡化模型並提高其可解釋性。

類別變數的合併

例如，圖 4.5 顯示了 1992 年至 1995 年間 Toys “R” Us 的季度收入。從圖中可以看出，只有第四季度的收入明顯不同，因此我們可以將第一至第三季度合併為一個單一類別。這樣做可以減少類別數量，簡化模型，並提高其可解釋性。

時間序列分析的重要性

時間序列分析是一種用於分析和預測時間序列資料的統計方法。時間序列資料是指在不同時間點上收集的資料，例如每日、每週、每月或每年的資料。時間序列分析可以幫助我們瞭解資料的趨勢、季節性和週期性，並根據歷史資料進行預測。

玄貓的見解

玄貓認為，在時間序列分析中，類別變數的處理是一個關鍵步驟。透過合併類別變數，可以簡化模型，提高其可解釋性，並改善預測結果。同時，玄貓也強調了時間序列分析的重要性，認為它可以幫助我們瞭解資料的趨勢和季節性，並根據歷史資料進行預測。

內容解密：

在時間序列分析中，類別變數的處理是一個重要的步驟。透過合併類別變數，可以簡化模型，提高其可解釋性，並改善預測結果。以下是合併類別變數的步驟：

對資料進行初步分析，瞭解類別變數的分佈情況。
根據初步分析的結果，確定哪些類別變數可以合併。
對選定的類別變數進行合併，形成新的類別變數。
對新的類別變數進行驗證，確保其有效性和可靠性。

圖表翻譯：

圖 4.5 顯示了 1992 年至 1995 年間 Toys “R” Us 的季度收入。從圖中可以看出，只有第四季度的收入明顯不同，因此我們可以將第一至第三季度合併為一個單一類別。這樣做可以減少類別數量，簡化模型，並提高其可解釋性。

  flowchart TD
    A[時間序列分析] --> B[類別變數處理]
    B --> C[合併類別變數]
    C --> D[簡化模型]
    D --> E[提高可解釋性]
    E --> F[改善預測結果]

圖表說明：

上述流程圖顯示了時間序列分析中的類別變數處理過程。首先，對資料進行初步分析，瞭解類別變數的分佈情況。然後，根據初步分析的結果，確定哪些類別變數可以合併。接下來，對選定的類別變數進行合併，形成新的類別變數。最後，對新的類別變數進行驗證，確保其有效性和可靠性。

主題標題

資料分析與降維技術

4.7 將類別變數轉換為數值變數

在某些情況下，類別變數代表的實際上是間隔或範圍，例如年齡組或收入階層。如果我們知道這些間隔的具體值（例如，類別2對應於20-30歲的年齡間隔），我們就可以用間隔的中點值（在這個例子中是25）取代類別值（“2”）。這樣做的結果將是一個數值變數，不再需要多個虛擬變數。

4.8 主成分分析

主成分分析（PCA）是一種非常有用的降維方法，特別是在變數數量很大時。PCA在以下情況下尤其有價值：當我們有一組測量值，它們是在相同尺度上測量的，並且之間高度相關。在這種情況下，PCA提供了少量的變數（通常只有三個），它們是原始變數的加權線性組合，並且保留了原始完整集合的大部分資訊。PCA是為了處理量化變數而設計的。對於類別變數，其他方法（如對應分析）更為合適。

內容解密：

主成分分析是一種統計方法，用於將高維度的資料轉換為低維度的資料，以便更容易地進行分析和視覺化。它透過計算原始變數的加權線性組合來實作這一點，從而保留了原始資料的大部分資訊。這種方法尤其適合於處理大量相關的量化變數的情況。

圖表翻譯：

圖4.5顯示了Toys “R” Us從1992年到1995年的季度收入情況。透過這個圖表，我們可以清晰地看到Toys “R” Us在這段時間內的收入趨勢和季節性變化。這種視覺化方法有助於我們更好地理解和分析資料。

  flowchart TD
    A[原始資料] --> B[主成分分析]
    B --> C[降維]
    C --> D[保留主要資訊]
    D --> E[結果分析]

圖表說明：

上述Mermaid圖表展示了主成分分析的基本流程。首先，我們從原始資料開始，然後應用主成分分析進行降維，保留了原始資料的大部分資訊。最後，我們對結果進行分析，以獲得有價值的洞察。這個過程簡單明瞭，有效地幫助我們理解和應用主成分分析技術。

簡介早餐穀物的營養資訊和消費者評分

早餐穀物的營養資訊和消費者評分是兩個重要的變數，對於瞭解早餐穀物的健康性和消費者偏好具有重要意義。這裡，我們將探討如何使用主成分分析（PCA）來減少這些變數的維度，同時保留其最重要的資訊。

資料描述

我們收集了 77 種早餐穀物的營養資訊和消費者評分資料。每種早餐穀物都有 13 個數值變數，包括熱量、蛋白質、脂肪、鈉、纖維、碳水化合物、糖、鉀和維生素等。消費者評分是根據早餐穀物的健康性進行評估的。

熱量和消費者評分的相關性

熱量和消費者評分之間存在著強烈的負相關性，相關係數為 -0.69。這意味著兩個變數之間存在著約 69% 的共變異性，也就是說，兩個變數之間存在著一定程度的冗餘資訊。

主成分分析（PCA）

PCA 是一種常用的維度減少技術，旨在找到一組新的變數，這些變數能夠保留原始變數的大部分資訊。透過對熱量和消費者評分進行 PCA，我們可以找到一組新的變數，這些變數能夠解釋原始變數的大部分變異性。

實作PCA

首先，我們需要計算熱量和消費者評分的方差和協方差矩陣。然後，我們可以使用這些矩陣來計算主成分的載荷和特徵值。最後，我們可以使用這些主成分來轉換原始變數，得到新的變數。

內容解密：

PCA 的實作過程包括以下步驟：

計算原始變數的方差和協方差矩陣。
計算主成分的載荷和特徵值。
使用主成分來轉換原始變數，得到新的變數。

import numpy as np

# 定義原始變數
X = np.array([[106.88, 42.67], [19.48, 14.05]])

# 計算方差和協方差矩陣
cov_matrix = np.cov(X.T)

# 計算主成分的載荷和特徵值
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)

# 使用主成分來轉換原始變數
new_X = np.dot(X, eigenvectors)

圖表翻譯：

以下是 PCA 的流程圖：

  flowchart TD
    A[原始變數] --> B[計算方差和協方差矩陣]
    B --> C[計算主成分的載荷和特徵值]
    C --> D[使用主成分來轉換原始變數]
    D --> E[得到新的變數]

這個流程圖展示了 PCA 的實作過程，從計算原始變數的方差和協方差矩陣開始，到使用主成分來轉換原始變數，得到新的變數。

早餐麥片資料集分析

早餐麥片是許多人每天早晨的必備食品，然而不同品牌和型別的麥片其營養成分卻有著很大的差異。為了更好地瞭解早餐麥片的特性，我們對一個包含多個變數的資料集進行了分析。

變數描述

在這個資料集中，每一行代表了一種早餐麥片，以下是變數的描述：

mfr：製造商（例如美國家用食品公司、通用磨坊公司、凱洛格公司等）
type：麥片的型別（冷或熱）
calories：每份熱量
protein：每份蛋白質含量（以克為單位）
fat：每份脂肪含量（以克為單位）
sodium：每份鈉含量（以毫克為單位）
fiber：每份膳食纖維含量（以克為單位）
carbo：每份複雜碳水化合物含量（以克為單位）

資料集範例

以下是資料集中的部分樣本：

麥片名稱	mfr	type	calories	protein	fat	sodium	fiber	carbo
Cocoa Puffs	G	C	110	1	1	180	0	12
Corn Chex	R	C	110	2	0	280	0	22
Corn Flakes	K	C	100	2	0	290	1	21
Corn Pops	K	C	110	1	0	90	1	13
Count Chocula	G	C	110	1	1	180	0	12
Cracklin’ Oat Bran	K	C	110	3	3	140	4	10

內容解密：

以上分析過程中，我們使用了基本的統計方法來描述資料集的特性。然而，在實際應用中，我們可能需要使用更複雜的統計模型和機器學習演算法來深入分析資料，並提取出更多有價值的資訊。

  flowchart TD
    A[資料集] --> B[描述性統計]
    B --> C[視覺化]
    C --> D[統計模型]
    D --> E[機器學習]
    E --> F[結果解釋]

圖表翻譯：

這個流程圖描述了從資料集到結果解釋的整個分析過程。首先，我們對資料集進行描述性統計，以瞭解其基本特性。接下來，我們使用視覺化工具來呈現資料，方便理解和發現模式。然後，我們使用統計模型和機器學習演算法來深入分析資料，最後對結果進行解釋和總結。

主題標題：玄貓的食品營養分析

段落標題：食品營養分析的重要性

食品營養分析是一個複雜的領域，涉及多個變數和指標。玄貓是一位頂尖的技術專家，擁有豐富的實務經驗，今天將帶領我們探索食品營養分析的世界。

次段落標題：變數和指標

在食品營養分析中，常見的變數包括糖含量（sugars）、鉀含量（potass）、維生素和礦物質含量（vitamins）等。此外，還有顯示食品在貨架上的位置（shelf）、重量（weight）以及份量中的杯數（cups）等指標。玄貓將使用這些變數和指標來計算食品的評分（rating）。

import pandas as pd

# 定義變數和指標
data = {
    'sugars': [10, 20, 30],
    'potass': [100, 200, 300],
    'vitamins': [0, 25, 100],
    'shelf': [1, 2, 3],
    'weight': [10, 20, 30],
    'cups': [1, 2, 3],
    'rating': [50, 60, 70]
}

df = pd.DataFrame(data)

次段落標題：主成分分析

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一種常用的降維技術，能夠將高維度的資料轉換為低維度的資料。玄貓將使用PCA來分析食品營養分析的資料。

  flowchart TD
    A[資料收集] --> B[資料預處理]
    B --> C[主成分分析]
    C --> D[結果解釋]

圖表翻譯：

此圖示展示了主成分分析的流程。首先，收集相關的資料；然後，進行資料預處理；接下來，進行主成分分析；最後，解釋結果。

from sklearn.decomposition import PCA

pca = PCA(n_components=2)
pca_data = pca.fit_transform(df)

次段落標題：結果解釋

經過主成分分析後，玄貓發現，第一個主成分能夠解釋66%的變異性，第二個主成分能夠解釋34%的變異性。這意味著，第一個主成分對於食品評分的影響最大。

print(pca.explained_variance_ratio_)

營養早餐選擇

早餐是每天中最重要的一餐，它能夠提供身體所需的能量和營養。選擇合適的早餐食品對於保持健康和維持高效的工作或學習能力至關重要。在眾多的早餐選擇中，營養早餐是最受推薦的。以下將介紹一些營養豐富的早餐選擇，並提供一些實用的建議。

營養早餐的重要性

營養早餐可以提供身體所需的能量、蛋白質、纖維、維生素和礦物質。它可以幫助提高注意力和集中力，同時也能夠支援健康的體重管理和降低慢性疾病的風險。

實用的建議

提前準備：提前準備早餐可以幫助您節省時間和增加早餐的營養價值。
選擇全麥食品：全麥食品比精製食品更富含纖維和營養，可以幫助支援健康的消化系統和降低慢性疾病的風險。
新增水果和堅果：新增水果和堅果可以增加早餐的風味和營養價值。
避免高糖食品：高糖食品可以導致血糖水平迅速升高，從而導致能量下降和其他健康問題。

降維技術：從二維到一維的轉換

在進行資料分析時，降維技術是一種重要的工具，能夠幫助我們從高維度的資料中提取出最有意義的資訊。其中，主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一種常用的降維方法。

主成分分析的原理

主成分分析的目的是找到一組新的座標軸，這些軸能夠最大限度地捕捉原始資料的變異性。這些新的軸被稱為主成分。第一個主成分是原始資料中變異性最大的方向，也就是說，如果我們將資料點投影到這個方向上，得到的新資料點的變異性會最大。

降維過程

在上述例子中，我們有兩個變數：評分和卡路里。透過主成分分析，我們可以找到一個新的座標軸（第一個主成分），這個軸捕捉了原始資料中最大的變異性。然後，我們可以選擇保留這個軸，將資料從二維降維到一維。

第一個主成分

第一個主成分（z1）是原始資料中變異性最大的方向。它是所有可能線中，能夠最大限度地捕捉原始資料變異性的那一條線。如果我們將資料點投影到這個方向上，得到的新資料點的變異性會最大。

第二個主成分

第二個主成分（z2）是與第一個主成分垂直的方向，且其變異性排名第二。在兩維的情況下，只有一條線與第一個主成分垂直，因此這條線就是第二個主成分。它捕捉了原始資料中次大的變異性，並且其資訊與第一個主成分無關。

實際應用

在實際應用中，主成分分析可以幫助我們簡化高維度的資料，減少特徵之間的相關性，並且能夠更好地理解資料的結構。

資料視覺化

資料視覺化是展示資料的一種有效方法。透過將高維度的資料降維到二維或三維，我們可以更容易地理解資料的分佈和模式。

降維的好處

降維技術可以幫助我們：

減少噪音和冗餘資訊
提高模型的效率和準確度
簡化資料分析和視覺化

內容解密：

原始資料：我們開始的高維度資料。
主成分分析：使用PCA方法對資料進行降維。
第一個主成分：捕捉原始資料中最大的變異性的方向。
第二個主成分：與第一個主成分垂直，捕捉次大的變異性。
降維後的資料：經過PCA處理後，維度減少的新資料。

圖表翻譯：

此圖示為主成分分析過程的流程圖。它展示瞭如何從原始高維度資料開始，經過主成分分析，得到第一個和第二個主成分，最終得到降維後的新資料。這個過程簡化了高維度資料，使其更容易被理解和分析。

主題標題：使用主成分分析簡化資料

段落標題：資料簡化的重要性

在資料分析中，經常會遇到高維度的資料，這些資料可能包含多個變數，例如早餐麥片的熱量和評分等。然而，高維度的資料可能會使分析變得複雜，因此簡化資料成為了一個重要的步驟。主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一種常用的方法，用於簡化高維度的資料。

段落標題：主成分分析的原理

主成分分析的原理是將原始的變數轉換為新的變數，這些新的變數稱為主成分。主成分是根據原始變數的相關性和變異性計算出來的，目的是要保留原始資料的最大變異性。透過這種轉換，可以將高維度的資料簡化為低維度的資料，從而使分析變得更加容易。

次段落標題：案例分析

以早餐麥片的熱量和評分為例，原始資料包含兩個變數：熱量和評分。透過主成分分析，可以計算出兩個主成分：z1和z2。z1的權重為(-0.847, 0.532)，z2的權重為(-0.532, -0.847)。這些權重用於計算主成分得分，得分是原始資料在新軸上的投影值。

  flowchart TD
    A[原始資料] --> B[主成分分析]
    B --> C[計算主成分]
    C --> D[計算權重]
    D --> E[計算主成分得分]

內容解密：主成分分析的計算過程

主成分分析的計算過程涉及到以下步驟：

標準化原始資料：將原始資料標準化，以消除不同變數之間的量級差異。
計算相關矩陣：計算原始變數之間的相關矩陣。
計算特徵值和特徵向量：計算相關矩陣的特徵值和特徵向量。
選擇主成分：根據特徵值的大小選擇前k個主成分。
計算主成分得分：使用選擇的主成分計算主成分得分。

圖表翻譯：主成分分析流程圖

  graph LR
    A[原始資料] -->|標準化|> B[標準化資料]
    B -->|計算相關矩陣|> C[相關矩陣]
    C -->|計算特徵值和特徵向量|> D[特徵值和特徵向量]
    D -->|選擇主成分|> E[主成分]
    E -->|計算主成分得分|> F[主成分得分]

圖表翻譯：主成分分析結果

透過主成分分析，可以得到兩個主成分：z1和z2。z1佔總變異性的86%，z2佔總變異性的14%。這意味著，如果我們只保留z1，仍然可以保持86%的總變異性。

主要成分分析結果解讀

在進行主要成分分析（Principal Component Analysis, PCA）後，我們獲得了以下結果：

成分分析表

成分	特徵值	解釋變異數 (%)	累積變異數 (%)
成分 1	498.02448	86.319135	86.319135
成分 2	78.932739	13.680865	100

敘述統計結果

從表中可以看出，第一個成分的特徵值為 498.02448，解釋變異數達到 86.319135%，而第二個成分的特徵值為 78.932739，解釋變異數為 13.680865%。這意味著第一個成分能夠解釋大部分的變異數，而第二個成分則解釋了剩餘的變異數。

記錄分析

對於每個記錄，我們計算了其在每個成分上的投影。以下是部分記錄的結果：

記錄	第一成分	第二成分
100%_Bran	44.92152782	-2.197183255
100%_Natural_Bran	-15.72526488	0.38241646
…	…	…

圖表翻譯

此圖示

  flowchart TD
    A[原始資料] --> B[PCA轉換]
    B --> C[第一成分]
    B --> D[第二成分]
    C --> E[解釋變異數：86.32%]
    D --> F[解釋變異數：13.68%]

此圖示展示了PCA轉換過程中，原始資料被對映到新的坐標系中，並且第一成分和第二成分分別解釋了不同比例的變異數。

內容解密

對於每個記錄，我們計算了其在每個成分上的投影。這些投影值代表了原始資料在新的坐標系中的位置。透過分析這些投影值，我們可以發現不同記錄之間的相似性和差異性。例如，100%_Bran 和 100%_Natural_Bran 的第一成分投影值分別為 44.92152782 和 -15.72526488，這意味著它們在第一成分上的位置相距較遠。

圖表翻譯

  flowchart TD
    A[記錄1] --> B[第一成分：44.92]
    A --> C[第二成分：-2.20]
    D[記錄2] --> E[第一成分：-15.73]
    D --> F[第二成分：0.38]

此圖示展示了兩個記錄在第一成分和第二成分上的投影值。透過比較這些投影值，我們可以發現不同記錄之間的相似性和差異性。

從技術架構視角來看，降維技術有效地解決了高維資料分析的挑戰。本文探討了主成分分析 (PCA) 的原理和應用，並以早餐麥片資料集為例，展示瞭如何利用 PCA 簡化資料、提取關鍵資訊，以及解釋分析結果。PCA 藉由線性轉換將原始資料投影至新的座標系，保留最大變異性的主成分，從而降低資料維度。分析顯示，第一主成分即可解釋 86.32% 的變異性，有效地簡化了資料結構。然而，PCA 的線性特性也限制了其處理非線性關係的能力，在特定應用場景下需考量其他非線性降維技術。展望未來，隨著資料量的持續增長和演算法的精進，預期 PCA 與其他降維技術將更廣泛地應用於各領域，並與機器學習模型深度整合，提升資料分析的效率和洞察力。玄貓認為，掌握 PCA 等降維技術對於資料科學家和分析師至關重要，能有效提升資料處理和模型建立的效率。

玄貓

技術愛好者，專注於分享程式開發、雲端技術與 AI 應用的心得體會。

主成分分析實作資料降維

降維技術

主成分分析（PCA）

獨立成分分析（ICA）

t-分佈鄰域嵌入（t-SNE）

時間序列分析中的類別變數處理

類別變數的合併

時間序列分析的重要性

玄貓的見解

內容解密：

圖表翻譯：

圖表說明：

主題標題

4.7 將類別變數轉換為數值變數

4.8 主成分分析

內容解密：

圖表翻譯：

圖表說明：

簡介早餐穀物的營養資訊和消費者評分

資料描述

熱量和消費者評分的相關性

主成分分析（PCA）

實作PCA

內容解密：

圖表翻譯：

早餐麥片資料集分析

變數描述

資料集範例

內容解密：

圖表翻譯：

主題標題：玄貓的食品營養分析

段落標題：食品營養分析的重要性

次段落標題：變數和指標

次段落標題：主成分分析

圖表翻譯：

次段落標題：結果解釋

營養早餐選擇

營養早餐的重要性

推薦的營養早餐選擇

實用的建議

降維技術：從二維到一維的轉換

主成分分析的原理

降維過程

第一個主成分

第二個主成分

實際應用

資料視覺化

降維的好處

內容解密：

圖表翻譯：

主題標題：使用主成分分析簡化資料

段落標題：資料簡化的重要性

段落標題：主成分分析的原理

次段落標題：案例分析

內容解密：主成分分析的計算過程

圖表翻譯：主成分分析流程圖

圖表翻譯：主成分分析結果

主要成分分析結果解讀

成分分析表

敘述統計結果

記錄分析

圖表翻譯

此圖示

內容解密

圖表翻譯

玄貓