三維空間中直線與平面的相交判斷是電腦圖學和幾何計算的基礎，應用於渲染、碰撞檢測等領域。本文介紹瞭如何使用向量計算方法判斷直線與平面是否相交，並計算交點座標。核心概念包含平面法向量、直線方向量以及兩者之間的關係。文章首先推導了計算交點的公式，接著講解如何判斷交點是否落在三角形內部，最後以 Python 程式碼實作了演算法，並使用 Matplotlib 進行視覺化，展示了直線、平面和交點的空間關係，方便讀者理解和應用。程式碼中包含了旋轉、投影、向量運算等功能，並針對不同情況（例如交點在三角形內部或外部、直線長度不足等）進行了處理，使演算法更加完整和穩健。
透視投影技術的原理與實作
透視投影的基本概念
透視投影是一種將三維空間中的物體投影到二維平面上的技術，模擬了人類視覺系統的工作原理。在電腦圖形學中，透視投影被廣泛應用於渲染三維場景，使其在二維螢幕上呈現出具有深度感的影像。
透視投影的數學模型
要實作透視投影，需要建立一個數學模型來描述從三維空間到二維平面的對映關係。這個模型根據簡單的針孔相機原理。
1. 座標系統的建立
首先，我們需要定義兩個座標系統：
- 區域性座標系：用於描述物體自身的幾何形狀。
- 全域座標系：用於描述場景中所有物體的位置和方向。
2. 透視投影公式推導
假設我們有一個焦點位於 $ (x_{fp}, y_{fp}, z_{fp}) $ 的相機，需要將空間中的點 $ (x, y, z) $ 投影到 $ z = 0 $ 平面上。根據相似三角形的原理，可以推匯出投影後的點 $ (x_h, y_h, 0) $ 的計算公式：
# 計算投影後的點座標
def perspective_projection(x, y, z, x_fp, y_fp, z_fp):
a = x - x_fp
b = y - y_fp
c = z + abs(z_fp)
q = np.sqrt(a**2 + b**2 + c**2)
ux, uy, uz = a/q, b/q, c/q
qh = q * abs(z_fp) / (z + abs(z_fp))
xh = ux * qh + x_fp
yh = uy * qh + y_fp
zh = 0
return xh, yh, zh
3. 物體旋轉與投影
為了使物體呈現不同的視角，需要對其進行旋轉操作。以下是一個繞Y軸旋轉的函式實作：
# 繞Y軸旋轉函式
def rotate_y(xc, yc, zc, x, y, z, Ry):
a = np.array([x, y, z])
b = np.array([np.cos(Ry), 0, np.sin(Ry)])
xpp = np.dot(a, b)
b = np.array([0, 1, 0])
ypp = np.dot(a, b)
b = np.array([-np.sin(Ry), 0, np.cos(Ry)])
zpp = np.dot(a, b)
xg, yg, zg = xpp + xc, ypp + yc, zpp + zc
return xg, yg, zg
透視投影的實作與應用
1. 程式實作
結合上述數學模型和旋轉函式，可以實作一個完整的透視投影程式。以下是一個簡化的程式碼範例：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 定義物體的區域性座標
x = np.array([-20, -20, 20, 20, -20, -20, 20, 20, -20, 20])
y = np.array([-10, -10, -10, -10, 10, 10, 10, 10, -20, -20])
z = np.array([5, -5, -5, 5, 5, -5, -5, 5, 0, 0])
# 設定物體中心座標
xc, yc, zc = 80, 50, 50
# 旋轉角度
Ry = np.radians(45)
# 進行旋轉和投影
xg, yg, zg = rotate_y(xc, yc, zc, x, y, z, Ry)
xh, yh, zh = perspective_projection(xg, yg, zg, xc, yc, -100)
# 繪製結果
plt.plot(xh[[0, 3]], yh[[0, 3]], color='k')
plt.plot(xh[[1, 2]], yh[[1, 2]], color='k')
plt.plot(xh[[4, 7]], yh[[4, 7]], color='k')
plt.plot(xh[[5, 6]], yh[[5, 6]], color='k')
plt.show()
2. 結果分析
透過調整焦點位置和旋轉角度，可以獲得不同的透視效果：
- 當焦點靠近物體時，透視效果更明顯。
- 當焦點遠離物體時，透視效果減弱，影像趨於扁平。
- 適當選擇焦點位置和旋轉角度，可以創作出更具吸引力的視覺效果。
透視投影的藝術應用
透視投影不僅是一種技術手段，也是一種藝術表達方式。許多畫家，如維米爾，在作品中運用透視原理來構圖，使畫面更具深度和層次感。
圖表翻譯：
此圖示展示了透視投影技術的實作流程。首先建立透視投影的數學模型，接著在程式中實作相關的旋轉和投影計算，最終呈現出具有透視效果的視覺影像。這個流程清晰地說明瞭從理論到實踐的轉化過程。
直線與平面交點的計算方法
在電腦圖學中，直線與平面的交點計算是一項基本且重要的技術。本章節將深入探討如何使用向量幾何方法來計算直線與矩形平面的交點，並提供相關的程式碼實作。
向量幾何基礎
在開始之前，我們需要了解一些基本的向量幾何概念。向量可以用來表示空間中的方向和大小。在三維空間中，一個向量可以表示為：
import numpy as np
# 定義一個向量
vector = np.array([1, 2, 3])
內容解密：
此程式碼定義了一個名為 vector 的三維向量，使用 NumPy 陣列來表示。向量的每個分量分別代表 x、y 和 z 軸上的大小。
直線與平面的交點計算
1. 定義直線和平面
首先，我們需要定義直線和平面。直線可以由兩個點來定義，而平面則可以由三個點或一個法向量和一個點來定義。
圖表翻譯：
此圖示展示了計算直線與平面交點的基本流程。首先定義直線和平面，接著計算直線的方向量和平面的法向量，最後利用這些資訊計算交點。
2. 計算直線方向量
直線的方向量可以透過直線的兩個端點來計算。
# 定義直線的兩個端點
point1 = np.array([x4, y4, z4])
point2 = np.array([x5, y5, z5])
# 計算直線方向量
direction_vector = point2 - point1
# 單位化方向量
unit_direction_vector = direction_vector / np.linalg.norm(direction_vector)
內容解密：
此程式碼首先定義了直線的兩個端點 point1 和 point2，然後計算直線的方向量 direction_vector。接著，將方向量單位化，得到 unit_direction_vector，以便於後續計算。
3. 計算平面法向量
平面的法向量可以透過平面的三個頂點來計算。
# 定義平面的三個頂點
corner0 = np.array([x0, y0, z0])
corner1 = np.array([x1, y1, z1])
corner3 = np.array([x3, y3, z3])
# 計算向量 u 和 v
u = corner3 - corner0
v = corner1 - corner0
# 計算平面法向量
normal_vector = np.cross(u, v)
# 單位化法向量
unit_normal_vector = normal_vector / np.linalg.norm(normal_vector)
內容解密：
此程式碼定義了平面的三個頂點 corner0、corner1 和 corner3，然後計算向量 u 和 v。接著，利用向量叉積計算平面的法向量 normal_vector，並將其單位化得到 unit_normal_vector。
4. 計算交點
利用直線的方向量和平面的法向量，可以計算直線與平面的交點。
# 計算直線起點到平面的垂直距離
Qn = np.dot((corner0 - point1), unit_normal_vector)
# 計算直線方向量與平面法向量的點積
cos_phi = np.dot(unit_direction_vector, unit_normal_vector)
# 計算交點
Qh = Qn / cos_phi
hit_point = point1 + Qh * unit_direction_vector
內容解密：
此程式碼首先計算直線起點到平面的垂直距離 Qn，然後計算直線方向量與平面法向量的點積 cos_phi。最後，利用 Qn 和 cos_phi 計算交點 hit_point。
判斷交點是否在平面範圍內
計算出交點後，需要判斷該交點是否在平面的範圍內。
# 計算交點相對於平面原點的向量
V0h = hit_point - corner0
# 計算 V0h 在 u 和 v 方向上的投影
up = np.dot(V0h, u / np.linalg.norm(u))
vp = np.dot(V0h, v / np.linalg.norm(v))
# 判斷交點是否在平面範圍內
if up < 0 or up > np.linalg.norm(u) or vp < 0 or vp > np.linalg.norm(v):
print("交點在平面範圍外")
else:
print("交點在平面範圍內")
內容解密：
此程式碼計算交點相對於平面原點的向量 V0h，然後計算 V0h 在 u 和 v 方向上的投影 up 和 vp。最後，根據 up 和 vp 的值判斷交點是否在平面範圍內。
三維空間中直線與平面相交的計算與視覺化實作
在電腦圖學與幾何計算領域中，直線與平面的相交計算是一項基礎且重要的技術。本文將深入探討如何使用Python實作三維空間中直線與三角平面的相交計算，並透過視覺化技術呈現結果。
數學基礎：直線與平面相交的計算原理
要計算直線與平面的交點，首先需要了解三維空間中直線和平面（特別是三角平面）的數學表示方法。直線可以由兩個點定義，而平面則可以由三個不在同一直線上的點確定。計算直線與平面是否相交，需要進行以下步驟：
- 計算平面的法向量：利用平面上三個點的座標計算出平面的法向量，這是確定平面方向的關鍵。
- 計算直線的方向量：直線的方向量由直線上的兩個點確定。
- 判斷直線是否與平面平行：如果直線的方向量與平面的法向量垂直（點積為0），則直線與平面平行，不存在交點。
- 計算直線與平面的交點：利用直線上的點和方向量，以及平面的法向量，可以計算出直線與平面的交點。
實作：使用Python進行直線與三角平面相交計算
以下是使用Python實作直線與三角平面相交計算的關鍵程式碼：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import sin, cos, radians, sqrt
# 定義旋轉函式
def rotx(xc, yc, zc, xp, yp, zp, Rx):
# 繞x軸旋轉的實作
xg = xp * cos(Rx) - zp * sin(Rx) + xc
yg = yp + yc
zg = xp * sin(Rx) + zp * cos(Rx) + zc
return xg, yg, zg
def roty(xc, yc, zc, xp, yp, zp, Ry):
# 繞y軸旋轉的實作
xg = xp * cos(Ry) + zp * sin(Ry) + xc
yg = yp + yc
zg = -xp * sin(Ry) + zp * cos(Ry) + zc
return xg, yg, zg
def rotz(xc, yc, zc, xp, yp, zp, Rz):
# 繞z軸旋轉的實作
xg = xp * cos(Rz) - yp * sin(Rz) + xc
yg = xp * sin(Rz) + yp * cos(Rz) + yc
zg = zp + zc
return xg, yg, zg
# 計算直線與平面的交點
def hitpoint(x, y, z):
# 計算直線的方向量
a = x[5] - x[4]
b = y[5] - y[4]
c = z[5] - z[4]
Q45 = sqrt(a*a + b*b + c*c)
lx, ly, lz = a/Q45, b/Q45, c/Q45 # 直線的單位向量
# 計算平面的法向量
ux, uy, uz = normalize_vector(x[3]-x[0], y[3]-y[0], z[3]-z[0])
vx, vy, vz = normalize_vector(x[1]-x[0], y[1]-y[0], z[1]-z[0])
nx, ny, nz = uy*vz - uz*vy, uz*vx - ux*vz, ux*vy - uy*vx # 平面的法向量
# 計算交點
Qn = (x[4]-x[0])*nx + (y[4]-y[0])*ny + (z[4]-z[0])*nz
cosp = lx*nx + ly*ny + lz*nz
Qh = abs(Qn/cosp)
xh, yh, zh = x[4] + Qh*lx, y[4] + Qh*ly, z[4] + Qh*lz
# 判斷交點是否在三角形內
hitcolor = 'r' if is_inside_triangle(xh, yh, zh, x, y, z) else 'b'
# 如果直線太短未到達平面，改變顏色
if Q45 < Qh:
hitcolor = 'g'
return xh, yh, xh+xc, yh+yc, hitcolor
# 向量標準化
def normalize_vector(ax, ay, az):
length = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az)
return ax/length, ay/length, az/length
# 判斷點是否在三角形內
def is_inside_triangle(xh, yh, zh, x, y, z):
# 實作判斷邏輯
a = (x[1]-x[0])*(yh-y[0]) - (y[1]-y[0])*(xh-x[0])
b = (x[2]-x[1])*(yh-y[1]) - (y[2]-y[1])*(xh-x[1])
c = (x[0]-x[2])*(yh-y[2]) - (y[0]-y[2])*(xh-x[2])
if (a >= 0 and b >= 0 and c >= 0) or (a <= 0 and b <= 0 and c <= 0):
return True
return False
### False
#### 圖表翻譯：
此圖表展示了直線與三角平面相交的幾何關係。透過計算直線的方向量和三角平面的法向量，可以準確判斷直線是否與平面相交，以及交點的位置。不同的顏色標記（紅色、藍色和綠色）用於表示交點的不同狀態：紅色表示交點在三角形內，上述程式碼實作了三維空間中直線與三角平面的相交計算，並透過顏色區分不同的相交狀態。
#### 圖表翻譯：
此圖示展示了直線與三角平面相交計算的邏輯流程。首先檢查直線是否與平面平行，如果平行則無交點；否則計算交點並判斷是否在三角形內部。根據不同的情況，使用不同的顏色進行標記。
#### 拓展閱讀
對於想要進一步深入研究計算幾何和電腦圖學的讀者，可以參考以下主題：
1. **光線追蹤技術**：瞭解如何利用直線與平面相交的計算來實作更真實的渲染效果。
2. **碰撞檢測**：學習如何在遊戲開發中利用類別似的計算來檢測物體之間的碰撞。
3. **三維重建**：研究如何利用多個平面和直線的相交計算來重建三維模型。
這些主題將進一步拓展讀者對計算幾何和電腦圖學的理解，並提供更廣泛的應用場景。
## 三角形命中測試的幾何計算方法
在進行射線與三角形相交測試時，需要先判斷命中點是否位於三角形內部或外部。以下將詳細介紹如何使用幾何計算來實作這一功能。
### 利用海倫公式計算三角形面積
海倫公式是一種用於計算三角形面積的數學公式，給定三角形的三邊長度 $a$、$b$ 和 $c$，其面積 $A$ 可由以下公式計算：
$s = \frac{a + b + c}{2}$
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
此公式由古希臘數學家海倫提出，適用於所有型別的三角形。
### 判斷命中點是否在三角形內
如圖所示，假設有一個三角形由點0、1和2定義，另有一命中點3。我們可以計算以下三個三角形的面積：
1. 由點0、1和2組成的原始三角形，面積為 $A$
2. 由點0、1和3組成的三角形，面積為 $A_1$
3. 由點0、3和2組成的三角形，面積為 $A_2$
透過比較 $A_1 + A_2$ 與 $A$ 的大小，可以判斷命中點3是否位於三角形內部：
- 若 $A_1 + A_2 > A$，則命中點在三角形外部
- 若 $A_1 + A_2 \leq A$，則命中點在三角形內部或邊界上
```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from math import sqrt
# 定義三角形頂點座標
x = [40, 30, 80, 55]
y = [60, 10, 60, 45]
z = [0, 0, 0, 0]
# 繪製三角形
plt.plot([x[0], x[1]], [y[0], y[1]], color='k')
plt.plot([x[1], x[2]], [y[1], y[2]], color='k')
plt.plot([x[2], x[0]], [y[2], y[0]], color='k')
# 計算三角形邊長
def calculate_distance(x1, y1, z1, x2, y2, z2):
return sqrt((x2-x1)**2 + (y2-y1)**2 + (z2-z1)**2)
Q01 = calculate_distance(x[0], y[0], z[0], x[1], y[1], z[1])
Q12 = calculate_distance(x[1], y[1], z[1], x[2], y[2], z[2])
Q02 = calculate_distance(x[0], y[0], z[0], x[2], y[2], z[2])
Q13 = calculate_distance(x[1], y[1], z[1], x[3], y[3], z[3])
Q23 = calculate_distance(x[2], y[2], z[2], x[3], y[3], z[3])
Q03 = calculate_distance(x[0], y[0], z[0], x[3], y[3], z[3])
# 使用海倫公式計算面積
def heron_formula(a, b, c):
s = (a + b + c) / 2
return sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
A = heron_formula(Q01, Q12, Q02)
A1 = heron_formula(Q01, Q03, Q13)
A2 = heron_formula(Q02, Q23, Q03)
# 判斷命中點是否在三角形內
if A1 + A2 > A:
print("命中點在三角形外部")
else:
print("命中點在三角形內部")
plt.scatter(x[3], y[3], color='r')
plt.show()
程式碼解析：
- 首先定義了三角形的頂點座標以及命中點的座標。
- 使用
calculate_distance函式計算三角形各邊的長度。 - 透過
heron_formula函式計算三角形的面積。 - 比較 $A_1 + A_2$ 與 $A$ 的大小，判斷命中點是否在三角形內，並輸出結果。
- 使用 Matplotlib 繪製三角形及命中點的圖形。
@startuml
skinparam backgroundColor #FEFEFE
skinparam componentStyle rectangle
title 三維空間直線與平面相交計算與視覺化
package "資料視覺化流程" {
package "資料準備" {
component [資料載入] as load
component [資料清洗] as clean
component [資料轉換] as transform
}
package "圖表類型" {
component [折線圖 Line] as line
component [長條圖 Bar] as bar
component [散佈圖 Scatter] as scatter
component [熱力圖 Heatmap] as heatmap
}
package "美化輸出" {
component [樣式設定] as style
component [標籤註解] as label
component [匯出儲存] as export
}
}
load --> clean --> transform
transform --> line
transform --> bar
transform --> scatter
transform --> heatmap
line --> style --> export
bar --> label --> export
note right of scatter
探索變數關係
發現異常值
end note
@enduml圖表解析：
此流程圖展示了判斷命中點是否在三角形內部的完整流程。首先計算三角形的邊長，接著使用海倫公式計算相關三角形的面積。然後比較 $A_1 + A_2$ 與 $A$ 的大小，以確定命中點的位置。最終根據比較結果輸出相應的判斷。
應用於射線追蹤
在射線追蹤技術中，判斷射線是否與三角形相交，是一個重要的判斷。透過上述介紹的方法，我們可以有效地判斷命中點是否在三角形內部，從而為射線追蹤提供重要的依據。
